宁夏中卫市2020届高三下学期高考第三次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

2020年中卫市高考第三次模拟考试

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅱ卷第22、23题为选考题，其他题为必考题.考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项:

1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上.

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4、保持卡面清洁，不折叠，不破损.

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）

1.若复数z=，则|z|=（    ）

A. 1 B.  C. 5 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数的模的运算性质，化简为对复数求模可得结果

【详解】|z|===，

故选：B.

【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题

2.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】

先解,再利用补集的定义求解即可.

【详解】由题,因为,则,即,所以,

所以,

故选:C

【点睛】本题考查集合的补集运算,考查解指数不等式.

3.已知、为实数，则是的（    ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分

C. 充要条件 D. 不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】

求出的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由得，此时成立，

由，此时当、有负数时，不成立，

即“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键，考查推理能力，属于基础题.

4.已知数列，，，…，是首项为1，公差为2得等差数列，则等于(    )

A. 9 B. 5 C. 4 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

由题设条件以及等差数列的性质得出，再由，即可得出答案.

【详解】

故选：A

【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.

5.某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查.现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（   ）

A. 416 B. 432 C. 448 D. 464

【答案】A

【解析】

【分析】

设第组抽到的号码是，则构成以80为公差的等差数列，利用等差数列性质可得第6组抽到的号码.

【详解】设第组抽到的号码是，则构成以80为公差的等差数列，

所以，，

所以，解得，

所以.

故选A

【点睛】本题考查随机抽样的知识，考查数据处理能力和应用意识.

6.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，则log2a9＝（    ）

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

【答案】C

【解析】

【分析】

将已知条件转化为的形式，由此求得，进而求得以及的值.

【详解】∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，

∴2q2＝2×2q+16，且q＞0，

解得q＝4，

∴log2a917.

故选：C.

【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.

7.相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的的值为，输出的的值为（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

执行循环结构的程序框图，根据判断条件，逐次循环计算，即可得到结果．

【详解】由题意，执行循环结构的程序框图，可得：

第1次循环：，不满足判断条件；

第2次循环：，不满足判断条件；

第3次循环：，满足判断条件，输出结果，

故选B．

【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出结果问题，其中解答中模拟执行循环结构的程序框图，逐次计算，根据判断条件求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

8.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性得，再比较的大小，根据函数的单调性可得选项.

【详解】依题意得，，

当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，

，即，

故选：C

【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.

9.已知菱形的边长为2，为的中点，，则的值为（  ）

A. 4 B. -3 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

结合图形可得，，然后根据数量积的定义求解即可．

【详解】菱形的边长为2，，

∴，

∵为的中点，

∴，，

∴ ．

故选B．

【点睛】本题考查向量数量积的运算，解题的关键是选择适当的基底，然后将所有向量用同一基底表示出来，再根据定义求解，属于基础题．

10.已知实数，满足约束条件，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】

正确作出题中所给约束条件对应的可行域，由的几何意义，其最小值为原点到直线的距离的平方，从而求得结果.

【详解】由约束条件作出可行域，

是由， ，三点所围成的三角形及其内部，

如图中阴影部分，

而可理解为可行域内的点到原点距离的平方，

显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，

此时，

故选：B.

【点睛】本小题考査线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识.

11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，点为的中点，为坐标原点，，则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据为的中点，可知，由中位线定理可知.格局双曲线定义，可得，结合双曲线中满足，即可求得离心率.

【详解】双曲线左、右焦点分别为，为坐标原点，

由为的中点，所以，且，

，故，即，

设双曲线的焦距为2c，双曲线中满足

所以，化简可得

故双曲线的离心率为.

故选:C

【点睛】本题考查了双曲线几何性质的简单应用，双曲线定义及双曲线离心率求法，属于基础题.

12.函数的定义域为，其导函数为，，且为偶函数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据以及为偶函数判断出函数的单调性和对称性，由此判断出和的大小关系.

【详解】由于为偶函数，所以函数关于对称.由于，所以当时，递减，当时，，递增.所以.

故选：A

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查函数的图像变换，考查函数的对称性，属于中档题.

Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥；③l⊥．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.

【解析】

【分析】

将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.

【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：

（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；

（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；

（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.

【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.

14.已知函数，则不等式的解集为               .

【答案】.

【解析】

试题分析：若，则，若：则，故不等式的解集是.

考点：1.分段函数；2.指对数的性质.

15.已知，，，均为锐角，则___________

【答案】

【解析】

【分析】

由条件算出和，然后，即可算出答案.

【详解】由于都是锐角，所以，

所以，，

所以

．

故答案：

【点睛】在三角函数恒等变换中，灵活应用三角公式是解题的关键，要注意公式中“单角”与“复角”是相对的，例如以下角的变换经常用到：

，，．

16.已知椭圆，作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，线段的中点M，O为坐标原点，与的夹角为，且，则____________

【答案】

【解析】

【分析】

设，首先由点差法可得，设直线的倾斜角为，则或，然后结合条件可建立方程求解.

【详解】设，

则，，

两式相减，得．

两点直线的倾斜角为，，

，即，

设直线的倾斜角为，则或

所以，因为，

所以，解得，即

故答案为：

【点睛】本题主要考查了掌握椭圆的基础知识和灵活使用“点差法”，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.

（1）求角C的大小；

（2）若向量与共线，求的周长.

【答案】（1），（2）.

【解析】

【分析】

（1）将变形到，即可求出角C；

（2）由向量与共线可得，然后结合余弦定理解出、即可.

【详解】（1）因为，所以

所以，所以

所以，所以

因为是的内角，所以

（2）因为向量与共线

所以，即

由余弦定理可得，即

解得

所以的周长为

【点睛】本题考查的是三角恒等变换和正余弦定理的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.

18.如图，四棱锥的底面是平行四边形，是等边三角形且边长是4，.

（1）证明：；

（2）若，求四棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】

取AP中点M，连接DM，BM，由等腰三角形的性质可得，，再由线面垂直的判定可得平面进一步得到；

由知，平面BDM，求出三角形BDM的面积，得到三棱锥的体积，进一步求得四棱锥的体积．

【详解】证明：取AP中点M，连接DM，BM，

，，

，，

，平面DMB．

又平面DMB，

由知，平面BDM，

在等边三角形PAB中，由边长为4，得，

在等腰三角形ADP中，由，，得，

又，，得．

．

则．

．

【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．

19.2019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同），再创新高，比去年218（十亿元）多了50（十亿元）．这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y（单位：十亿元），绘制如表：

根据以上数据绘制散点图，如图所示

（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为销售额关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立关于的回归方程，并预测2020年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位）

（3）把销售超过100（十亿元）的年份叫“畅销年”，把销售额超过200（十亿元）的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率．

参考数据：

参考公式：

对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）在散点图中，样本点并没有分布在某一个带状区域内，因此这两个变量不呈线性相关关系，则销售额关于的回归方程类型；

（2）令，则，由最小二乘法得出其回归方程，并预测2020年天猫双十一销售额；

（3）利用列举法以及古典概型概率公式计算概率即可.

【详解】（1）由散点图可知，适宜作为销售额关于的回归方程类型；

（2）令，则．，

，

，则关于的回归方程为，取，得（十亿元）．

预测2020年天猫双十一销售额为324.7（十亿元）；

（3）2010年到2019年这十年中“畅销年”有4年，其中“狂欢年”有2年．

从中任取2个，基本事件总数为共6个

至少取到一个“狂欢年”的事件数为共5个

则至少取到一个“狂欢年”的概率为．

【点睛】本题主要考查了求非线性回归方程以及古典概率求概率，属于中档题.

20.已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，且点到焦点的距离为4，过作抛物线的切线（斜率不为0），切点为.

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）求证：以为直径的圆过点.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）点到焦点的距离为4，即为到准线的距离为4，点的纵坐标为3，便可解出参数的值；

（Ⅱ）要证以为直径的圆过点，即证，根据条件求出点．

【详解】解：（1）由题知，，

∴，解得，

∴抛物线的标准方程为.

（Ⅱ）设切线的方程为，，

联立，消去可得，

由题意得，即，

∴切点，

又，∴.

∴，故以为直径的圆过点.

【点睛】确定抛物线的方程只要确定其中的参数，可以构造方程或利用抛物线的定义求解；直线与抛物线位置关系问题常见的方法是联立直线与抛物线方程，消参数处理，当抛物线方程可以看成函数时也可采用导数进行研究．

21.已知函数（，），.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）求导得到，讨论和两种情况，得到答案.

（Ⅱ）变换得到，设，求，令，故在单调递增，存在使得，，计算得到答案.

【详解】（Ⅰ）（），

当时，在单调递减，在单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减.

（Ⅱ）（），即，（）.

令（），

则，

令，，故在单调递增，

注意到，，

于是存在使得，

可知在单调递增，在单调递减.

∴.

综上知，.

【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，意在考查学生对于导数知识的综合应用能力.

选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）

选修4-4：坐标系与参数方程

22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；

（2）已知点是曲线上的任意一点，又直线上有两点和，且，又点的极角为，点的极角为锐角.求：

①点的极角；

②面积的取值范围.

【答案】（1）曲线为圆心在原点，半径为2的圆.的极坐标方程为（2）①②

【解析】

【分析】

（1）求得曲线伸缩变换后所得的参数方程，消参后求得的普通方程，判断出对应的曲线，并将的普通方程转化为极坐标方程.

（2）

①将的极角代入直线的极坐标方程，由此求得点的极径，判断出为等腰三角形，求得直线的普通方程，由此求得，进而求得，从而求得点的极角.

②解法一：利用曲线的参数方程，求得曲线上的点到直线的距离的表达式，结合三角函数的知识求得的最小值和最大值，由此求得面积的取值范围.

解法二：根据曲线表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，进而求得面积的取值范围.

【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

因为则曲线的参数方程

所以的普通方程为.所以曲线为圆心在原点，半径为2的圆.

所以的极坐标方程为，即.

（2）①点的极角为，代入直线的极坐标方程得点

极径为，且，所以为等腰三角形，

又直线的普通方程为，

又点的极角为锐角，所以，所以，

所以点的极角为.

②解法1：直线的普通方程为.

曲线上的点到直线的距离

.

当，即（）时，

取到最小值为.

当，即（）时，

取到最大值为.

所以面积的最大值为；

所以面积的最小值为；

故面积取值范围.

解法2：直线的普通方程为.

因为圆的半径为2，且圆心到直线的距离，

因，所以圆与直线相离.

所以圆上的点到直线的距离最大值为，

最小值为.

所以面积的最大值为；

所以面积的最小值为；

故面积的取值范围.

【点睛】本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直线的距离等.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.

选修4—5：不等式选讲

23.已知函数，且．

（1）若，求的最小值，并求此时的值；

（2）若，求证:．

【答案】（1）最小值为，此时；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）由已知得，

法一:，，根据二次函数的最值可求得；

法二:运用基本不等式构造，可得最值；

法三：运用柯西不等式得：，可得最值；

（2）由绝对值不等式得，，又，可得证.

【详解】（1），

法一:，，

的最小值为，此时；

法二:，

，即的最小值为，此时；

法三：由柯西不等式得：

，

,即的最小值为，此时；

（2），，

又，

.

【点睛】本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.