高考专题4 第3讲 立体几何与空间向量（学生版）

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考点一 利用空间向量求空间角
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．
(1)线线夹角
设l，m的夹角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,2)))，
则cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)＝eq \f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\\al(2,1)＋b\\al(2,1)＋c\\al(2,1)) \r(a\\al(2,2)＋b\\al(2,2)＋c\\al(2,2))).
(2)线面夹角
设直线l与平面α的夹角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,2)))，
则sin θ＝eq \f(|a·u|,|a||u|)＝|cs〈a，u〉|.
(3)二面角
设α－a－β的平面角为θ(0≤θ≤π)，
则|cs θ|＝eq \f(|u·v|,|u||v|)＝|cs〈u，v〉|.
【热点突破】
考向1 求线面角
【典例】1 (2020·宁波余姚中学月考)如图，已知三棱锥P－ABC，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC＝PA＝eq \f(1,2)PC＝2，∠ABC＝120°.
(1)求证：PA⊥BC；
(2)设点E为PC的中点，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值．
考向2 二面角
【典例】2 (2020·全国Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝eq \f(\r(6),6)DO.
(1)证明：PA⊥平面PBC；
(2)求二面角B－PC－E的余弦值．
【拓展训练】1 如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点．
(1)求证：AA1⊥BD；
(2)求二面角E－A1C1－C的余弦值．
【要点提炼】
考点二 利用空间向量解决探究性问题
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
【热点突破】
【典例】3 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2，∠ABC＝60°，M是AB的中点．
(1)求证：EM⊥AD；
(2)求二面角A－BE－C的余弦值；
(3)在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，若存在，求出eq \f(EP,EC)的值；若不存在，说明理由．
【拓展训练】2 如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝eq \r(5)，E为棱AA1上的点，且AE＝eq \f(1,2).
(1)求证：BE⊥平面ACB1；
(2)求二面角D1－AC－B1的余弦值；
(3)在棱A1B1上是否存在点F，使得直线DF∥平面ACB1？若存在，求A1F的长；若不存在，请说明理由．
专题训练
1.如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝BD＝AD＝AC＝2，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，P为AB的中点，E为BD的中点．
(1)求证：AE⊥平面BCD；
(2)求直线PD与平面ACD所成角的正弦值．
2．(2019·全国Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．
3.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠CDA＝90°，CD＝2AB＝2，AD＝3，PA＝eq \r(5)，PD＝2eq \r(2)，点E在棱AD上且AE＝1，点F为棱PD的中点．
(1)证明：平面BEF⊥平面PEC；
(2)求二面角A－BF－C的余弦值．
4. (2020·潍坊模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；
(3)在线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为eq \f(π,6)，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．