北师大版八年级下册4 一元一次不等式导学案

一元一次不等式的解法（基础）知识讲解

【学习目标】

1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；

2. 能够熟练解一元一次不等式；

3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.

【要点梳理】

要点一、一元一次不等式的概念

    只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．

要点诠释：

(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数为1.

(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．

不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．

要点二、一元一次不等式的解法

1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．

2.一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.

要点诠释：

（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．

（2）解不等式应注意：

①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；

②移项时不要忘记变号；

③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；

④在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．

要点三、不等式的解及解集

1.不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

2.不等式的解集：

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．

要点诠释：

3.不等式的解集的表示方法

（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．

(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：

要点诠释：

借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．

 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．

【典型例题】

类型一、一元一次不等式的概念 

1．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些?

    (1)3x+5＝0    (2)2x+3＞5    (3)    (4)≥2    (5)2x+y≤8

【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断，(1)是等式；(4)不等式的左边不是整式；(5)含有两个未知数．

【答案与解析】

解：(2)、(3)是一元一次不等式．

【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．

类型二、解一元一次不等式

2.解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．

【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．

【答案与解析】

解：去括号，得：

移项、合并同类项，得：

系数化1得：

这个不等式的解集在数轴上表示如图：

【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向．

举一反三：

【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为(     ).

【答案】C.

3. （2020•连云港）解不等式，并将解集在数轴上表示出来．

【思路点拨】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．

【答案与解析】

解：去分母，得：1+x＜3x﹣3，

移项，得：x﹣3x＜﹣3﹣1，

合并同类项，得：﹣2x＜﹣4，

系数化为1，得：x＞2，

将解集表示在数轴上如图：

【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．去分母时，不要漏乘不含分母的项．

举一反三：

【变式】若,,问x取何值时，．

【答案】

解：∵,,

        若，

　　　　则有

　　　　即

　　　　∴当时，．

4.关于x的不等式2x-a≤-1的解集为x≤-1，则a的值是_________．

【思路点拨】首先把a作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为x≤-1即可得到关于a的方程，解方程即可求解．

【答案】－１

【解析】由已知得：，由，得．

【总结升华】解不等式要依据不等式的基本性质，注意移项要改变符号．

举一反三：

【变式1】如果关于x的不等式(a+1)x＜a+1的解集是x＞l，则a的取值范围是________．

【答案】.

【变式2】求不等式1+≥2﹣的非正整数解．

【答案】

解：1+≥2﹣

6+3（x+1）≥12﹣2（x+7）

6+3x+3≥12﹣2x﹣14

3x+2x≥12﹣14﹣6﹣3

5x≥﹣11

x≥﹣2

所以非正整数解为0，﹣1，﹣2．

类型三、不等式的解及解集

5.对于不等式4x+7(x-2)＞8不是它的解的是(    ).

A．5    B．4    C．3    D．2

【思路点拨】根据不等式解的定义作答．

【答案】D

【解析】

解：当x＝5时，4x+7(x-2)＝41＞8，

当x＝4时，4x+7(x-2)＝30＞8，

当x＝3时，4x+7(x-2)＝19＞8，

当x＝2时，4x+7(x-2)＝8．

故知x＝2不是原不等式的解．

【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的．

6.不等式x＞1在数轴上表示正确的是 (    ).

【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可．

【答案】C

【解析】

解：∵不等式x＞1
∴在数轴上表示为:

故选C．

【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集．

举一反三：

【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是(    )．

A．－2＜x＜4 B.－2＜x≤4   C.－2≤x＜4    D.－2≤x≤4

【答案】B.