苏科版中考数学冲刺专项第6讲.第二轮复习之图形运动产生的函数关系 教师版

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`动点问题：一般指由于点的运动，引起线段的变化和图形的变化，一般考查线段特殊时或图形特殊时，求动点的位置或运动时间．【例1】         已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点的坐标为，点是直线上的一动点，直线与轴交于点.问：⑴ 当点运动到何位置时，直线平分矩形的面积，请简要说明理由，并求出此时直线的函数解析式；⑵ 当点沿直线移动时，是否存在使与相似的点，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】       ⑴ 连结与交于点，则当点运动到点时，直线平分矩形的面积．由已知可得此时点的坐标为．设直线的函数解析式为．则有　解得，．所以，直线的函数解析式为：． ⑵ 存在点使得与相似．不妨设直线与轴的正半轴交于点．因为，若与相似，则有或．当时，即，解得．所以点满足条件．当时，即，解得．所以点满足条件．由对称性知，点,．∵过点、的直线与过点、的直线平行，∴舍去.综上所述，满足使与相似的点有个，分别为、、．  【例2】         如图，是边长为的等边三角形，动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为.⑴ 当为何值时，两个动点第一次相遇．⑵ 从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，点、、为顶点的三角形的面积为．   【解析】       ⑴ 当为时，两个动点第一次相遇．
⑵ 是边长为的等边三角形，∴，有种情况：①如图1，当点在上时，点在上时.过作于，，，，∴，由三角形面积公式得：，解得：，（舍去）；②如图2，当点在上时，点在上时.过作于，，，∴，由三角形面积公式得：，解得：或，当时，在上，舍去，∴；③如图3，当点在上时，点在上时.，，，，∴ ，此方程无解；∴的值是，.【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是能进行分类讨论求出的值．此题难度较大． 动直线问题：一般指由于直线的平移，引起图形变化，在运动过程中，考查图形的特殊状态，图形的面积和周长等图形的基本特征． 【例3】        如图，在中，，，．动线段（端点从点开始）沿边以的速度向点运动，当端点到达点时运动停止．过点作交于点（当点与点重合时，与重合），连接，设运动的时间为秒（）．  ⑴ 直接写出用含的代数式表示线段、的长；  ⑵ 在这个运动过程中，能否为等腰三角形？  若能，请求出的值；若不能，请说明理由；  ⑶ 设、分别是、的中点，求整个运动   过程中，所扫过的面积．【答案】⑴，．⑵分三种情况讨论：①当时，有，∴点与点重合，∴．②当时，∴，解得：．  ③当时，有，∴．∴，即，解得：．  综上所述，当、或秒时，为等腰三角形．⑶设是的中点，连接，∵，∴．∴，∴．又，∴，∴．∴点沿直线运动，也随之平移．如图，设从位置运动到位置，则四边形是平行四边形． ∵、分别是、的中点，∴，且．分别过点、作，垂足为，垂足为，延长交于点，则四边形是矩形，当时，，；当时，，．∴．∴．∴整个运动过程中，所扫过的面积为． 图形的相对运动问题：一般涉及两类问题，①两个形状固定的图形相对运动，在运动的过程中，求两图形重叠部分的面积．②在运动的过程中，图形的形状随着运动时间在变化，可考查点的重合问题，线的共线问题和图形重叠面积． 【例4】         如图，在中，，，，点在上，，点、同时从点出发，分别沿、以每秒1个单位长度的速度向点、匀速运动，点到达点后立刻以原速度沿向点运动，点运动到点时停止，点也随之停止．在点、运动过程中，以为边作正方形，使它与在线段的同侧．设、运动的时间为秒（，正方形与重叠部分面积为．  ⑴当时时，正方形的边长是________．当  时，正方形的边   长是________．  ⑵当时，求与的函数关系式；  ⑶直接答出：在整个运动过程中，当为何值时，最大？  最大面积是多少？【解析】  ⑴当时时，则，∴正方形边长是2；当时，，，∴正方形的边长是4；⑵：①当时，与的函数关系式是；⑶时，最大值为【点评】本题属于大综合题目，主要考查的知识点有一次函数、二次函数、方程组与平移、三角形的面积、三角形的相似等知识点．解决本题的关键是理顺各知识点间的关系，还要善于分解，化整为零，各个击破．
 【例5】         如图，在梯形中，，，，，点由出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段由出发沿方向匀速运动，速度为，交于，连接．若设运动时间为．解答下列问题：⑴ 当为何值时，？⑵ 设的面积为，求与之间的函数关系式；⑶ 是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由;⑷ 连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．【解析】       ⑴∵∴．而，，∴，∴．∴当，.⑵方法一：∵平行且等于，[来源:学科网]∴四边形是平行四边形．∴,．∵，∴．∴．∴．．∴．过作，交于，过作，交于．．∵，∴．又，，，⑶若，则有，解得．⑷在和中，.∴．∴在运动过程中，五边形的面积不变． 训练1.     如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点、的坐标分别为、．点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动，到点停止；点在轴上，横坐标为点的横、纵坐标之和．抛物线经过、两点．过点作轴的垂线，垂足为，交抛物线于点．设点的运动时间为（秒），  的面积为（平方单位）．⑴ 求抛物线对应的函数关系式;⑵ 分别求和时，点的坐标;⑶ 当时，求与之间的函数关系式，并直接写出的最大值． 【解析】      ⑴ 由抛物线经过点，，得解得∴抛物线对应的函数关系式为：．⑵ 当时，点坐标为，∴点坐标为．                    当时，点坐标为，∴点坐标为． ⑶ 当时，．．                                       当时，．．       当时，的最大值为．  训练2.     如图直角梯形和正方形的边、在同一条直线上，，于点，，，，直角梯形的面积与正方形的面积相等，将直角梯形沿向右平行移动，当点与点重合时停止移动．设梯形与正方形重叠部分的面积为．⑴ 求正方形的边长；⑵ 设直角梯形的顶点向右移动的距离为，求与的函数关系式；⑶ 当直角梯形向右移动时，它与正方形的重叠部分面积能否等于直角梯形面积的一半？若能，请求出此时运动的距离的值；若不能，请说明理由．【解析】       ⑴ ．设正方形边长为，∴，∴，（不合题意，舍去），∴正方形的边长为6．⑵ ①当时，重叠部分为． 过作于，可得，∴，，∴，∴，∴． ②当时，重叠部分为直角梯形 ∴ ⑶ 存在． ∵，当时，，∴，（取正值）．∴此时值不存在． 当时，，∴，∴．        综上所述，当时，重叠部分面积等于直角梯形面积的一半．训练3.     如图，在等腰梯形中，，，，．点从点出发沿折线段以每秒5个单位长的速度向点匀速运动；点从点出发沿线段方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点向上作射线，交折线段于点．点、同时开始运动，当点与点重合时停止运动，点也随之停止．设点、运动的时间是秒（）．⑴ 当点到达终点时，求的值，并指出此时的长；⑵ 当点运动到上时，为何值能使？⑶ 设射线扫过梯形的面积为，分别求出点运动到 、上时，与的函数关系式；（不必写出的取值范围）⑷ 能否成为直角三角形？若能，写出的取值范围；若不能，请说明理由．【解析】       ⑴ （秒）时，点到达终点． 此时，，∴的长为． ⑵ 如图1，若，又，则四边形为平行四边形，从而，由，，得，解得．经检验，当时，有． ⑶ ①当点在上运动时，如图2．分别过点、作于点，于点，则四边形为矩形，且，从而，于是．∴．又，从而．∴； ②当点在上运动时，如图1．过点作于点，由①知，，又，从而．∴． ⑷ 能成为直角三角形． 当为直角三角形时，的取值范围是且或． 下面是第⑷问的解法，仅供教师参考：①当点在（包括点）上，即时，如图2．过点作于点 ，则，又有，易得四边形为矩形，此时总能成为直角三角形．②当点、都在（不包括点但包括点）上，即时，如图1．由和可知，此时为直角三角形，但点、不能重合，即，解得．③当点在上（不包括点但包括点），即时，由，可知，点在以为直径的圆的外部，故不会是直角．由，可知一定是锐角．对于，，只有当点与重合，即时，，为直角三角形．综上所述，当为直角三角形时，t的取值范围是且或．       
题型一  动点问题 巩固练习【练习1】   如图，在正方形中，，动点自点出发沿方向以每秒的速度运动，同时动点自点出发沿折线以每秒的速度运动，到达点时运动同时停止，设的面积为，运动时间为，则下列图象中能大致反映与之间的函数关系的是（   ）【解析】      B 题型二  动直线问题  巩固练习【练习2】   某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度（米/秒）与时间（秒）的关系如图，                ，，．⑴ 求该同学骑自行车上学途中的速度与时间的函数关系式；⑵ 计算该同学从家到学校的路程（提示：在和段的运动过程中的平均速度分别等于它们中      点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）.【解析】       ⑴ ⑵ （米）题型三  图形相对运动问题  巩固练习【练习3】   如图，在中，，，的面积为，点为边上的    任意一点（不与、重合），过点作，交                                          于点．设的长度为，以为折线将翻                                          折，所得的与梯形重叠部分的面积记为．⑴ 用表示的面积；⑵ 求出与的函数关系式；⑶ 当取何值时，的值最大？最大值是多少？【解析】       ⑴ ∵，∴，，  ∴，∴，即 ⑵ ∵，∴边所对的三角形的中位线长为，∴当 时 ． 当时，点落在三角形的外部，其重叠部分为梯形．∵，∴边上的高．由已知求得，∴，由知，.∴．⑶ 在函数中，∵，∴当时最大为． 在函数中，当时，最大为． ∵，∴当时，最大为．