2022届高考核心猜题卷全国卷（WORD解析版）——理数

2022届高考数学核心猜题卷

全国卷（理）

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2.已知复数，为z的共轭复数，则(   )

A. B. C. D.

3.若非零向量a，b满足，且，则a与b的夹角大小为(   )

A.30° B.45° C.60° D.90°

4.已知，，，则(   )

A. B. C. D.

5.若实数x，y满足约束条件，则的最小值是(   )

A. B.0 C. D.12

6.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：

①样本数据落在区间的频率为0.45；
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型企业能享受到减免税政策；
③估计样本的中位数为480万元.
其中正确结论的个数为(   )

A.0 B.1 C.2 D.3

7.设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(   )

A. B. C. D.

8.已知函数，且，当取最小值时，函数的单调递减区间为(   )

A.， B.，

C.， D.，

9.已知三棱柱的所有棱长均为2，平面ABC，则异面直线，所成角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

10.已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为(   )

A. B. C. D.

11.以椭圆的右焦点F为圆心、c为半径作圆，O为坐标原点，若圆F与椭圆C交于A，B两点，点D是OF的中点，且，则椭圆C的离心率为(   )

A. B. C. D.

12.已知函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围为(   )

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数，若，则___________.

14.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则面积的最大值为____________.

15.4位游客到某地旅游，若每人只能从A，B，C三个景点中选择一处游览，则每个景点都有人去的概率为___________.

16.已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左支交于P，Q两点，，，则与的面积之比为________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）已知数列是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，且为数列的前n项和，求证：.

18.（12分）已知直四棱柱中，，，.
（1）求证：平面.
（2）求二面角的余弦值.
 

19.（12分）“双减”政策明确指出要通过阅读等活动，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间.某家庭有小明和小红两个孩子，父母每天为他们安排了自由阅读的时间，约定周一到周日每天的阅读时间不能比前一天少.为了调查两人自由阅读时间的情况，父亲记录了两人某周每天的阅读时间（单位：min），如下表所示，其中小明周日的阅读时间a忘了记录，但知道，.

（1）求小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率；

（2）根据小明这一周前6天的阅读时间，求其阅读时间y关于序号x的线性回归方程，并估计小明周日阅读时间a的值.

参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，.

20.（12分）已知抛物线上的点到其焦点F的距离为.

（1）求抛物线C的方程；

（2）点在抛物线C上，过点的直线l与抛物线C交于，，两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，OB交于点M，N(O为坐标原点)，求证：.

21.（12分）已知函数，其中常数.

（1）若在上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）当时，求证：导函数与函数的图象有两个交点.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]

已知曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求A，B两点间的距离.

23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若函数，对，，有，求实数k的取值范围.

2022届高考数学核心猜题卷

全国卷（理） 参考答案

一、选择题

1.答案：D

解析：由，解得，，又，，故选D.

2.答案：D

解析：因为，所以，则，故选D.

3.答案：C

解析：由得，

又，，，与b的夹角为60°，故选C.

4.答案：C

解析：由可得，因为，所以，

则，由可得，故.故选C.

5.答案：A

解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可得，作出直线并平移，由图可知当平移后的直线经过点时，z取得最小值，所以.故选A.

6.答案：D

解析：由，得，
所以数据在区间的频率为，①正确；
数据在区间的频率为，②正确；
数据在区间的频率为0.3，数据在区间的频率为0.55，故估计中位数为，③正确.故选D.

7.答案：C

解析：由题意得的定义域是R，因为是奇函数，所以

，即，所以，则，所以，则，所以，又，所以切线方程是，即.故选C.

8.答案：A

解析：因为，所以为函数的一个对称中心，为其一条对称轴，

要使最小，则周期最大，此时与为相邻对称轴与对称中心，

所以，所以，，

因为，所以，.令，，

则，，所以的单调递减区间为，，故选A.

9.答案：A

解析：如图，设F是线段BC的中点，连接交于点N，连接NF，AF，由题意知，四边形为正方形，是的中点，，是异面直线，所成的角或其补角，平面ABC，三棱柱的所有棱长均为2，，，，，

，异面直线，所成角的余弦值为.故选A.

10.答案：D

解析：因为，故数列为等比数列，设公比为q，

由，，得，所以，则，

所以

，故选D.

11.答案：C

解析：由椭圆与圆的对称性不妨令点A在第一象限，由D是OF的中点，且，可知是正三角形，则，将点A坐标代入椭圆C方程可得，即，即，整理得，即，得或.因为，所以，则.故选C.

12.答案：A

解析：易知函数的导数，令，得，即，设，则，当时，；当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示，由图得或.当时，恒成立，所以无极值，所以.故选A.

二、填空题

13.答案：6

解析：因为当时，，，

所以，所以，所以.

14.答案：

解析：由题意可知，，，又，.

又，当且仅当时，等号成立，则的面积，即面积的最大值为.

15.答案：

解析：由题意知，4位游客从A，B，C三个不同的景点中选择一处游览的方案有(种).首先从三个不同的景点中选出一个景点有2位游客去游览的方案有种，然后从4位游客中选2位到已选出的一个景点去游览的方案有种，最后余下的2位游客到余下的两个景点游览的方案有种，所以每个景点都有人去的游览方案有(种)，故所求概率.

16.答案：

解析：由知，又，则，设，则，，由，得，，则，解得，则，于是.
 

三、解答题

17.解析：（1）由题意知，

即， ………………………………………………………………3分

即，所以，

所以.……………………………………………………………………………6分

（2）由（1）得， ………………………………9分

所以

.…………………………………………………………………………12分

18解析：（1）四棱柱是直四棱柱，平面ABCD.
平面ABCD，.…………………………………………………………2分
在四边形ABCD中，，，.
又，平面.……………………………………………………4分
（2）如图，连接，记，，连接，
则平面ABCD，且.……………………………………………………5分
以O为坐标原点，分别以OA，OB，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则，，，.
，，.……………………………………6分
设平面的法向量为，

则，即，取，则，，
是平面的一个法向量.…………………………………………………8分
设平面的法向量为，

则，即，取，则，

是平面的一个法向量.……………………………………………10分
.
由图知，二面角为锐角，

故所求二面角的余弦值为.…………………………………………………………………12分
 

19.解析：（1）由题意知，，所以a的取值一共有25种情况.

令，

解得，…………………………………………………………………………………3分

又，，

所以当小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间时，a的取值一共有16种情况.

所以小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率为.…………………5分

（2）由题可得，…………………………………………………6分

，

，

，………………………………………………………8分

所以，

则，……………………………………………………………10分

所以y关于x的线性回归方程为.

当时，.

故估计小明周日阅读时间a的值为38. ……………………………………………………12分

20.解析：（1）由点在抛物线上可得，，解得.

由抛物线的定义可得，…………………………………………3分

整理得，解得或(舍去).

故抛物线C的方程为.…………………………………………………………………5分

（2）由在抛物线C上可得，解得，

所以，直线OE的方程为.………………………………………………………6分

易知，，均不为0.

由题意知直线l的斜率存在且大于0，设直线l的方程为，

联立得，消去y得.

则，得，

所以，.……………………………………………………………8分

由直线OE的方程为，得.

易知直线OB的方程为，故.

数形结合可知，要证，

即证，…………………………………………………………………………10分

即证，即证，

即，

则，此等式显然成立，

所以.……………………………………………………………………………12分

21.解析：（1）因为在上是增函数，

所以在上恒成立，

即恒成立，只需使即可.……………………………………………2分

设，则

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增，……………………………4分

所以的最小值为，

所以，解得，

故实数a的取值范围是.………………………………………………………………6分

（2）当时，.

令，

则.……………………………………………………………………………8分

令得；令得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取极小值，.……………………………………………10分

因为，，

所以存在，，使得，，

所以有两个零点，即导函数与函数的图象有两个交点.

…………………………………………………………………………………………………12分

22.解析：（1）由题意知，曲线C的普通方程为，………………2分

由可知直线l的直角坐标方程为.………………………………5分

（2）由（1）知曲线C的圆心坐标为，半径，

令圆心到直线l的距离为d，则，……………………………8分

，即，

.…………………………………………………………………………………10分

23.解析：（1）当时，，……………………………………1分

若，则，解得，

若，则，解得，

若，则，解得，……………………………………4分

综上可知，不等式的解集为.……………………………………5分

（2）对，，有，即，

，

，

又，

，………………………………………………………………………8分

，解得或，

实数k的取值范围是.…………………………………………………10分