2022年北京市门头沟区高考数学一模试卷（含答案解析）

2022年北京市门头沟区高考数学一模试卷

1. 已知集合，，则

A.  B.
C.  D.

2. 复数对应的点在复平面内的

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 函数的图像与函数的图像关于y轴对称，则

A. 2 B.  C. 4 D. 1

4. 若点为圆C：的弦AB的中点，则直线AB的方程是

A.  B.  C.  D.

5. 已知抛物线，O为坐标原点，过其焦点的直线l与抛物线相交于A，B两点，且，则AB中点M到y轴的距离为

A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

6. 已知，，，则

A.  B.  C.  D.

7. “角，的终边关于原点O对称”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 已知D是边长为2的正边BC上的动点，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于M，若，则C的渐近线方程为

A.  B.  C.  D.

10. 新型冠状病毒肺炎严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为表示自4月20日开始单位：天时刻累计感染人数，的导数表示t时刻的新增病例数，，根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为

A. 4月30日月2日 B. 5月3日月5日
C. 5月6日月8日 D. 5月9日月11日

11. 在的展开式中，的系数为______用数字作答
12. 下表记录了某地区一年之内的月降水量．

根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是______；分位数是______.

13. 在中，，，，则______；D为BC的中点，则AD的长为______.
14. 请举出一个各项均为正数且公差不为0的等差数列，使得它的前n项和满足：数列也是等差数列，则______.
15. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，，平面ABCD，F，O分别是PA，BD的中点，E是线段PB上的动点，给出下列四个结论：
    ①；
    ②；
    ③直线PO与底面ABCD所成角的正弦值为；
    ④面积的取值范围是
    其中所有正确结论的序号是______.

16. 已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．
    从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
    条件①：函数的图像经过点；
    条件②：是的对称中心；
    条件③：是的对称中心．
    根据中确定的，求函数的值域．
    
    
    
    
    
    
     
17. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共12类志愿服务．
    甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？
    已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的2名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为，求的分布列与期望．
    万名志愿者中，岁人群占比达到，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：

假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．
将志愿者支持方案的概率估计值记为，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，试比较与的大小．结论不要求证明






 

18. 如图，在正三棱柱中，，D，P分别是BC，的中点．
    在侧棱上作出点F，满足平面，并给出证明；
    求二面角的余弦值及点B到平面的距离．
    
    
     

19. 已知
    当时，判断函数零点的个数；
    求证：；
    若在恒成立，求k的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为
    求C的方程；
    直线l：与椭圆C分别相交于M，N两点，且，点A不在直线l上，
    试证明直线l过一定点，并求出此定点；
    从点A作垂足为D，点，写出的最小值结论不要求证明
    
    
    
    
    
    
     
21. 素数又称质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在2000多年前，欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的．在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果．中国数学家陈景润证明了“”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动．如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题．最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出．1934年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表A，具体构造的方法如下：
    A中位于第i行第j列的数记为，首项为且公差为的等差数列的第j项恰好为，其中，2，⋯⋯；，2，⋯⋯.
    请同学们阅读以上材料，回答下列问题：
    求；
    证明：；
    证明：①若s在A中，则不是素数；
    ②若s不在A中，则是素数．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：，

故选：
可求出集合B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了集合的列举法和描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：，
复数z对应的点，位于平面内的第二象限．
故选：
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：由函数的图像与函数的图像关于y轴对称，
可得，
则，
故选：
由图像关于y轴对称的特点，可得的解析式，再由对数的运算性质可得所求值．
本题考查函数的图像变换，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：圆的圆心为
根据题意：
又，
，
直线AB的方程是
故选：
由的一般方程可得，圆心为，由点M为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．
本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直，属基础题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：设，，根据抛物线定义，，
，可知，
，
线段AB的中点P到y轴的距离为：
故选：
先设出A，B的坐标，根据抛物线的定义求得，求出p，得到AB中点的横坐标，然后推出结果．
本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是利用了抛物线的定义．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：，
，
又，，
，
故选：
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：角，的终边关于原点O对称，不妨设，，
“角，的终边关于原点O对称”是“”的充要条件，
故选：
角，的终边关于原点O对称，不妨设，，利用特殊角的三角函数值及其充要条件的意义即可判断出结论．
本题考查了特殊角的三角函数值及其充要条件的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：如图：D在边长为2的正边BC上的动点，D在AB上的射影为E，
，显然D在B时，取得最大值
D在C时，取得最小值2，
则的取值范围是
故选：
画出图形，判断D的位置，求解向量数量积的最值即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量的几何性质，考查计算能力以及逻辑推理能力．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：如图所示，设与圆相切于点 N，过作，

故，
又，则，
则，
由双曲线定义得，
即，
故渐近线方程为，
故选：
根据直线与圆相切及三角形的性质，结合双曲线的定义可得，进而得解．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：该传染病在当地的传播模型为，
求导可得，，
当且仅当，即，即，天时，
故该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为4月30日月2日．
故选：
根据已知条件，先对求导，再结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查基本不等式的公式，属于中档题．
 

11.【答案】
 

【解析】解：的展开式中的通项为，
令，解得，
的系数为，
故答案为：
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
 

12.【答案】56 64
 

【解析】解：把表中数据按照从小到大顺序排列为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71；
计算中位数是；
因为，所以分位数是第10个数据，是
故答案为：56；
把表中数据按照从小到大顺序排列，再求中位数和百分位数．
本题考查了中位数和百分位数的计算问题，是基础题．
 

13.【答案】 
 

【解析】解：因为在中，，，，
由正弦定理，可得，可得，
因为，可得B为锐角，
所以，
所以，可得，
又D为BC的中点，可得，
所以在中，由余弦定理可得
故答案为：，
由已知利用正弦定理可得，又，可得B为锐角，进而可求B的值，利用三角形内角和定理可求A的值，进而可求，可求CD的值，在中由余弦定理可得AD的值．
本题考查了正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：当时为等差数列，此时，
则也是等差数列，满足题意．
故答案为：
当时，，也是等差数列，满足题意．
本题考查等差数列通项公式及前n项和公式，考查数学运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】①④
 

【解析】解：由，得平面PBD，
因为平面PBD，所以，①正确
计算可得，，，，
，
，
，
所以，②不正确；

由线面角定义知，就是直线PO与底面ABCD所成的角，，③不正确；
由得，，，
，时最小，④正确．
故答案为：①④．
①通过线面垂直证明线线垂直；②通过计算可得到结果；③通过线面角的定义与计算可得到结果；④通过求OE的取值范围计算三角形面积的取值范围．
本题主要考查空间中的垂直关系，线面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

16.【答案】解：由题意，得，；在区间上单调，，，
选条件①：，，，得，符合题意，可得，
选条件③：，，可得，
即，可得，符合题意，可得，
选条件②：，不满足，故解析式不存在．
由得，，
，，
函数的值域为
 

【解析】是函数的对称轴，且在区间上单调．可得，再依据选①利用，求的值，进而求，得到解析式；③，，可求得的解析式；选条件②，由不满足，解析式不存在；
由，，可求值域．
本题考查正弦型函数的单调性，求解析式，值域问题，属中档题．
 

17.【答案】解：由已知共12类志愿服务，甲被分配到对外联络服务，
且甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，
故乙可被分配的志愿服务共11，
所以乙被分配到场馆运行服务的概率为：
由已知可得随机变量的可能取值为0，1，2，
故，
，
，
分布列如下：

期望；
由已知得志愿者支持方案的概率估计值记为，
去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，
故
 

【解析】根据古典概型的计算公式直接计算；
分别计算概率并列出分布列，并求期望；
根据古典概型计算公式分别计算与，并比较大小．
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：设的中点为E，BE的中点为F，

则，，则，
平面，平面，平面
设O是边AC的中点，Z是的中点，
则平面ABC，为正三角形，
所以，，OB，OC，OZ两两垂直，
建立如图所示坐标系

则，
，
设平面的法向量为，
所以，则，
平面的法向量为，
所以二面角的余弦值为，又，
设点B到平面的距离为d，则
 

【解析】由线面平行的判定定理证明；
建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求出夹角；设点B到平面的距离为d，由，即可求得距离．
本题考查线面平面，及利用向量法求二面角与距离，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：当时，，所以在R上单调递增，而，所以只有一个零点；
证明：设，当时，，所以在上单调递增，所以，
所以，即
当时，由得恒成立．
当时，设，则，，
所以在上单调递增，，，
由零点的存在性定理得：存在，使得，所以在上单调递减，
所以不恒成立，所以k的最小值为
 

【解析】当时，求导得在R上单调递增，又因为，即可求出零点的个数．
设，求导得在上单调递增，则，即可证明．
当时，由得恒成立．
当时，设，判断的最小值大于0是否成立，即可求出答案．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为，
可得，解得，
所以椭圆的标准方程为
证明：联立方程组，整理得，
可得，
设，，所以，
因为，即，
可得

，
所以，解得或，
当时，直线方程为，此时过，不符合题意舍去；
当时，直线方程为，此时过，符合题意，
综上可得，直线过定点
由题意，从点A作垂足为D，点，
如图所示，点D落在以AP为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为，
则，所以的最小值为
 

【解析】根据题意得出关于a，b，c的方程组，求得，，解得求解；
联立方程组得出，根据，得到，结合，列出方程求得，即可求解；
根据，得到点D落在以AP为直角的圆上，求得圆心坐标和半径，结合点与圆的最值，即可求解．
本题主要考查椭圆方程的求解，圆锥曲线中的定点问题，韦达定理及其应用，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中等题．
 

21.【答案】解：根据题意：，，
证明：，公差，
，
，公差，
，
故
证明：①若s在A中，由可知，存在i，，使得
，所以不是素数．
②若s不在A中，反证法：假设为合数．
不妨令，这里a，b皆为大于1的奇数这是因为为奇数
令，其中p，q为正整数，
则
由得A中数的通项公式，可知在A中，
这与已知矛盾，所以假设不成立，从而为素数．
 

【解析】先求出和d，根据等差数列即可求解；
先求和，再求出，，代入等差数列公式求解即可；
先假设s在A中，得到，所以不是素数；
再假设s不在A中，利用反证法，为合数，令，，，
得到，可知在A中，假设不成立即可求解．
本题考查数列的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．