考点01 中考一轮复习之实数计算-2022届九年级《新题速递·数学》（人教版）

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考点01 中考一轮复习之实数计算

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

一、单选题（共14小题）

1.（2021秋•台儿庄区期末）下列各式计算正确的是（　　）
A．7﹣2×（﹣）＝5×（﹣）＝﹣1 B．﹣3÷7×＝﹣3÷1＝﹣3
C．﹣32﹣（﹣3）2＝﹣9﹣9＝﹣18 D．3×23﹣2×9＝3×6﹣18＝0

【答案】C
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵7﹣2×（﹣）＝7+＝7，故选项A错误；
∵﹣3÷7×＝﹣3××＝﹣，故选项B错误；
∵﹣32﹣（﹣3）2＝﹣9﹣9＝﹣18，故选项C正确；
∵3×23﹣2×9＝3×8﹣18＝24﹣18＝6，故选项D错误；
故选：C．
【知识点】有理数的混合运算

2.（2021秋•盐田区期末）若a＜0，b＞0，则（　　）
A．a+b＝0 B．a﹣b＞0 C．ab＜0 D．＞0

【答案】C
【分析】根据有理数a，b的符号，判断这两个数的和、差、积、商的符号即可．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，
∴a、b异号，
因此a+b不一定等于0，可能是正数、负数或0，故A不符合题意；
a﹣b＜0，因此B不符合题意；
ab＜0，故C符合题意；
＜0，故D不符合题意；
故选：C．
【知识点】有理数的乘法、有理数的减法、有理数的除法、有理数的加法

3.（2021秋•苏州期中）如图，数轴上点A，B，C分别表示数a，b，c，有下列结论：①a+b＞0；②abc＜0；③a﹣c＜0；④﹣1＜＜0，则其中正确结论的序号是（　　）

A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④

【答案】C
【分析】根据数轴，可得b＜0＜a＜c，|a|＜|b|，据此逐项判定即可．
【解答】解：①∵b＜0＜a，|a|＜|b|，
∴a+b＜0，
∴①错误；
②∵b＜0＜a＜c，
∴abc＜0，
∴②正确；
③∵b＜0＜a＜c，
∴a﹣c＜0，
∴③正确；
④∵b＜0＜a，|a|＜|b|，
∴﹣1＜＜0，
∴④正确．
∴正确的有②③④．
故选：C．
【知识点】数轴

4.（2021秋•张湾区期中）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示2021的点与圆周上表示数字（　　）的点重合．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B
【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，1，2，3的点重合．
【解答】解：∵﹣1﹣2021＝﹣2021，
2021÷4＝505…1，
∴数轴上表示数2021的点与圆周上表示数字1重合．
故选：B．
【知识点】数轴

5.（2021•宁波模拟）已知0＜x＜1，10＜y＜20，且y随x的增大而增大，则y与x的关系式不可以是（　　）
A．y＝10x+10 B．y＝﹣10（x﹣1）2+20
C．y＝10x2+10 D．y＝﹣10x+20

【答案】D
【分析】根据二次函数和一次函数的性质，A、B、C选项都符合当0＜x＜1，10＜y＜20，且y随x的增大而增大，即可进行判断．
【解答】解：A．y＝10x+10，
当 0＜x＜1，10＜y＜20时，y随x的增大而增大，
所以A选项正确；
B．y＝﹣10（x﹣1）2+20，
当 0＜x＜1，10＜y＜20时，y随x的增大而增大，
所以B选项正确；
C．y＝10x2+10，
当 0＜x＜1，10＜y＜20时，y随x的增大而增大，
所以C选项正确；
D．y＝﹣10x+20，
当 0＜x＜1，10＜y＜20时，y随x的增大而减小，
所以D选项错误．
故选：D．
【知识点】一次函数的性质、一次函数与二元一次方程（组）、二次函数的性质、有理数大小比较

6.（2021春•防城港期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是34，小正方形的面积是4，直角三角形较短的直角边是a，较长的直角边是b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．38 B．49 C．52 D．64

【答案】D
【分析】根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式（a+b）2利用完全平方公式展开后，代入计算即可求出其值．
【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2＝34，
四个直角三角形的面积之和是：ab×4＝34﹣4＝30，
即2ab＝30，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝34+30＝64．
故选：D．
【知识点】勾股定理的证明、全等图形、数学常识、三角形的面积

7.（2021•宁波模拟）“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”东汉末年数学家刘徽利用青朱出入图，证明了勾股定理．如图，若CE＝4．DE＝2，则正方形BFGH的面积为（　　）

A．15 B．25 C．100 D．117

【答案】D
【分析】根据已知条件得到CD＝DE+CE＝6，根据相似三角形的性质得到DF＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵CE＝4．DE＝2，
∴CD＝DE+CE＝6，
∴BC＝CD＝6，
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴，
∴＝，
∴DF＝3，
∴AF＝3+6＝9，
∵AB＝CD＝6，
∴BF＝＝，
∴正方形BFGH的面积＝BF2＝117，
故选：D．
【知识点】数学常识、勾股定理的证明

8.（2021秋•南关区校级期中）若规定，f（x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n整数）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，则f（1）+f（）+f（）+…+f（）的值（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19

【答案】D
【分析】根据f（x）表示的意义，分别求出f（1），f（），f（），…f（）的值，再计算结果即可．
【解答】解：f（x）表示的意义可得，f（1）＝1，f（）＝1，f（）＝2，f（）＝2，
f（）＝2，f（）＝2，f（）＝3，f（）＝3，f（）＝3，
∴f（1）+f（）+f（）+…+f（）＝1+1+2+2+2+2+3+3+3＝19，
故选：D．
【知识点】算术平方根、规律型：数字的变化类

9.（2021秋•西山区校级期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B
【分析】首先判断出b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．
【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则
①ab+ac＞0，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；
③++＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；
⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．
故正确结论有2个．
故选：B．

【知识点】实数大小比较、绝对值、数轴

10.（2021秋•西湖区校级期中）下列说法中错误的是（　　）
A．实数与数轴上的点一一对应
B．的平方根是±3
C．的系数是
D．若数a由四舍五入法得到近似数为7.30，则数a的范围是：7.295≤a＜7.305

【答案】C
【分析】利用数轴上点表示的数为全体实数可对A进行判断；利用算术平方根的定义对B进行判断；根据单项式的系数的定义对C进行判断；根据近似数的精确度对D进行判断．
【解答】解：A、实数与数轴上的点一一对应，所以A选项的说法正确；
B、＝9，而9的平方根为±3，所以B选项的说法正确；
C、a2b的系数为，所以C选项的说法错误；
D、若数a由四舍五入法得到近似数为7.30，则数a的范围是：7.295≤a＜7.305，所以D选项的说法正确．
故选：C．
【知识点】单项式、算术平方根、实数与数轴、平方根、近似数和有效数字

11.（2021秋•武侯区校级月考）下列说法中，正确的个数是（　　）
①有理数和数轴上的点一一对应；
②带根号的数一定是无理数；
③平方根和立方根都等于本身的数有0和1；
④64的算术平方根为8；
⑤若△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则它是直角三角形；
⑥若正整数a，b，c是直角三角形三边，则以a+1，b+1，c+1为边的三角形一定是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B
【分析】根据实数的性质，平方根，算术平方根的定义，直角三角形的判定等知识一一判断即可．
【解答】解：①有理数和数轴上的点一一对应，错误．数轴上除了有理数，还有无理数．
②带根号的数一定是无理数，错误，如＝2，是整数．
③平方根和立方根都等于本身的数有0和1，错误，应该是0．
④64的算术平方根为8，正确．
⑤若△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则它是直角三角形，正确．
⑥若正整数a，b，c是直角三角形三边，则以a+1，b+1，c+1为边的三角形一定是直角三角形．错误，理由是，（a+1）2+（b+1）2＝a2+b2+2a+2b+2＝c2+2（a+b）+2，（c+1）2＝c2+2c+1，则（a+1）2+（b+1）2＞（c+1）2，不是直角三角形．
故选：B．
【知识点】三角形内角和定理、立方根、平方根、无理数、实数与数轴

12.（2021春•福州期末）a＝2019×2021﹣2019×2021，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a

【答案】A
【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．
【解答】解：a＝2019×2021﹣2019×2021
＝（2021﹣1）（2021+1）﹣（2021﹣1）×2021
＝20212﹣1﹣20212+2021
＝2019；
∵20222﹣4×2021
＝（2021+1）2﹣4×2021
＝20212+2×2021+1﹣4×2021
＝20212﹣2×2021+1
＝（2021﹣1）2
＝20212，
∴b＝2021；
∵＞，
∴c＞b＞a．
故选：A．
【知识点】实数大小比较、二次根式的乘除法、二次根式的性质与化简

13.（2021春•海勃湾区期末）如图，在数轴上点A，B所表示得数分别是﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（　　）

A． B．﹣1 C． D．2﹣

【答案】B
【分析】根据题意运用勾股定理求出AC的长，即可得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1，
由勾股定理得，AC＝，
则点D表示的数为﹣1．
故选：B．
【知识点】实数与数轴、勾股定理

14.（2021•龙湾区一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．现分别在DG，BE上取点N，M（如图2），使得DN＝BM＝EF，连结AM，CM，AN，CN．记△ADN的面积为S1，△AMB的面积为S2，若正方形ABCD的面积为，且NF+DF＝5，则S2﹣S1的值为（　　）

A．1 B．2 C． D．3

【答案】A
【分析】如图2中，设DN＝BM＝EF＝a，NG＝EM＝b，构建方程组求出a2，即可解决问题．
【解答】解：如图2中，设DN＝BM＝EF＝a，NG＝EM＝b，
则有，
解得a2＝2，
∵S2﹣S1＝•a•（2a+b）﹣•a•（a+b）＝a2＝1，
故选：A．
【知识点】三角形的面积、勾股定理的证明、数学常识


二、填空题（共10小题）

15.（2021秋•虎林市期末）已知等腰三角形的两边长分别为x和y，且x和y满足|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，则这个等腰三角形的周长为　　．

【答案】7
【分析】根据非负数的性质求得x、y的值，然后得到三角形的三边长，接下来，利用三角形的三边关系进行验证，最后求得三角形的周长即可．
【解答】解：∵|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，
∴x＝3，y＝1．
当腰长为3时，三边长为3、3、1，周长＝3+3+1＝7；
当腰长为1时，三边长为3、1、1，1+1＜3，不能组成三角形．
故答案为：7．
【知识点】非负数的性质：绝对值、非负数的性质：偶次方、等腰三角形的性质、三角形三边关系

16.（2021秋•绥棱县期末）已知“!”是一种运算符号，并且1!＝1，2!＝1×2，3!＝1×2×3，4!＝1×2×3×4，…，则＝　　．

【答案】2021
【分析】根据题意，可以计算出所求式子的值．
【解答】解：由题意可得，
＝＝2021，
故答案为：2021．
【知识点】有理数的混合运算

17.（2021秋•西宁期末）若（m﹣2）2+|n+3|＝0，则m﹣n＝　　．

【答案】5
【分析】根据非负数的性质列式计算求出m、n的值，然后相减即可得解．
【解答】解：根据题意得，m﹣2＝0，n+3＝0，
解得m＝2，n＝﹣3，
所以，m﹣n＝2﹣（﹣3）＝2+3＝5．
故答案为：5．
【知识点】非负数的性质：偶次方、非负数的性质：绝对值

18.（2021•恩施州）如图，已知半圆的直径AB＝4，点C在半圆上，以点A为圆心，AC为半径画弧交AB于点D，连接BC．若∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积为　　．（结果不取近似值）


【分析】根据60°特殊角求出AC和BC，再算出△ABC的面积，根据扇形面积公式求出扇形CAD的面积，再用三角形的面积减去扇形面积即可．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∴BC＝，AC＝，
∴，
∵∠CAB＝30°，
∴扇形ACD的面积＝，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
【知识点】圆周角定理、扇形面积的计算、近似数和有效数字

19.（2021秋•定西期末）在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”，如图1．该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中一组斜数列用字母a1、a2、a3…代替，如图2．计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…的值，观察计算结果，总结其规律，可得a99+a100＝　　．


【答案】10000
【分析】根据题意和图形中的数据，可知an＝an﹣1+n，从而可以求得所求式子的值，本题得以解决．
【解答】解：a1＝1，
a2＝1+2＝3，
a3＝3+3＝6，
a4＝6+4＝10，
…，
an＝an﹣1+n，
则a99+a100
＝2a99+100
＝2（a98+99）+100
＝2（1+2+3+…+99）+100
＝（1+99+2+98+…+99+1）+100
＝9900+100
＝10000．
故答案为：10000．
【知识点】规律型：图形的变化类、数学常识

20.（2021秋•江阴市期中）小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减31元，满100元减45元，如果小宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐总费用最低可为　　元．
菜品
单价（含包装费）
数量
水煮牛肉（小）
30元
1
醋溜土豆丝（小）
12元
1
豉汁排骨（小）
30元
1
手撕包菜（小）
12元
1
米饭
3元
2


【答案】53
【分析】根据满30元减12元，满60元减31元，满100元减45元，每份订单的配送费为3元，列出算式计算即可得到结论．
【解答】解：小宇应采取的订单方式是60一份，30一份，
所以点餐总费用最低可为
（30×2﹣31）+（12×2+3×2﹣12）+3×2
＝（60﹣31）+（24+6﹣12）+6
＝29+18+6
＝53（元），
100﹣45+3×2
＝55+6
＝61（元），
因为53＜61，
所以他点餐总费用最低可为53元．
故答案为：53．
【知识点】有理数的混合运算

21.（2021•黄石）匈牙利著名数学家爱尔特希（P．Erdos，1913﹣1996）曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则∠ADO的度数是　　．

【答案】18°
【分析】由题意知点A、B、C、D为正五边形任意四个顶点，且O为正五边形中心得出∠AOB＝＝72°，继而得出∠AOD＝144°，根据OA＝OD可得答案．
【解答】解：由题意知点A、B、C、D为正五边形任意四个顶点，且O为正五边形中心，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝＝72°，
∴∠AOD＝360°﹣3∠AOB＝144°，
又∵OA＝OD，
∴∠ADO＝＝＝18°，
故答案为：18°．
【知识点】多边形内角与外角、数学常识、等腰三角形的性质、正多边形和圆

22.（2021秋•温江区月考）如果a，b是任意两个不等于零的数，定义运算⊕如下（其余符号意义如常）：a⊕b＝，那么[（1⊕2）⊕3]的值是　　．

【分析】按照定义运算⊕的计算法则代入求值即可．
【解答】解：根据题意，得[（1⊕2）⊕3]＝⊕3＝＝．
故答案是：．
【知识点】分式有意义的条件、有理数的混合运算

23.（2021秋•武侯区校级月考）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P＝|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒为一常数，则此值为　　．

【答案】1
【分析】由于P＝|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒为一常数，即P的值与x 无关，因此化简后就不含有x项，根据绝对值的化简得出答案即可．
【解答】解：∵P＝|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒为一常数，
∴P的值与x 无关，
即，化简绝对值后就不含有x项，也就是去掉绝对值号以后，x项的系数之和为0，
又∵﹣4﹣5﹣6+7+8＝0，
∴1﹣4x＞0，1﹣5x＞0，1﹣6x＞0而1﹣7x＜0，1﹣8x＜0，
即＜x＜，
此时P＝1﹣4x+1﹣5x+1﹣6x+7x﹣1+8x﹣1＝1，
故答案为：1．
【知识点】绝对值

24.（2021秋•江阴市期中）现有一列整数，第一个数为1，第二个数为x（x为正整数）．以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到．如第三个数是由x与1差的绝对值得到，即为|x﹣1|，第四个数是由|x﹣1|与x差的绝对值得到，即为||x﹣1|﹣x|，…依此类推．要使这列数的前100个数中恰好有30个0，则x＝　　．

【答案】6或7
【分析】分x为偶数和奇数时进行讨论，找到规律即可求x的值．
【解答】解：①x为偶数：
这列数为：1，x，x﹣1，1，x﹣2，x﹣3，…，1，2，1，1，0，1，1，0，1，…，
观察可得出，每3个为一组，每组第1个数均为1，第2个，第3个数从x开始依次﹣1，直至减到1，然后开始1，0，1循环，
∵前100个数中恰好有30个0，
∴100÷3＝33…1，
则前3组不含0，即前3组的第2个、第3个数从x开始减到1，从第4组开始后30组均为1，0，1，
∴2×3＝6，则x＝6；
②x为奇数时：
这列数为：1，x，x﹣1，1，x﹣2，x﹣3，…，1，3，2，1，1，0，1，1，0，…，
观察可得出，每3个为一组，每组第1个数均为1，第2个，第3个数从x开始依次﹣1，直至减到2，然后开始1，1，0循环，
∵前100个数中恰好有30个0，
∴100÷3＝33…1，
则前3组不含0，即前3组的第2个、第3个数从x开始减到2，从第4组开始后30组均为1，1，0，
∴2×3＝6，则x＝6+1＝7；
综上所述：x的值为6、7．
故答案为：6或7．
【知识点】绝对值、规律型：数字的变化类


三、解答题（共10小题）

25.（2021秋•北碚区期末）计算下列各题
（1）（﹣2）3﹣|2﹣5|﹣（﹣15）；
（2）（﹣+﹣+）÷（﹣）；
（3）﹣32﹣[（1）3×（﹣）﹣6÷|﹣|]；
（4）2×（﹣1）﹣2×13+（﹣1）×5+×（﹣13）．

【分析】（1）根据有理数的乘方、有理数的加减法可以解答本题；
（2）先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律可以解答本题；
（3）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题；
（4）根据乘法分配律可以解答本题．
【解答】解：（1）（﹣2）3﹣|2﹣5|﹣（﹣15）
＝（﹣8）﹣3+15
＝（﹣8）+（﹣3）+15
＝4；
（2）（﹣+﹣+）÷（﹣）
＝（﹣+﹣+）×（﹣24）
＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24）
＝12+（﹣20）+9+（﹣10）
＝﹣9；
（3）﹣32﹣[（1）3×（﹣）﹣6÷|﹣|]
＝﹣9﹣[（）3×（﹣）﹣6÷]
＝﹣9﹣[×（﹣）﹣6×]
＝﹣9﹣（﹣﹣9）
＝﹣9++9
＝；
（4）2×（﹣1）﹣2×13+（﹣1）×5+×（﹣13）
＝（2+5）×（﹣1）+[（﹣2）+（﹣）]×13
＝7×（﹣）+（﹣3）×13
＝（﹣10）+（﹣39）
＝﹣49．
【知识点】有理数的混合运算

26.（2021秋•天津期末）计算：
（1）（﹣﹣+）÷；
（2）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2×2÷﹣14]．

【分析】（1）先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律即可解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）（﹣﹣+）÷
＝（﹣﹣+）×36
＝﹣×36﹣×36+×36
＝﹣27﹣20+21
＝﹣26；
（2）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2×2÷﹣14]
＝（﹣8）+（﹣3）×（16×2×2﹣1）
＝（﹣8）+（﹣3）×（64﹣1）
＝（﹣8）+（﹣3）×63
＝（﹣8）+（﹣189）
＝﹣197．
【知识点】有理数的混合运算

27.（2021秋•唐山期中）一名快递员骑电动车从饭店出发送外卖，向东走了2千米到达小红家，继续向东走了4.5千米到达小明家，然后又向西走了8.5千米到达小刚家，最后回到饭店．以饭店为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1千米，点O、A、B、C分别表示饭店、小红家、小明家和小刚家．
（1）请你画出数轴，并在数轴上表示出点O，A，B，C的位置；
（2）小刚家距小红家多远？
（3）若小红步行到小明家每小时走5千米；小刚骑自行车到小明家每小时骑10千米，若两个人同时分别从自己家出发，问两个人能否同时到达小明家，若不能同时到达，谁先到达？

【分析】（1）根据题干描述描点即可；
（2）根据数轴上两点间的距离公式列式求解即可；
（3）用两点间的距离除以各自的速度，从而求出到达小明家的时间，据此可得答案．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）由图知小刚家距小红家2﹣（﹣2）＝4（千米）；
（3）小红步行到小明家需要的时间为（6.5﹣2）÷5＝0.9（小时），
小刚骑自行车到小明家需要的时间为[6.5﹣（﹣2）]÷10＝8.5÷10＝0.85（小时），
∴两个人不能同时到达小明家，小刚先到达．
【知识点】正数和负数、有理数的混合运算、数轴

28.（2021秋•大东区期末）阅读材料：求1+2+22+23+…+22019+22021的值．
解：设S＝1+2+22+23+…+22019+22021①，将等式①的两边同乘以2，
得2S＝2+22+23+24+…+22021+22021②，
用②﹣①得，2S﹣S＝22021﹣1，
即S＝22021﹣1．
即1+2+22+23+…+22019+22021＝22021﹣1．
请仿照此法计算：
（1）请直接填写1+2+22+23的值为　　；
（2）求1+5+52+53+…+510的值；
（3）请直接写出1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102021﹣的值．

【答案】15
【分析】（1）根据有理数的乘方和有理数的加法可以解答本题；
（2）根据题目中的例子，设S＝1+5+52+53+…+510，然后即可得到5S的值，然后作差，整理，即可得到所求式子的值；
（3）仿照题目中的例子，设S＝1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102021，然后即可得到10S的值，然后整理，再代入所求式子，即可解答本题．
【解答】解：（1）1+2+22+23
＝1+2+4+8
＝15，
故答案为：15；
（2）设S＝1+5+52+53+…+510，
则5S＝5+52+53+…+511，
∴5S﹣S＝511﹣1，
∴4S＝511﹣1，
∴S＝，
即1+5+52+53+…+510＝；
（3）设S＝1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102021，
则10S＝10﹣102+103﹣104+105﹣…﹣102021+102021，
∴S+10S＝1+102021，
∴11S＝1+102021，
∴S＝，
∴1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102021﹣
＝﹣
＝．
【知识点】规律型：数字的变化类、有理数的混合运算

29.（2021秋•宽城区期末）观察下列等式：
＝1，＝，＝．
将以上三个等式的两边分别相加，得：+＝1＝1＝．
（1）直接写出计算结果：＝　　．
（2）计算：．
（3）猜想并直接写出：＝　　．（n为正整数）

【分析】（1）根据题目中的例子，可以将所求式子拆项，然后计算即可；
（2）根据题目中的例子，可以将所求式子拆项，然后计算即可得到所求式子的结果；
（3）根据题目中式子的特点，拆项，然后计算即可．
【解答】解：（1）
＝1﹣+…+
＝1﹣
＝，
故答案为：；
（2）
＝1﹣+…+
＝1﹣
＝
＝；
（3）
＝×（1﹣+…+）
＝×（1﹣）
＝×
＝×
＝，
故答案为：．
【知识点】规律型：数字的变化类、有理数的混合运算

30.（2021秋•西城区校级期中）阅读下面信息：
①数轴上两点M、N表示数分别为x1，x2，那么点M与点N之间的距记为|MN|且|MN|＝|x1﹣x2|．
②当数轴上三点A、B、C满足|CA|＝k|CB|（k＞1）时，则称点C是“A对B的k相关点”．例如，当点A、B、C表示的数分别为0，1，2时，|CA|＝2|CB|，所以C是“A对B的2相关点”．
根据以上信息，回答下列问题：
已知点A、B在数轴上表示的数分别为6和﹣3，动点P在数轴上表示的数为x：
（1）若点P是“A对B的2相关点”，则x＝　　；
（2）若x满足|x+2|+|x﹣1|＝3，且点P是“A对B的k相关点”，则k的取值范围是　　；
（3）若动点P从A点出发以每秒1个单位的速度向左运动，同时动点Q从B点出发以每秒2个单位的速度向右运动，运动t秒时，点Q恰好是“P对A的2相关点”，求t的值．

【分析】（1）根据“A对B的k相关点”的定义，分点P在点B左边和点P在A，B之间列方程求解即可；
（2）首先求出|x+2|+|x﹣1|＝3时x的取值范围，再根据点P是“A对B的k相关点”列出相应方程，求出得到x的不等式组，解出不等式组即可得到k的取值范围；
（3）分别表示出P、Q，根据题意分两种情况列出方程求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得，|PA|＝2|PB|，
情形①：当点P在点B的左边时，则有，6﹣x＝2（﹣3﹣x），解得，x＝﹣12；
情形②：点P在点A，B间，则有，6﹣x＝2（x+3），解得，x＝0；
故答案为：﹣12或0；
（2）∵|x+2|+|x﹣1|＝3，
∴﹣2≤x≤1，
∵点P是“A对B的k相关点”，
∴|6﹣x|＝k|﹣3﹣x|，
∴6﹣x＝k（3+x），
∴x＝，
∴﹣2≤≤1，即：﹣2≤≤1，
∴1≤≤4，
∵k＞1，
∴k+1≤9，
解得，k≤8，
又4（k+1）≥9，
解得，k≥，
∴；
故答案为：；
（3）∵运动t秒后，P表示的数为6﹣t，Q表示的数为﹣3+2t，点Q恰好是“P对A的2相关点”，
∴|QP|＝2|QA|，
∴|﹣3+2t﹣6+t|＝2|﹣3+2t﹣6|，
∴|﹣9+3t|＝2|﹣9+2t|，
∴﹣9+3t＝2（﹣9+2t），或∴﹣9+3t＝﹣2（﹣9+2t），
解得：t＝9或t＝．
【知识点】一元一次方程的应用、数轴、绝对值

31.（2021秋•莲湖区期中）观察下列等式：
＝1﹣，＝，＝，
将以上三个等式两边分别相加得：
++＝1﹣＝1﹣＝．
（1）猜想并写出：＝　　．
（2）直接写出计算结果：+++…+＝　　；
（3）探究并计算：
①．
②．


【分析】（1）观察已知等式即可得结果；
（2）根据已知等式的计算过程进行计算即可得结果；
（3）①结合（1）（2）的计算过程进行计算即可；
②结合①进行有理数混合运算即可．
【解答】解：（1）＝﹣；
故答案为：﹣；
（2）+++…+
＝1+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝；
故答案为：；
（3）①
＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）
＝（1﹣）
＝；
②
＝（1﹣﹣++﹣﹣++﹣+…+﹣﹣+）
＝×（1﹣﹣+）
＝．
【知识点】有理数的混合运算、规律型：数字的变化类

32.（2021秋•安定区期末）阅读下列材料：
现规定一种运算：＝ad﹣bc．
例如：＝1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2；＝4x﹣（﹣2）×3＝4x+6．
按照这种规定的运算，请解答下列问题：
（1）＝　　（只填结果）；
（2）已知：＝1．求x的值．（写出解题过程）

【答案】4
【分析】（1）原式利用已知的新定义化简，计算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定义化简，求出解即可得到x的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝2+6×＝2+2＝4；
故答案为：4；
（2）由题意得：﹣＝1，
去分母，得：3x﹣5（x﹣3）＝15，
去括号，得：3x﹣5x+15＝15，
移项及合并，得：﹣2x＝0，
系数化为1，得：x＝0．
【知识点】有理数的混合运算、解一元一次方程

33.（2021秋•重庆期末）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|．
例如：＝＝|++|＝请解决下列问题：
（1）求的值．
（2）设S＝++…+，求S的整数部分．
（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围．

【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；
（2）将++…+进行化简，再确定整数部分；
（3）将原式化简为|+3|+|﹣3|，再根据|+3|+|﹣3|取最小值时，确定x的取值范围．
【解答】解：（1）＝＝|++|＝；
（2）S＝++…+
＝++…+
＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|
＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣
＝2021+，
故整数部分为2021；
（3）由题意得，
+|﹣﹣|
＝|++|+|﹣﹣|
＝|+|+|﹣|，
又y+z＝3yz，
原式＝|+3|+|﹣3|，
因为|+3|+|﹣3|取最小值，
所以﹣3≤≤3，而x＞0，
因此，0＜x≤，
答：x的取值范围为0＜x≤．
【知识点】分式的加减法、实数的运算、估算无理数的大小、规律型：数字的变化类、二次根式有意义的条件

34.（2021春•潼南区期末）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣1×i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i
i4＝i2×i2＝﹣1×（﹣1）＝1
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：3i3＝　　；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）+i5；
（3）计算：i+i2+i3+i4+…+i2022．

【答案】-3i
【分析】（1）根据复数的运算法则可求解；
（2）根据复数的运算法则计算可求解；
（3）根据复数的定义可知式子中的4个数一个循环，可求解2021为505个循环余2，据此可计算求解．
【解答】解：（1）3i3＝3×i×（﹣1）＝﹣3i，
故答案为﹣3i；
（2）原式＝3﹣4i+3i﹣4i2+i5
＝3﹣i﹣4×（﹣1）+（﹣i）
＝3﹣i+4﹣i
＝7；
（3）原式＝[i+（﹣1）+i×（﹣1）+1]×505+i+（﹣1）
＝0+i+（﹣1）
＝i﹣1．
【知识点】规律型：数字的变化类、实数的运算