2022届吉林省双辽市一中、大安市一中、通榆县一中等重点高中高三上学期期末联考数学（理）试题含解析

2022届吉林省双辽市一中、大安市一中、通榆县一中等重点高三上学期期末联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解方程组可得解.

【详解】因为方程组无解，所以.

故选:A.

2．已知复数（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（      ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的运算性质化简复数z即可.

【详解】∵，

∴对应点的坐标为，∴在复平面内对应的点位于第一象限．

故选：A．

3．将4个不同的球放到3个不同的盒子里，每个盒子中至少放一个球，则放法种数有（       ）．

A．72 B．60 C．48 D．36

【答案】D

【分析】先分组共有种分组方法，然后分配，有种，由分步计数原理可得结果．

【详解】先分组共有种分组方法，然后分配，有种，

由分步计数原理得有种放法．

故选：D．

4．已知实数，满足约束条件则目标函数的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】画出可行域，通过平移即可找到最优解，从而可求出最大值.

【详解】画出可行域（如图阴影部分所示），当直线过点时，取得最大值，

联立，易求得点的坐标为，所以.

故选:.

5．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV）、纯电动汽车（BEV，包括太阳能汽车）、燃料电池电动汽车（FCEV）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等．非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：

由上表可知其线性回归方程为，则的值是（       ）．A．0.28 B．0.32 C．0.56              D．0.64

【答案】A

【分析】先计算，，再根据样本中心点适合方程解得的值即可.

【详解】由表中数据可得，，

将代入，即，解得．

故选:A．

6．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．

详解：由题可知

所以

由余弦定理

所以

故选C.

点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．

7．已知，且，则（       ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由可求sinθ，由可求tanθ，再由正切二倍角公式可求tan2θ.

【详解】∵，且，

∴，

∴，

∴．

故选：B．

8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，作出三视图的直观图，根据三视图所给数据，即可求出结果.

【详解】由题意，作出三视图的直观图，图下图所示，其中三棱锥即为该几何体的直观图，

由三视图可知，

，

所以三角形的高为

所以三角形的面积为；

，；

所以该几何体的表面积为.

故选：B.

9．若点为圆的弦的一个三等分点，则弦的长度为（       ）．

A． B．4 C． D．

【答案】A

【分析】不妨设P为靠近A的一个三等分点，设AB的中点为Q，原点为O，，则由，解得值，即可求出弦的长度．

【详解】不妨设P为靠近A的一个三等分点，

设AB的中点为Q，原点为O，，则，

由，

得，所以，故．

故选：A．

10．已知函数，若在区间内没有零点，则的最大值是（       ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用三角恒等变换化简，结合正弦函数零点性质，即可求解．

【详解】，

令，，．

又函数在区间内没有零点，所以，

解得，，

所以，，，，所以的最大值是．

故选：C．

11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是C上的一点，，，则C的离心率是（       ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题知， ，，，进而结合正弦定理，再根据求解即可.

【详解】解：由题意可知，因为在中，，，

所以， ，

所以，

所以．

在中，由正弦定理可得，，

所以，

所以离心率．

故选：D．

12．若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将a、b分离到等号两边，构造函数，将问题转化为判断函数f(x)在(0，﹢∞)上的单调性.

【详解】因为，

所以，

即．

令，则，

所以，即．

因为，令，

，所以在上单调递增，

所以，所以，即，

所以在上单调递增．又，所以．

故选：B．

二、填空题

13．已知菱形ABCD的边长为2，，点E是线段AB上的一点．且，则______．

【答案】

【分析】先计算，代入计算，再计算，即得结果.

【详解】由题意知，,

故，

所以．

故答案为: .

14．已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，则______．

【答案】

【分析】先求得函数的周期，再根据周期与奇偶性结合对数运算即可求解结果．

【详解】因为函数为奇函数，所以，

所以，所以，

所以，即，

所以的周期为4．所以，

又时，，

所以，所以．

故答案为：

15．已知正三棱柱的所有顶点都在球的表面上，直线与底面所成的角是，若正三棱柱的体积是2，则球的表面积是_________．

【答案】

【分析】根据题意，可求出正三棱柱底面的边长和高，根据正三棱柱的特点，作出草图，根据勾股定理，即可求出外接球的半径，进而求出结果.

【详解】因为在正三棱柱直线与底面所成的角是，即，

设正三棱柱的底面边长为，

所以在直角三角形中，，

又正三棱柱的体积是，所以,所以，

设的外接圆的圆心分别为，则正三棱柱的外接球的球心为线段的中点，即

所以在正三角形中，由正弦定理可得

设正三棱柱的外接球的半径为，如图下图所示，

所以,即,

所以球的表面积为.

故答案为：.

16．已知双曲线的左顶点为M，点，双曲线C的左、右焦点分别为，，点P为线段MN上异于M的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，若，则双曲线C的焦距为______．

【答案】

【分析】根据已知条件表示出，分别求其最小值和最大值，以及此时的面积对应为，，由可求双曲线的焦距.

【详解】由题意可知，，则线段MN所在直线的方程为．

因为点P在线段MN上，可设，其中．

设双曲线C的焦距为，则，，，

从而，，

故．

因为，所以当时，取得最小值，

此时，．

当，即时，无最大值，所以不符合题意；

当，即时，在处取得最大值，此时，，

因为，所以，解得，符合题意．

综上，，，，故双曲线C的焦距．

三、解答题

17．在等差数列中，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等差数列的性质及等差数列的通项公式即得；

（2）由题可得，再利用裂项相消法即得.

(1)

法1：因为，所以，因为，所以，

所以，所以公差，所以．

法2：设等差数列的公差为，联立得解得

所以．

(2)

由（1）知，

所以， ，

所以

．

18．2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是11∶13，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有75人对冰壶运动没有兴趣．

(1)完成下面列联表，并判断是否有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？

(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出3人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．

附：

【答案】(1)表格见解析，有

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据题目所给的数据填写列联表，计算,依据题目中的表格，得出结论;

（2）根据分层抽样的定义求出抽取的8人中男生和女生的人数，再确定出X的所有可能取值为0，1，2，3，并分别求出其相应的概率，利用期望公式即可求解.

(1)

根据题意得男生有275人，女生有325人；对冰壶运动有兴趣的人数为400人，对冰壶运动无兴趣的人数为200人，对冰壶运动无兴趣的男生为200-75=125人，对冰壶运动有兴趣的男生为275-125=150人，对冰壶运动有兴趣的女生为325-75=250人，

得到如下列联表：

所以，

则有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．

(2)

对冰壶运动有兴趣的一共有400人，

从中抽取8人，抽到的男生人数为（人），

女生人数分别为（人）．

X的所有可能取值为0，1，2，3．

，，

，，

所以X的分布列是：

则．

19．如图，三棱锥中，AC，BC，PC两两垂直，，E，F分别是棱AC，BC的中点，的面积为8，四棱锥的体积为4．

(1)若平面平面，证明：；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面平行的判定定理证得平面，结合线面平行的性质，即可证得．

（2）由，求得，以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

(1)

证明：因为E，F分别是AC，BC的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面．

因为平面平面，平面PEF，所以．

(2)

解：因为AC，BC，PC两两垂直，，AC，平面ABC，

所以平面ABC，所以PC是四棱锥的底面ABFE上的高，

因为，，所以．

因为E，F分别是AC，BC的中点，，

所以，即．

以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

如图所示，可得，，，，

所以，．

设平面EFP的一个法向量为，所以，可得，

令，所以，即，

又由平面，所以平面的一个法向量为，

所以，

由图知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．

20．如图所示，已知抛物线，过点的直线l交C于不同的A，B两点（点A在P，B之间），记点A，B的纵坐标分别为，，过A作x轴的垂线交直线OB于点D（O为坐标原点）．

(1)求证：；

(2)求的面积的最大值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意设直线l的方程为，进而与抛物线联立方程，结合韦达定理求解即可；

（2）结合（1）得，，直线OB：，进而得，故的面积，，再根据导数求解函数，的最值即可得答案.

(1)

证明：由题意，直线l的斜率显然存在，

设直线l的方程为，

联立方程组，可得，

所以，所以

(2)

解：由（1）可得，解得且．

因为点A在P，B之间，所以，

所以，直线OB：．

设点，由点D在直线上可得，

所以的面积．

因为，所以，

又，所以，．

令，，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以．

所以，当且仅当时取最大值．

即的面积的最大值是．

21．（1）已知函数（），求证：；

（2）若函数在上为减函数，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）求，利用导数判断单调性，求出在上的最值即可求证；

（2）设，求导判断单调性，可求得，再分、、，对去绝对值求导，令对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解.

【详解】（1）由可得，

因为，所以，，

所以，所以在上为减函数，

所以，，

故.

（2）设，则对于恒成立，

所以在上为增函数，

由，得，即.

（i）当时，，则，从而，

因为函数在上为减函数，

所以，即对恒成立，

即对恒成立，

由（1）知，所以，所以.

（ii）当时，，则，

所以，

因为函数在上为减函数，

所以，即对恒成立，

即对恒成立，

由（1）知，所以，所以

（iii）当时，则存在唯一的，使得，从而.

当时，，即存在，且，使得，这与“在上为减函数”矛盾，此时不合题意.

综上，实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：

（1）若函数在区间上单调递增或递减，则与一个为最大值，另一个为最小值；

（2）若函数在区间内有极值，则要先求出函数在上的极值，再与，比较，最大的为最大值，最小的为最小值；

（3）函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C的普通方程；

(2)已知点P的直角坐标为，过点P作C的切线，求切线的极坐标方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）直接根据圆的参数方程求解即可得答案；

（2）由题设切线方程为，进而结合直线与圆的位置关系得，再将切线的直角方程化为极坐标方程即可得答案.

(1)

解：曲线C的参数方程为（为参数），

所以C的普通方程是．

(2)

解：由题意，切线的斜率一定存在，

设切线方程为，即，

所以，解得．

所以切线方程是或，

将，代入，

化简得或．

所以切线的极坐标方程为或

23．已知函数．

(1)若，求不等式的解集；

(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，分，，三种情况讨论求解即可；

（2）由绝对值三角不等式得恒成立，进而分和两种情况求解即可.

(1)

解：若，．

当时，，解得，所以；

当时，，无解；

当时，，解得，所以．

综上，不等式的解集是．

(2)

解：因为，当且仅当时等号成立，

若，不等式恒成立，只需．

当时，，解得；

当时，，此时满足条件的a不存在．

综上，实数a的取值范围是．