2020-2021学年1.3 综合应用课后练习题

习题课　三角恒等变换的综合应用

1.sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°的值等于(　　)

A. B. C. D.1+

【解析】sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin 30°=1+.

【答案】B

2.的值是(　　)

A. B. C. D.

【解析】原式=

=

=.

【答案】C

3.若sin，则cos=(　　)

A. B.- C. D.-

【解析】因为sin，

所以sin，

所以cos，

所以cos=2cos2+α-1=2×-1=-，选D.

【答案】D

4.(多选)已知a=(cos 2α，sin α)，b=(1，2sin α-1)，α∈，π，若a·b=，则(　　)

A.sin α= B.cos 2α=-

C.sin 2α=- D.tanα+=

【解析】因为a·b=cos 2α+sin α(2sin α-1)

=1-2sin2α+2sin2α-sin α=1-sin α=，

所以sin α=，所以A正确;

因为α∈，π，所以cos α=-，

所以sin 2α=2××-=-，

所以B错误，C正确;

所以tan α=-，

所以tanα+=.所以D正确.

【答案】ACD

5.(多选)关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的四个结论，正确的是(　　)

A.最大值为

B.把函数g(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位长得到f(x)的图象

C.单调递增区间为kπ-，kπ+(k∈Z)

D.图象的对称中心为，-1(k∈Z)

【解析】因为f(x)=2(sin x-cos x)cos x=2sin xcos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin2x--1，所以最大值为-1，所以A错误;

将g(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到h(x)=·sin 2-1=sin-1的图象，所以B错误;

由-+2kπ≤2x-+2kπ，k∈Z，

解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

即增区间为kπ-，kπ+(k∈Z)，所以C正确;

由2x-=kπ，k∈Z，得x=π+，k∈Z，所以图象的对称中心为，k∈Z，所以D正确.

【答案】CD

6.已知cos 2θ=，则sin4θ+cos4θ=　　　　. 

【解析】法一:因为cos 2θ=，

所以2cos2θ-1=，1-2sin2θ=，

即cos2θ=，sin2θ=，所以sin4θ+cos4θ=.

法二:sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-sin22θ

=1-(1-cos22θ)=1-.

【答案】

7.化简=　　　　　. 

【解析】原式=tan(90°-2α)·

=.

【答案】

8.函数f(x)=4cos2cos-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为　　　　　. 

【解析】令f(x)=4··sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|=0，即sin 2x=|ln(x+1)|，在同一坐标系作出y=sin 2x与y=|ln(x+1)|的图象.

由图象知共2个交点，故f(x)的零点个数为2.

【答案】2

9.已知tan α=2.

(1)求tan的值;

(2)求的值.

解(1)tan

==-3.

(2)

=

=

==1.

10.已知5sin β=sin(2α+β)，求证:2tan(α+β)=3tan α.

证明5sin β=5sin[(α+β)-α]

=5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α，

sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]

=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α.

因为5sin β=sin(2α+β)，所以5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α，

所以4sin(α+β)cos α=6cos(α+β)sin α，

所以2tan(α+β)=3tan α.

1.已知α∈，tan=-3，则sin α=(　　)

A. B.-

C. D.±

【解析】tan α=tan

==-，因为α∈，

所以α∈，故sin α=.

【答案】A

2.已知<α<π，且cosα-=-，则cos α的值为 (　　)

A. B.-

C. D.

【解析】因为<α<π，所以<α-，

因为cosα-=-，所以sinα-=，

所以cos α=cosα-+

=cosα-cos-sinα-sin

=-.

【答案】D

3.=(　　)

A. B. C. D.1

【解析】

=

=.

【答案】A

4.已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根，则△ABC是(　　)

A.钝角三角形 B.锐角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得

所以tan(A+B)=.

在△ABC中，tan C=tan[π-(A+B)]

=-tan(A+B)=-<0，

所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形.故选A.

【答案】A

5.如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则sinx+=　　　;应按角度x=　　　　来截. 

【解析】设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则，

又a=GC+CF=bsin x+bcos x，

所以sin x+cos x=，所以sinx+=.

因为0<x<<x+，

所以x+或x+，解得x=或x=.

【答案】

6.若sin，0≤α≤π，则tan α的值是　　　　　　　　　　. 

【解析】.

因为0≤α≤π，所以0≤.

当0≤时，cos≥sin，

所以原式=2sin.

又原式=sin，所以sin=0，所以tan=0，

所以tan α==0.

当<α≤时，cos<sin，

所以原式=2cos.

又原式=sin，所以tan=2，所以tan α=-.

【答案】0或-

7.已知cos=-，sin，且α∈，β∈.

求:(1)cos;　(2)tan(α+β).

解(1)因为<α<π，0<β<，

所以<α-<π，--β<.

所以sin，

cos.

所以cos=cos

=cosα-·cos+sin·sin=-.

(2)因为，

所以sin.

所以tan=-.

所以tan(α+β)=.

8.已知向量a=(cos x，sin x)，b=(-cos x，cos x)，c=(-1，0).

(1)若x=，求向量a，c的夹角;

(2)当x∈时，求函数f(x)=2a·b+1的最大值.

解(1)因为a=(cos x，sin x)，c=(-1，0)，

所以|a|==1，|c|==1.

当x=时，a=，

a·c=×(-1)+×0=-，cos<a，c>==-.

因为0≤<a，c>≤π，所以<a，c>=.

(2)f(x)=2a·b+1=2(-cos2x+sin xcos x)+1

=2sin xcos x-(2cos2x-1)=sin 2x-cos 2x

=sin.

因为x∈，所以2x-，

所以sin，

所以当2x-，即x=时，f(x)max=1.