（新高考专用） 02平面向量与复数-小题限时集训（原卷版和解析版）

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专题02 平面向量与复数一、单选题1．（2022·四川绵阳·二模（理））已知平面向量，不共线，，，，则（       ）A．，，三点共线 B．，，三点共线C．，，三点共线 D．，，三点共线【答案】D【解析】【分析】根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.【详解】平面向量，不共线，，，，对于A，，与不共线，A不正确；对于B，因，，则与不共线，B不正确；对于C，因，，则与不共线，C不正确；对于D，，即，又线段与有公共点，则，，三点共线，D正确.故选：D2．（2022·福建宁德·模拟预测）已知向量，夹角为，且，，则（       ）A．5 B． C．4 D．3【答案】A【解析】【分析】由两边平方，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的方程，即可解得的值.【详解】∵向量，夹角为，且，，∴即 ，解得或（舍去）故选：A.3．（2021·全国·模拟预测）已知A，B，C，D在同一平面上，其中，若点B，C，D均在面积为的圆上，则（       ）A．4 B．2 C．－4 D．－2【答案】A【解析】【分析】根据圆的面积得到圆的半径，结合，的长度求出，所成角为60°，进而利用向量的减法及数量积公式进行求解.【详解】依题意，圆的半径为2，设圆心为O，因为，所以BD为圆的直径，，因为，则是等边三角形，所以，所成角为60°，所以故选：A．4．（2022·安徽六安·一模（理））已知为坐标原点，点，若点为平面区域上的动点，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先画出线性约束条件的可行域，再去求目标函数的取值范围即可.【详解】满足约束条件的平面区域如图所示：可知，，，∵，∴令，即，由图可知，当直线经过点时，目标函数有最小值，当直线经过点时，目标函数有最大值2．∴的取值范围是.故选：D5．（2022·浙江·模拟预测）已知平面非零向量，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】显然时，有成立，反之不成立，举反例即可.【详解】当时，，，显然有成立当成立时，不一定成立.例如：，，，，满足条件，但此时 故“”是“”的必要不充分条件故选：B6．（2022·江西上饶·一模（理））如图，在中，，，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由向量的线性运算把用表示出来后可得结论．【详解】，所以，，故选：D7．（2021·全国·模拟预测）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由黄金分割比可得，结合矩形的特征可用表示出，再利用向量加减法法则及数乘向量运算法则即可作答.【详解】在矩形ABCD中，由已知条件得O是线段EG中点，，因，由黄金分割比可得，于是得，即有，同理有，而，即，从而有，所以.故选：D8．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】过圆心作，将问题转化为，结合点到直线距离公式来进行求解.【详解】圆的圆心为，半径为，为直线上的任意一点，过作，垂足为，则是的中点.由，可得，，则，又，的最小值为．故选：D.二、多选题9．（2022·重庆实验外国语学校一模）设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（       ）A．若，则 B．若，则与同向C．若，则 D．若，则【答案】CD【解析】【分析】由已知结合向量数量积的性质及向量共线定义分别检验各选项即可判断．【详解】当时，显然不一定成立，A错误；若，则向量夹角或，与同向或反向，B错误；若，两边平方得，，即，C正确；若，则或，则，D正确．故选：CD．10．（2021·全国全国·模拟预测）已知向量，，，，则（       ）A．若，则B．若，则C．的最小值为D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】对于A，根据两向量垂直时其数量积为可求得的值；对于B，根据向量相等建立方程组可求得、的值，即可得的值；对于C，由模的计算公式求出，然后利用二次函数的性质求解即可；对于D，由两向量的夹角为锐角时其数量积大于且两向量不共线即可求出的范围．【详解】对于A，因为，，，所以，解得，所以A正确；对于B，由，得，则，解得，故，所以B正确；对于C，因为，所以，则当时，取得最小值为，所以C正确；对于D，因为，，因为向量与向量的夹角为锐角，所以，解得；由题意知向量与向量不共线，，解得．所以的取值范围是，所以D不正确．综上可知，选ABC．故选：ABC.三、填空题11．（2022·青海西宁·高三期末）已知向量，不共线，且，则___________.【答案】【解析】【分析】根据平面共线向量的性质进行求解即可.【详解】因为向量，不共线，且，所以有，则解得.故答案为：12．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））已知向量的夹角为，且，则向量与向量的夹角等于________．【答案】##【解析】【分析】根据已知条件求得，再根据数量积求向量夹角即可.【详解】根据题意可得，则，，设向量与向量的夹角为，故，又，故.故答案为：.13．（2022·江苏南通·一模）过点作圆的切线交坐标轴于点、，则_________.【答案】【解析】【分析】求出切线方程，可求得点、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】圆的圆心为，，因为，则点在圆上，所以，，所以，直线的斜率为，故直线的方程为，即，直线交轴于点，交轴于点，所以，，，因此，.故答案为：.14．（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量满足．记与的夹角为，且，则的最小值是___，最大值是___．【答案】     ##     【解析】【分析】根据题意，设出对应向量的坐标，利用数量积的坐标运算，构造关于坐标的函数，即可求得结果.【详解】因为与的夹角为，且，故可设，满足题意，此时，则，等价于；故,又，解得，显然，故可得，又在单调递减，在单调递增.故.即的最小值为，最大值为.故答案为：.【点睛】本题考察数量积的运算，其中合理的设出向量的坐标，是解决问题的关键步骤，属困难题.