2022年天津市中考数学第一轮复习单项基础考点练习题二次函数（图像与系数关系）

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天津市2022年中考第一轮复习单项基础考点练习题
二次函数（图像与系数的关系）
一、未知具体图像的问题
1．已知二次函数y＝x2＋2mx﹣2n的图象与直线y＝1没有交点，则关于下列四个说法正确的有（       ）
①3m＋n＞4；②3m＋n＜4；③3m﹣n＞﹣4；④3m-n＜-4
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【来源】2021年浙江省杭州市西湖区西溪中学中考数学三模试卷
【答案】B
【详解】
∵二次函数解析式为y=x2+2mx-2n，
∴图象开口向上，
∵二次函数y=x2+2mx-2n的图象与直线y=1没有交点，
∴y=x2+2mx-2n＞1，
∴当x=3时，y=9+6m-2n＞1，解得3m-n＞-4；
当x=-3时，y=9-6m-2n＞1，解得3m+n＜4；
故②③正确，
故选：B
2．已知二次函数的与的部分对应值如下表：


0
2
3
4

5
0


0
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④抛物线与轴的两个交点间的距离是4；⑤若，，，是抛物线上两点，则，其中正确的是（       ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④⑤
【来源】2021年山东省临沂市罗庄区五月份中考数学模拟试题（b卷）
【答案】B
【详解】抛物线经过点和，
抛物线的对称轴为直线，所以②正确；
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
抛物线开口向上，所以①正确；
抛物线经过点和，
当时，抛物线在轴下方，即，所以③错误；
抛物线与轴的两个交点是和，之间的距离是4，所以④正确；
若，，，是抛物线上两点，则这两点到对称轴的距离有，所以⑤错误．
故选：B．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①a＜b＜0；②4a＋2b＋c＞0；③2a＋c＞0；④2a﹣b＋1＞0，其中正确结论的个数是（       ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【来源】2021年四川省绵阳市安州区桑枣中学中考数学适应性试卷
【答案】B
【详解】
解：①由图象开口向下知a＜0，
由y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1＜x1＜2，
则该抛物线的对称轴为，
即1，
由a＜0，两边都乘以a得：b＞a．
∵a＜0，对称轴x0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0，故正确；
②根据题意画大致图象如图所示，

当x＝2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
故②错误；
③由一元二次方程根与系数的关系知，结合a＜0，得2a+c＞0，所以结论正确，
④由4a﹣2b+c＝0得2a﹣b，而0＜c＜2，
∴，
∴﹣1＜2a﹣b＜0，
∴2a﹣b+1＞0，所以结论正确．
故选：B．
4．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）与x轴的交点分别是（﹣1，0），（3，0），下列结论：①4ac﹣b2＞0；②3a+c＝0；③当a＜0时，若直线y＝2与已知抛物线有交点，则a＜﹣2；④若关于x的方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＞0，m为实数）的一个根为﹣3，则一定存在一个实数n（0＜n＜m），使得关于x的方程ax2+bx+c﹣n＝0有一个整数解为4．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【来源】贵州省遵义市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
【答案】B
【详解】
①y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）与x轴有两个交点，
∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2−4ac＞0，
∴4ac−b2＜0，故①错；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）与x轴的交点分别是（−1，0），（3，0），
∴对称轴的直线x＝，
∴b＝−2a，
当x＝−1时，y＝0，
∴a−b＋c＝0，
把b＝−2a代入得a−（−2a）＋c＝0，即3a＋c＝0，故②正确；
③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）与x轴的交点分别是（−1，0），（3，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x＋1）（x−3）＝ax2−2ax−3a，
当x＝1时，ymax＝a−2a−3a＝−4a，
∵a＜0，
∴−4a≥2时，解得a≤；故③错；
④若关于x的方程ax2＋bx＋c−m＝0即ax2＋bx＋c＝m的一个根为−3，则另一个根为5，
由0＜n＜m可知，a＞0，如图所示，

由图可知，关于x的方程ax2＋bx＋c−n＝0有一个整数解为4．
故④正确；
故选：B．
5．已知抛物线（a，b，c是常数），，下列四个结论：①若抛物线经过点，则；②若，则方程一定有根；③抛物线与x轴不一定有两个不同的公共点；④点，在抛物线上，若，则当时，．其中，正确的有（       ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【来源】湖北省荆门市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
【答案】B
【详解】
解：将带入抛物线可得，联立可得： ，解得：，故①正确；
将代入可得
∵， ，
∴，可知是方程一个根，故②正确；
∵的，与x轴一定有交点，故③不正确；
∵，则，
∴抛物线的对称轴，且函数开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小；即： ，，故④正确；
综上所述：结论正确的有①②④．
故选：B．
6．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x0
故③正确；
④∵对称轴为：直线x==1，
∴b=-2a，
∴a=，
∵当x=-1时， y=a-b+cam2+bm=m（am+b），
故⑤错误；
⑥∵b=-2a，
∴2a+b=0，
∵c>0，
∴2a+b+c>0，
故⑥正确．
故选：B ．
17．对称轴为x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，与y轴的交点在（0，）与（0，）之间（不含端点），，下列五个结论：①abc＞0；②若点（，y1）Q（，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；③（a+c）2＞b2；④方程ax2+bx+c0没有实数根；⑤a，其中结论正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【来源】2021年黑龙江省齐黑大地区中考数学模拟试题
【答案】C
【解析】
【分析】
①②根据二次函数图象开口方向，对称轴可求得a，b符号和关系，与y轴交点判断c的取值范围，②通过比较两点到对称轴的距离进行判断，③x＝1时，y＜0，x＝﹣1时，y＞0，代入函数关系式列不等式进行判断，④先求抛物线的顶点坐标，再判断抛物线与直线的交点个数即可，当x为1，-1时，⑤先得出a与c的关系，再列出不等式求解即可．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴x1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在（0，）与（0，）之间（不含端点），
∴c．
∴abc＞0，
∴①正确．
∵（，y1）到对称轴的距离为：（﹣1），
（，y2）到对称轴的距离为：﹣1﹣（），
抛物线开口向下，
∴y1＞y2．
∴②正确．
∵x＝1时，y＜0，x＝﹣1时，y＞0，
∴a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
∴（a+c）2＜b2．
∴③错误．
∵2，对称轴x＝﹣1，
∴抛物线的顶点（﹣1，2）．
∴抛物线与直线y有两个交点．
∴方程ax2+bx+c0有两个实数根．
∴④错误．
∵抛物线的顶点为（﹣1，2）．
∴a﹣b+c＝2，
∴a﹣2a+c＝2．
∴a＝c﹣2．
∵c．
∴a．
故⑤正确．
∴①②⑤正确．
故选：C．
18．在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象，如图所示，下列给出的结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数解；⑤．其中正确的结论有（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【来源】新疆维吾尔自治区喀什地区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
【答案】A
【解析】
【分析】
先由开口方向得到a的正负，由对称轴的位置得到b的正负，由图象与y轴的交点得到c的正负，判断①；由对称轴为直线x＝−1得到a与b的关系判断②；由图象可知当x＝1时，y＞0，判断③；由函数图象与x轴的交点个数判断④；由对称轴为直线x＝−1和开口向上得到当x＝−1时，函数有最小值判定⑤．
【详解】
解：由图可知，开口向上，对称轴为直线x＝−1，图象与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴a＞0，b＞0，c＜0，且＝−1，
∴abc＜0，故①正确，符合题意；
b−2a＝0，故②正确，符合题意；
由图象可知，当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，故③错误，不符合题意；
由函数图象与x轴由2个交点得，ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数解，故④正确，符合题意；
∵对称轴为直线x＝−1和开口向上，
∴当x＝−1时，函数有最小值a−b＋c，
∴am2＋bm＋c≥a−b＋c，故⑤正确，符合题意；
∴正确的结论有4个，
故选：A．