福建省名校联盟全国优质校2022届高三大联考数学试题

名校联盟个国优质校2022届高三大联考

数学试题

本试卷考试时间120分钟，总分150分.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如箭改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由指数函数、对数函数性质求得集合，然后由交集定义计算．

【详解】由已知，，

所以．

故选：C．

2. 若复数满足，则在复平面内对应的点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【2题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】首先根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，再根据复数的几何意义判断即可；

【详解】解：因为，所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第四象限，

故选：D

3. 已知数列为等比数列，则“，是方程的两实根”是”，或”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【3题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】解：在等比数列中，若，是方程的两实根，

，，则，，

则，则或，即充分性成立，

当，或时，能推出，但无法推出，即必要性不成立，

即“，是方程的两实根”是“，或”的充分不必要条件，

故选：A．

4. 函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】先根据奇偶性排除选项C，然后根据排除选项B，最后由时，即可得答案.

【详解】解：因为，，

所以，又定义域为R，

所以为R上的偶函数，图象关于轴对称，故排除选项C；

因为，所以排除选项B；

又时，，故排除选项D；

故选：A.

5. 从4名男同学和3名女同学中任选2名同学，在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出都是同性别的同学与都是男同学的事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得；

【详解】解：从4名男同学和3名女同学中任选2名同学，满足选到的都是同性别的同学有种，满足都是男同学的有种，故在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率；

故选：D

6. 已知，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据对数的运算和指数函数、对数函数的性质判断．

【详解】，，

，所以．

故选：B．

7. 若，则的值为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【7题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】用倍角公式把2倍角转化为一倍角，再利用同角关系，

将 转化为 即可.

【详解】由于 ，

 得： ……①，

，

将①代入上式得 ，

故选：C.

8. 传说，意大利的西西里岛有个山洞是用来关押罪犯的，罪犯们曾多次密谋商议逃跑，但不管多完美的计划都会被狱率发现，原来山洞内的空间是一个椭球体，最大截面部分是一个椭圆面，罪犯和狱率所待的地方正好是椭圆的两个焦点，罪犯们说的话经过洞壁的反射，最终都传向了狱警所在的地方，即椭圆的另一个焦点，这里面含着椭圆的光学性质.请利用椭圆的该性质解决下列问题：已知是椭圆：上的点.、是椭圆的左右焦点，，为坐标原点，到椭圆在处的切线的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先求出的坐标，再求出的角平分线与的交点，从而可求切线方程，故可得到椭圆在处的切线的距离.

【详解】

由椭圆的对称性，不妨设在第一象限.

由椭圆方程可得半焦距，故，且，

因为，故，

故即，

所以，

故即，故，

所以，同理，

设的平分线交轴于，则，

故，故，故，

由题设中的椭圆性质可得过切线与垂直，故切线的斜率为，

故切线的方程为：，

故原点到切线的距离为，

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 在研究某种产品零售价（单位：元）与销售量（单位：万件）之间的关系时，根据所得数据得到如下所示的对应表：

利用最小二乘法计算数据，得到的回归直线方程为：，则下列说法中正确的是（    ）

A.

B.

C. 回归直线必过点(16，14.2)

D. 若该产品的零售价定为22元，则销售一定是9.7万件

【9题答案】

【答案】BC

【解析】

【分析】先算出x，y的平均值，由于平均值必定在回归直线上，可以算出 ，

得到回归直线方程.

【详解】根据题目所给的条件， ，  ，

根据最小二乘法原理， 必定在回归直线上，

代入回归直线方程 ，得  ， =-0.75 ，

故A错误，B正确，C正确，

由于回归直线方程是对未来的预计值，并非准确值，故D错误.

故选：BC.

10. 已知向量，，则（    ）

A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为

C. 若，则 D. 若，则与的夹角为45°

【10题答案】

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据向量共线与垂直的坐标表示得到方程，计算即可判断A、B，再根据向量模及夹角的坐标表示计算判断C、D；

【详解】解：因，，对于A：若与垂直，则，解得，故A正确；

对于B：若，则，解得，故B正确；

对于C：若，则，解得，故C错误；

对于D：若，则，设与的夹角为，则，因为，所以，故D正确；

故选：ABD

11. 已知是正项等差数列，其公差为，若存在常数，使得对任意正整数均有，则以下判断不正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用基本不等式可得，结合通项公式可得，从而可得，故可得，故可得正确的选项.

【详解】由题设可得是无穷正项等差数列，故且，

由基本不等式有，

所以对任意的正整数恒成立，

即对任意的正整数恒成立，

即对任意的正整数恒成立，故且.

而，故，

所以，所以，

故选：ACD

12. 已知A，，，是表面积为20π的球体表面上四点，且，，则（    ）

A. 若，则平行直线与间距离的最大值为3

B. 若，则平行直线与间距离的最小值为

C. 若A，，，四点能构成三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为4

D. 若，则

【12题答案】

【答案】AC

【解析】

【分析】求得平行直线与间距离最大值判断选项A；求得平行直线与间距离最小值判断选项B；求得三棱锥体积的最大值判断选项C；判定与位置关系判断选项D.

【详解】球的表面积为20π，则此球的半径为，设球心为O，

则球心O到直线的距离为，球心O到直线的距离为

选项A：当平行直线与确定的平面过球心O且分居于球心O的两侧时，平行直线与间距离取最大值.判断正确；

选项B：当平行直线与确定的平面过球心O且位于球心O的同侧时，平行直线与间距离取最小值.判断错误；

选项C：A，，，四点能构成三棱锥， 则当与垂直，与的中点与球心O共线且分居于球心O的两侧时，三棱锥体积取得的最大值.

此时直线与间距离为，三棱锥体积为.判断正确；

选项D：若，则为球O的直径，△ACD为直角三角形，，为锐角，即与不垂直.判断错误.

故选：AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 现有一个橡皮泥制作的实心圆柱，其底面半径、高均为1，将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥，则该圆锥的底面积为___________.

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】先求出实心圆柱的体积，再求出圆锥的底面的半径，从而可求其底面积.

【详解】由题设可得实心圆柱的体积为，

设圆锥底面的半径为，则，如，

故该圆锥的底面积为，

故答案为：.

14. 二项式的展开式中含的项的系数是____________.（用数字作答）

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】首先求出二项式展开式的通项，再令，解出，再代入计算可得；

【详解】解：因为展开式的通项为，令，解得，所以，故展开式中项的系数为；

故答案为：

15. 已知函数，若且，则的最小值为_________.

【15题答案】

【答案】##

【解析】

【分析】根据函数解析式画出函数图形，即可得到，再根据将转化为，再构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，即可得解；

【详解】解：由，可得函数图象如下所示：

因为且，所以，且，所以，令，，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以；

故答案为：

16. 已知函数，其中，若在区间(，)上恰有2个零点，则的取值范围是____________.

【16题答案】

【答案】或.

【解析】

【分析】先求出零点的一般形式，再根据在区间(，)上恰有2个零点可得关于整数的不等式组，从而可求的取值范围.

【详解】令，则，故，

故，

因为在区间(，)上恰有2个零点，

所以存在整数，使得：

，

若为偶数，则，

整理得到：①，因为，故，

当时，，故①无解，

当时，有即.

若为奇数，则，

整理得到：②，因为，故，

当时，，故②无解，

当时，有，无解.

当时，有，故.

综上，或.

故答案为：或.

【点睛】思路点睛：对于正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知的内角，，的对边分别为，，，.

（1）求角；

（2）若，，求边上的高.

【17~18题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理和三角变换公式可求.

（2）利用正弦定理及三角变换公式可得，再利用余弦定理可得，结合等积可求边上的高.

【小问1详解】

由正弦定理可得，

故即：

，

所以，

而为三角形内角，故，所以，

而为三角形内角，故.

【小问2详解】

因为，所以，而，

即，所以，

其中为三角形外接圆的半径.

所以即.

所以，

故，所以，其中为边上的高，

故.

18. 为数列的前项和，已知，且.

（1）求数列通项公式；

（2）数列依次为：，2、，，，，，，，，，，，，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前50项的和.

【18~19题答案】

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用得出数列的递推关系，得其为等差数列，再求得后可得通项公式；

（2）由数列的生成规律得出其前50项中含有的中的项（数）和数列的中的项（数），然后由分组求和法计算．

小问1详解】

，解得（舍去），

由得时，，

两式相减得，，

因为，所以，是等差数列，公差为2，

所以；

【小问2详解】

由于，，，

因此数列的前50项中含有的前9项，含有中的前41项，

所求和为．

19. 为了买到包括星黛露毛线玩具，达菲雪莉玫和星黛露毛绒玩具钥匙圈等商品，12月29日凌晨，约5000名游客在上海迪士尼外夜排长龙，此现象在网络上引发了广泛讨论.为了解广大民对下通玩偶的喜爱程度，某市一玩具商城随机抽取了100名市民，以分数表示对卡通玩偶的喜爱程度（喜爱程度越高，分数越高，满分为100分）到如下频率分布直方图.

（1）试估计该市市民对卡通玩偶平均喜爱程度的分数值；

（2）用上述100名市民对玩偶喜爱程度分数值的频率分布估算所有排队游客分数值的概率分布，在所有游客中随机抽取2人，对分数值在区间内的游客送一个玩偶，分数值在区间内的游客赠送两个玩偶，分数值低于70分的游客不送玩偶，记总共送出的玩偶个数为，求.

【19~20题答案】

【答案】（1）71    （2）分布列见解析，.

【解析】

【分析】（1）根据公式可求该市市民对卡通玩偶平均喜爱程度的分数值；

（2）利用独立事件的乘法公式可求的取不同值时对应的概率，从而可得其分布列，利用公式可求其数学期望.

小问1详解】

该市市民对卡通玩偶平均喜爱程度的分数值为：

.

【小问2详解】

由频率分布直方图可得分数值在区间内概率为，

分数值在区间内的概率为，分数值低于70的概率为，

而的取值可为0,1,2,3,4，

又；；

；；

，

故的分布列为：

故.

20. 如图，四棱锥中，，，，，为线段上一点，平面，平面平面.

（1）求；

（2）若三棱锥体积为，求二面角的余弦值.

【20~21题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接交于，求出，由线面平行的性质定理得，从而得结论；

（2）证明平面，以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．

【小问1详解】

连接交于，由，，得，

所以，，即，

，，

因为平面，平面，平面平面，所以，

所以；

【小问2详解】

因为，，所以，

又平面平面，平面平面，平面，所以平面，

由（1）得，所以，

即，，

平面即为平面，

如图，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，

，，

设平面的一个法向量是，

则，取得，平面一个法向量是，

．

二面角为锐二面角，所以其余弦值为．

21. 设抛物线：的焦点为，抛物线上一点满足.

（1）求抛物线的方程；

（2）两不同直线，均过点，且交抛物线于，两点，交抛物线于，两点.设直线和分别与轴交于点和点，求的值.

【21~22题答案】

【答案】（1）   

（2）1

【解析】

【分析】（1）由焦半径公式可得，再代入方程，从而可得关于的方程，求出其解后可得抛物线的方程.

（2）设，则可得，再设，联立抛物线方程和直线的方程，利用韦达定理可得，从而可求的值.

【小问1详解】

因为，故，故，

所以，解得，故抛物线的方程为：.

【小问2详解】

设，

设直线，有可得，故，

同理.

若，则，

则直线，

令，则，同理，

所以.

若，则，此时，.

综上，.

22. 已知函数，其中.

（1）若定义在上的函数满足，求的单调区间；

（2）证明：有唯一极值点，且.

【22~23题答案】

【答案】（1）答案见解析；   

（2）证明见解析．

【解析】

【分析】（1）按和分类确定的正负得单调性；

（2）时，计算的极值得结论成立，时，求出导函数，再一次求导确定的单调性，结合零点存在定理得有唯一零点，得有唯一极值点，并得出与的关系，的范围，求出，用代入法变二元函数为一元函数，然后不等式变形，引入新函数，多次求导后，得出的最小值是0，从而得证不等式成立．

【小问1详解】

时，，时，，时，，

的减区间是，增区间是，

时，，由得或，

设，，时，，递增，

所以时，，

所以或时，，时，，

所以的增区间是和，减区间是；

【小问2详解】

由（1）时，，有唯一零点，且，

时，，

，设，

，因为，所以恒成立，

即在上是增函数，

而由（1）知，所以，

所以，，

所以在也即在上有唯一零点，时，，递减，时，，递增，

所以有唯一极值，且，，即，，由得，，

所以，

要证，即证，

只要证：（），

令，

，

令，

，

令，则，

设，则，时，，递减，时，，递增，所以，所以在时恒成立，

即，

所以，

所以，从而是增函数，又，，

所以存在，使得，即，

时，，时，，

所以即在上递减，在上递增，

，，所以时，，时，，

所以在上递减，在上递增，

，所以，即（）成立．

所以成立．

【点睛】本题考查导数与单调性的关系，用导数研究函数的极值点，证明不等式．难点之一是不等式中含有多个变量，需要由变量的性质消元化为一元函数，难点这二是不等式变形后引入新函数，需要多次求导才能确定其最小值．本题属于困难题．