专题5.2 中心天体质量密度的计算问题-2021年高考物理一轮复习考点扫描学案

这是一份专题5.2 中心天体质量密度的计算问题-2021年高考物理一轮复习考点扫描学案，文件包含专题52中心天体质量密度的计算问题解析版docx、专题52中心天体质量密度的计算问题原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共12页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc920" 【考点扫描】 PAGEREF _Tc920 1
\l "_Tc23673" 1.中心天体质量和密度常用的估算方法 PAGEREF _Tc23673 1
\l "_Tc30747" 2.求天体质量和密度，警惕三个常见误区 PAGEREF _Tc30747 2
\l "_Tc2967" 【典例分析】 PAGEREF _Tc2967 2
\l "_Tc21100" 【专题精练】 PAGEREF _Tc21100 4
【考点扫描】
1.中心天体质量和密度常用的估算方法
2.求天体质量和密度，警惕三个常见误区
（1）不考虑自转问题时，有eq \f(GMm,R2)＝mg，其中g为星球表面的重力加速度，若考虑自转问题，则在两极上才有：eq \f(GMm,R2)＝mg，而赤道上则有：eq \f(GMm,R2)－mg＝meq \f(4π2,T2)R。
（2）利用Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r计算天体质量时，只能计算中心天体的质量，不能计算绕行天体的质量。
（3）注意区分轨道半径r和中心天体的半径R，计算中心天体密度时应用ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)而不是ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πr3)，但在表面附近绕行的卫星，可近似认为R＝r。
【典例分析】
【例1】(多选)(2020·湖南地质中学三模)若宇航员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝eq \f(hv\\al(2,0),L2) B．月球的平均密度ρ＝eq \f(3hv\\al(2,0),2πGL2R)
C．月球的第一宇宙速度v＝eq \f(v0,L)eq \r(2hR) D．月球的质量m月＝eq \f(hR2v\\al(2,0),GL2)
【关键信息】：“水平抛出一个小球，测出水平射程”，可获得月球表面的重力加速度。
【答案】BC
【解析】设月球表面的重力加速度为g月，小球在月球表面做平抛运动，根据平抛知识可知在水平方向上L＝v0t，在竖直方向上h＝eq \f(1,2)g月t2，解得g月＝eq \f(2hv\\al(2,0),L2)，故A错误；在月球表面eq \f(Gm月m,R2)＝mg月，解得m月＝eq \f(2hR2v\\al(2,0),GL2)，则月球密度为ρ＝eq \f(m月,\f(4,3)πR3)＝eq \f(\f(2hR2v\\al(2,0),GL2),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3hv\\al(2,0),2πGL2R)，故B正确，D错误；月球的第一宇宙速度v＝eq \r(g月R)＝eq \f(v0,L)eq \r(2hR)，故C正确。
【规律方法】估算天体质量和密度的“四点”注意
(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq \f(4,3)πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。
(4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。
【例2】(2020·江苏溧水中学模拟)暗物质是二十一世纪物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物理学的革命．为了探测暗物质，我国在2015年12月17日成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星．已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于其运动周期)，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为β(弧度)，引力常量为G，则下列说法中正确的是( )
A．“悟空”的线速度小于第一宇宙速度 B．“悟空”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度
C．“悟空”的环绕周期为 eq \f(2πt,β) D．“悟空”的质量为 eq \f(s3,Gt2β)
【答案】ABC.
【解析】：该卫星经过时间t(t小于卫星运行的周期)，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为β(弧度)，则卫星运行的线速度为v＝eq \f(s,t)，角速度为ω＝eq \f(β,t)，根据v＝ωr得轨道半径为r＝eq \f(v,ω)＝eq \f(s,β)，卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，可知卫星的轨道半径越大，速率越小，第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，故“悟空”在轨道上运行的速度小于地球的第一宇宙速度，故A正确；由Geq \f(Mm,r2)＝ma得：加速度a＝eq \f(GM,r2)，则知“悟空”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度，故B正确；“悟空”的环绕周期为T＝eq \f(2π,\f(β,t))＝eq \f(2πt,β)，故C正确；“悟空”绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即：Geq \f(Mm,r2)＝mω2r，ω＝eq \f(β,t)，联立解得：地球的质量为M＝eq \f(s3,Gt2β)，不能求出“悟空”的质量，故D错误．
【例3】(多选)(2020·贵州部分重点中学联考)“开普勒”空间望远镜发现了与地球相似的太阳系外行星——开普勒－452b。开普勒—452b围绕其恒星开普勒－452公转一周的时间是地球绕太阳公转一周的1 055倍，开普勒－452b到开普勒－452的距离与地球到太阳的距离接近，则由以上数据可以得出( )
A．开普勒－452与太阳的质量之比
B．开普勒－452与太阳的密度之比
C．开普勒－452b与地球绕各自恒星公转的线速度之比
D．开普勒－452b与地球受到各自恒星对它们的万有引力之比
【答案】AC
【解析】本题根据万有引力定律考查与星体运行相关物理量的对比问题。行星绕恒星做圆周运动，设恒星质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，根据万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(4π2mr,T2)，解得中心天体的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)。由题意可知地球与开普勒－452b的公转周期之比以及轨道半径之比，因此可求得开普勒－452与太阳的质量之比，故A正确；由于开普勒－452与太阳的半径未知，因此无法求得它们的密度之比，故B错误；根据线速度公式v＝eq \f(2πr,T)，结合题中已知条件，可求得开普勒－452b与地球绕各自恒星公转的线速度之比，故C正确；由于不知道开普勒－452b和地球质量的关系，所以无法求得开普勒－452b与地球受到各自恒星对它们的万有引力之比，故D错误。
【专题精练】
1．(2020·山东临沂市质检)2018年7月25日消息称，科学家们在火星上发现了第一个液态水湖，这表明火星上很可能存在生命．美国的“洞察”号火星探测器曾在2018年11月降落到火星表面．假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为( )
A.eq \f(4π2R\\al(13,)M,gR\\al(22,)T2) B.eq \f(gR\\al(22,)T2M,4π2R\\al(13,)) C.eq \f(gR\\al(12,),G) D.eq \f(gR\\al(22,),G)
【答案】A
【解析】绕地球表面运动的天体由牛顿第二定律可知：
Geq \f(Mm,R\\al(22,))＝mg
同理，对绕火星表面运动的天体有：
eq \f(GM火m,R\\al(12,))＝m(eq \f(2π,T))2R1
结合两个公式可解得：M火＝eq \f(4π2R\\al(13,)M,gR\\al(22,)T2)，故A对．
2．(2020·河南安阳市下学期二模)半径为R的某均匀球形天体上，两“极点”处的重力加速度大小为g，“赤道”处的重力加速度大小为“极点”处的eq \f(1,k).已知引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．该天体的质量为eq \f(gR2,kG) B．该天体的平均密度为eq \f(4g,3πGR)
C．该天体的第一宇宙速度为eq \r(\f(gR,k)) D．该天体的自转周期为2πeq \r(\f(kR,k－1g))
【答案】D
【解析】在两“极点”处：Geq \f(Mm,R2)＝mg；在赤道处：Geq \f(Mm,R2)－meq \f(g,k)＝meq \f(4π2,T2)R，解得天体的质量为M＝eq \f(gR2,G)，T＝2πeq \r(\f(kR,k－1g))，选项A错误，D正确；该天体的平均密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(gR2,G·\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)，选项B错误；由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)＝mg可知该天体的第一宇宙速度为v＝eq \r(gR)，选项C错误．
3．(2020·福建宁德市5月质检)2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片在全球六地的“事件视界望远镜”发布会上同步发布．该黑洞半径为R，质量M和半径R的关系满足：eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)(其中c为光速，G为引力常量)．若天文学家观测到距黑洞中心距离为r的天体以速度v绕该黑洞做匀速圆周运动，则( )
A．该黑洞质量为eq \f(v2r,2G) B．该黑洞质量为eq \f(2v2r,G)
C．该黑洞的半径为eq \f(2v2r,c2) D．该黑洞的半径为eq \f(v2r,2c2)
【答案】C
【解析】天体受到的黑洞的万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力，则有：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得M＝eq \f(v2r,G)，故A、B错误；又黑洞的质量M和半径R的关系满足：eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)，则有R＝eq \f(2v2r,c2)，故C正确，D错误．
4.(2020·丽水月考)利用引力常量G和下列有关数据，不能计算出地球质量的是( )
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
【答案】D
【解析】因为不考虑地球的自转，所以卫星的万有引力等于重力，即eq \f(GM地m,R2)＝mg，得M地＝eq \f(gR2,G)，所以据A中给出的条件可求出地球的质量；根据eq \f(GM地m卫,R2)＝m卫eq \f(v2,R)和T＝eq \f(2πR,v)，得M地＝eq \f(v3T,2πG)，所以据B中给出的条件可求出地球的质量；根据eq \f(GM地m月,r2)＝m月eq \f(4π2,T2)r，得M地＝eq \f(4π2r3,GT2)，所以据C中给出的条件可求出地球的质量；根据eq \f(GM太m地,r2)＝m地eq \f(4π2,T2)r，得M太＝eq \f(4π2r3,GT2)，所以据D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，本题答案为D。
5.(2020·云南保山模拟)热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表所示．根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为( )
A.3∶2 B．2∶3
C．4∶1 D．6∶1
【答案】：A
【解析】：在星球表面附近，万有引力等于重力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得星球质量M＝eq \f(gR2,G).地球和月球的质量之比eq \f(M地,M月)＝eq \f(g,g0)·eq \f(R2,R02)＝eq \f(96,1)，由密度公式ρ＝eq \f(M,V)，体积公式V＝eq \f(4,3)πR3，联立解得地球和月球的密度之比eq \f(ρ地,ρ月)＝eq \f(M地,M月)·eq \f(R03,R3)＝eq \f(3,2)，选项A正确．
6.(2020·泰安一月月考)公元2100年，航天员准备登陆木星，为了更准确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当到达与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经过时间t，收到激光传回的信号，测得相邻两次看到日出的时间间隔是T，测得航天员所在航天器的速度为v，已知引力常量G，激光的速度为c，则( )
A．木星的质量M＝eq \f(v3T,2πG) B．木星的质量M＝eq \f(π2c3t3,2GT2)
C．木星的质量M＝eq \f(4π2c3t3,GT2) D．根据题目所给条件，可以求出木星的密度
【答案】：AD
【解析】：航天器的轨道半径r＝eq \f(vT,2π)，木星的半径R＝eq \f(vT,2π)－eq \f(ct,2)，木星的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)＝eq \f(v3T,2πG)；知道木星的质量和半径，可以求出木星的密度．故A、D正确，B、C错误．
7.(2020·广州天河区一模)我国探月的“嫦娥工程”已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球．假如宇航员在月球上测得摆长为L的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，则月球的密度为( )
A.eq \f(πL,3GrT2) B.eq \f(3πL,GrT2)
C.eq \f(16πL,3GrT2) D.eq \f(3πL,16GrT2)
【答案】：B
【解析】：据题意，已知月球上单摆的周期为T，据单摆周期公式有T＝2πeq \r(\f(L,g))，可以求出月球表面重力加速度为g＝eq \f(4π2L,T2)；根据月球表面物体重力等于月球对它万有引力，有Geq \f(Mm,R2)＝mg，月球平均密度设为ρ，M＝ρV＝eq \f(4,3)πr3ρ，联立以上关系可以求得ρ＝eq \f(3πL,GrT2)，故选项B正确．
8.(2019·福建三明高三上学期期末)2019年1月3日上午，嫦娥四号顺利着陆月球背面，成为人类首颗成功软着陆月球背面的探测器(如图所示)。地球和月球的半径之比为eq \f(R,R0)＝a，表面重力加速度之比为eq \f(g,g0)＝b，则地球和月球的密度之比为( )
A.eq \f(a,b) B.eq \f(b,a) C. eq \r(\f(a,b)) D. eq \r(\f(b,a))
【答案】 B
【解析】 根据eq \f(GMm,R2)＝mg以及M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，联立解得ρ＝eq \f(3g,4πGR)，可得eq \f(\a\vs4\al(ρ),ρ0)＝eq \f(g,g0)·eq \f(R0,R)＝eq \f(b,a)，B正确。
9.(2020·河南省郑州市一模)为了研究某彗星，人类先后发射了两颗人造卫星．卫星A在彗星表面附近做匀速圆周运动，运行速度为v，周期为T；卫星B绕彗星做匀速圆周运动的半径是彗星半径的n倍．万有引力常量为G，则下列计算不正确的是( )
A．彗星的半径为eq \f(vT,2π) B．彗星的质量为eq \f(v3T,4πG) C．彗星的密度为eq \f(3π,GT2) D．卫星B的运行角速度为eq \f(2π,T\r(n3))
【答案】 ACD
【解析】 由题意可知，卫星A绕彗星表面做匀速圆周运动，则彗星的半径满足：R＝eq \f(vT,2π)，故A正确；根据Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得M＝eq \f(v3T,2πG)，故B错误；彗星的密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT2)，故C正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝mω2r，eq \f(GMm,R2)＝mReq \f(4π2,T2)，r＝nR，则卫星B的运行角速度为eq \f(2π,T\r(n3))，故D正确．
10.(2019·甘肃省武威一中高三(上)期末)木星的卫星之一叫艾奥，它上面的珞珈火山喷出的岩块初速度为v0时，上升的最大高度可达h。已知艾奥的半径为R，引力常量为G，忽略艾奥的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力。则艾奥表面的重力加速度大小g＝________；艾奥的质量M＝________；艾奥的第一宇宙速度v＝________。
【答案】 eq \f(v\\al(2,0),2h) eq \f(R2v\\al(2,0),2hG) v0eq \r(\f(R,2h))
【解析】 岩块做竖直上抛运动，有0－veq \\al(2,0)＝－2gh，解得g＝eq \f(v\\al(2,0),2h)；忽略艾奥的自转，有Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得M＝eq \f(R2v\\al(2,0),2hG)，某质量为m′的卫星在艾奥表面绕其做圆周运动时有m′g＝m′eq \f(v2,R)，解得v＝v0eq \r(\f(R,2h))。
质
量
的
计
算
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
利用运
行天体
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得
到中心
天体的
质量
r、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
M＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(v3T,2πG)
密
度
的计
算
利用天体表面
重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
－
利用运
行天体
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时
ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近
地卫星
只需测
出其运
行周期
利用天体
表面重力
加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)
—
月球半径
R0
月球表面处的重力加速度
g0
地球和月球的半径之比
eq \f(R,R0)＝4
地球表面和月球表面的重力加速度之比
eq \f(g,g0)＝6