第二十四讲 双曲线及其方程-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

第二十四讲  双曲线及其方程

【考点剖析】

1.双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：

(1)若a<c时，则集合P为双曲线；

(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；

(3)若a>c时，则集合P为空集.

2.双曲线的标准方程和几何性质

【考点剖析】

考点一　双曲线的定义及应用

【例1】 (1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝(　　)

A.   B.   C.   D.

(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.

解析　(1)由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，

∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，

在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得

cos ∠F1PF2＝＝.

(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.

根据两圆外切的条件，

得|MC1|－|AC1|＝|MA|，

|MC2|－|BC2|＝|MB|，

因为|MA|＝|MB|，

所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，

即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，

所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，

其中a＝1，c＝3，则b2＝8.

故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).

答案　(1)C　(2)x2－＝1(x≤－1)

规律方法　1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；

2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.

考点二　双曲线的标准方程

【例2】 (1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)

A.－＝1    B.－＝1

C.－＝1    D.－＝1

(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1    B.－＝1

C.－＝1    D.－＝1

解析　(1)由题设知＝，①

又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，

易知a2＋b2＝c2＝9，②

由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1.

(2)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.

答案　(1)B　(2)C

规律方法　1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.

2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).

考点三　双曲线的性质　

角度1　求双曲线的渐近线

【例3－1】 双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)

A.y＝±x    B.y＝±x

C.y＝±x    D.y＝±x

解析　法一　由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.

法二　由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为

y＝±x＝±x.

答案　A

角度2　求双曲线的离心率

【例3－2】 (1)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)

A.   B.2   C.   D.

(2)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋

a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是(　　)

A.    B.

C.(1，2)    D.(2，＋∞)

解析　(1)不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝＝

－cos∠POF2＝－，则3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.

(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得<a，即c>2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c2<a2，所以e＝<，又知e>1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.

答案　(1)C　(2)A

角度3　与双曲线有关的范围(最值)问题

【例3－3】 已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)

A.    B.

C.    D.

解析　因为F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，所以·＝(－－x0，

－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－<y0<.

答案　A

规律方法　1.求双曲线离心率或其取值范围的方法

(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.

(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.

2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路

(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.

(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.

【过关检测】

1．已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（    ）

A． B． C． D．

2．已知双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为（    ）

A．16 B．8

C．2 D．1

3．在双曲线中，，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点，则双曲线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

4．设是双曲线的右焦点，是双曲线的一条渐近线，过作一条直线垂直与，垂足为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

5．双曲线的焦距为（    ）

A． B．2 C． D．4

6．双曲线(，)的离心率为，则其渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

7．已知双曲线，，分別是双曲线的两个焦点.点在双曲线上，且，则等于（    ）

A．11 B．3或11 C．13 D．1或13

8．设，分别为双曲线的左、右焦点．若为右支上的一点，且为线段的中点，，，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

9．双曲线的左右焦点分别为，P，Q是该双曲线右支上不同的两点，满足，则此双曲线离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：的渐近线l2：y＝﹣x的倾斜角是渐近线l1：y＝x的倾斜角的2倍，第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，点O构成底边长为2的等腰三角形，则双曲线C的标准方程为（    ）

A．x2﹣＝1 B．x2﹣＝1 C．﹣y2＝1 D．﹣y2＝1

11．（多选）设为双曲线C：的左、右焦点，过左焦点且斜率为的直线l与在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是（    ）

A．直线l倾斜角的余弦值为

B．若，则的离心率

C．若，则的渐近线方程

D．不可能是等边三角形．

12．（多选）已知曲线（    ）

A．若，则为椭圆

B．若，则为双曲线

C．若为椭圆，则其长轴长一定大于

D．若为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于

13．根据下列条件，求双曲线的标准方程：

（1），经过点；

（2）与双曲线有相同的焦点，且经过点.

14．已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值.

15．在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中．

（1）求的值；

（2）若双曲线渐近线的斜率小于，求和的取值范围．