专题1.9回归基础篇（ 推理与证明、坐标系与参数方程）-2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）

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专题1.9 推理与证明、坐标系与参数方程
——上海最新真题模拟题30题精选

一、单选题
1．（2018·上海宝山区·高三二模）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别令计算左右两边，观察不等式是否成立，即可求出.
【详解】当时，左边，右边，
当时，左边，右边，
当时，左边，右边，即左边＞右边，不等式成立，
则对任意的自然数都成立，则的最小值为3，
故选：C．
【点睛】本题考查用数学归纳法证明不等式，属于基础题
2．（2019·浦东新区·上海师大附中高三一模）用反证法证明命题“如果可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）
A．a，b都不能被5整除 B．a，b都能被5整除
C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除
【答案】A
【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.
【详解】
“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”.
故选：A.
【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题.
3．（2020·上海高三二模）用数学归纳法证明，成立.那么，“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根据必要不充分条件的定义可得结论.
【详解】“当时，命题成立”不能推出“对时，命题成立”，
“对时，命题成立”可以推出“当时，命题成立”，
所以“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的必要不充分/
故选：B
【点睛】本题考查了必要不充分条件的概念，关键是掌握必要不充分条件的概念，属于基础题.
4．（2020·上海高三其他模拟）已知直线的方程为，则下列各式是的参数方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将各参数方程消参，化为普通方程后，与已知直线的方程对比，即可作出判定.
【详解】A.参数方程可化简为，故A不正确；
B.参数方程可化简为，故B不正确；
C.参数方程可化简为，故C不正确；
D.参数方程可化简为，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查直线的参数方程的判定，涉及参数方程与普通方程的互化，属基础题，难度一般.
5．（2018·上海浦东新区·高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）；（2）；（3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）；（2）；（3），正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】因为；,,
所以① 正确，②③错误，选B
6．（2019·上海宝山区·高三二模）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】分别令,计算左右两边，观察不等式是否成立，即可求出
【详解】解：当时，左边，右边,
当时，左边，右边，
当时，左边，右边，
即左边＞右边，不等式成立，
则对任意的自然数都成立，则的最小值为3，
故选C．
【点睛】本题以不等式为载体，考查用数学归纳法证明不等式，属于基础题
7．（2020·宝山区·上海交大附中高三其他模拟）已知曲线的参数方程为其中参数,则曲线（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．没有对称轴
【答案】C
【分析】设， ，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数关于原点对称.
【详解】设，
，
是奇函数，

,
也是奇函数，
设点在函数图象上，那么关于原点的对称点是，
和都是奇函数，
所以点的坐标是，可知点在曲线上，
函数图象关于原点对称.
故选C
【点睛】本题考查函数图象和性质的综合应用，意在考查转化与计算能力，属于中档题型.
8．（2020·上海松江区·高三其他模拟）设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、，则由，可得.类比上述方法：设实系数一元三次方程在复数集C内的根为，则的值为
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【答案】A
【分析】用类比推理得到，再用待定系数法得到，，再根据求解.
【详解】

，
由对应系数相等得：
，


.
故选：A.
【点睛】本题主要考查合情推理以及待定系数法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.
9．（2020·上海长宁区·高三三模）将正奇数数列1，3，5，7，9，依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：，，，，，称为第1组，为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ）
A．第404组 B．第405组 C．第808组 D．第809组
【答案】B
【分析】求出2021为第1011个正奇数，再根据题中的规则分析组数的规律可得答案.
【详解】正奇数数列1,3,5,7,9...的通项公式为 则2021为第1011个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，共个数，共组.
故原数列中的2021位于分组序列中第405组
故选：B.
【点睛】本题考查了与数列有关的推理问题，需要分析数字的总数，再分析组数.属中档题.
10．（2019·上海市向明中学高三三模）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有(　　)
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
【答案】B
试题分析：用分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得的学生最多只有个，语文成绩得也最多只有个，得的最多只有个，因此人数最多只有人，显然满足条件，故选B．
考点：合情推理的应用．
二、填空题
11．（2020·上海高三其他模拟）已知直线l的参数方程是（t为参数），则它的普通方程是_____．
【答案】3x﹣4y+5=0
【分析】根据加减消元得普通方程.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查参数方程化普通方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
12．（2020·上海奉贤区·高三二模）已知圆的参数方程为，则此圆的半径是________
【答案】2
【分析】化为直角坐标方程可得其圆心和半径
【详解】解：由得，，
所以此圆的圆心为，半径为
故答案为：2
【点睛】此题考查的是参数方程的有关知识，属于基础题
13．（2020·上海奉贤区·高三一模）给出下列一组函数：，，，，…，请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式：__________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】通过求函数的定义域发现它们的定义域都是实数集，根据所给的函数解析式的特征可以写出一般形式所满足的条件，然后写出一个即可.
【详解】二次方程的判别式为，
二次方程，
二次方程，
所以一般特征为，所以一个类似的函数解析式.
故答案为：（不唯一）
【点睛】本题考查了归纳推理，属于基本题.
14．（2020·上海长宁区·高三二模）直线（t是参数）的斜率为_______.
【答案】2
【分析】根据题意，利用消参法将直线的参数方程化为普通方程，即可得出直线的斜率.
【详解】解：根据题意，直线的参数方程为：（t是参数），
消去参数，得出直线的普通方程为：，
所以直线的斜率为：2.
故答案为：2.
【点睛】本题考查直线的斜率，利用消去参数法将直线的参数方程化为普通方程，以及对直线点斜式方程的理解.
15．（2016·上海青浦区·高三一模）如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：（1）每个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；（2）0在原点，1在点，2在点，3在点，4在点，5在点，…，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上，则放置数字的整点坐标是_________．

【答案】
【详解】试题分析：按顺序填入自然数，此图在第二象限的转弯处（角处）所填数是奇数的平方，在第四象限的转弯处（角处）所填数是偶数的平方，所在坐标为．
考点：归纳推理．
【名师点睛】归纳推理是通过观察个别情况，发现某些相同的本质，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性的命题．其中数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相减的知识，如等差数列、等比数列等；形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．本题观察发现在二、四象限转角处的数字含有一般性的规律：自然数的平方．从而完成解题．
16．（2019·上海高三一模）中国有个名句：“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，下表只给出了1~6的纵、横两种表示法：

表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，请观察表中纵横两种表示法的特征，并用算筹表示628为_______.
【答案】
【解析】 由题意各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，所以用算筹可表示为．
17．（2020·上海静安区·高三一模）设我们可以证明对数的运算性质如下：.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明（其中）的“关键步骤”为________.
【答案】（）r＝Mr
【分析】利用指数式与对数式的互化即可算出结果．
【详解】
设logaMr＝b，∴ab＝Mr，
∴rlogaM＝b，
∴logaM，
∴（）r＝（）r＝ab＝Mr，
故答案为：（）r＝Mr．
【点睛】本题主要考查了对数式与指数式的互化，是基础题．
18．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．
【答案】5
【分析】分别写出和时的对应的结果，再比较差异，得到答案.
【详解】当时，原式为：，
当时，原式为，
比较后可知多了，共5项.
故答案为：5
19．（2020·上海青浦区·高三一模）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是的更为精确的近似值.己知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为____________.
【答案】；
【分析】利用“调日法”进行计算，即可得出结论．
【详解】由调日法运算方法可知，
第一次用“调日法”后得是的更为精确的不足近似值，即，
第二次用“调日法”后得是更为精确的不足近似值，即,
故使用两次“调日法”后可得的近似分数为.
故答案为：
20．（2020·上海高三其他模拟）设P是曲线为参数）上的一动点，为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹的普通方程为_____．
【答案】
【分析】由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，设P（x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．
【详解】曲线（θ为参数），即有
，
由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，
设P（x0，y0），M（x，y），
可得
，代入曲线方程，可得
2x02﹣y02＝1，即为2（2x）2﹣（2y）2＝1，
即为8x2﹣4y2＝1．
故答案为：8x2﹣4y2＝1．
【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．
21．（2019·上海奉贤区·高三一模）天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年
【答案】戊戌
【分析】由题意可得数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以2017年的天干和地支分别为首项，即可求解．
【详解】由题意，可得数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，
从2017年到2078年经过了61年，且2017年为丁茜年，以2017年的天干和地支分别为首项，则余，则2078年的天干为戊，余，则2078年的天干为戌，
所以2078年为戊戌年．
【点睛】本题主要考查了等差数列的实际应用问题，其中解答中得出数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以2017年的天干和地支分别为首项，利用等差数列求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
22．（2019·徐汇区·上海中学高三一模）已知命题：“若数列为等差数列，且，（，、），则”；现已知等比数列（，），，（，、），若类比上述结论，则可得到_________．
【答案】
【分析】通过等差数列的结论类比推理可得:若,则可以得到.再利用等比数列的通项公式即可证明.
【详解】通过等差数列的结论类比推理可得:若
,则可以得到.
证明如下:设等比数列的首项为,公比为.则,
化为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、类比推理,属于基础题.
23．（2019·上海高三一模）根据高一课本基本不等式章节知识所学，我们知道基本不等式，那么类比可得，那么根据上述结论，则的最大值为________.
【答案】
【分析】由可得，类比可得，再求解即可.
【详解】解：由已知可得，又，则类比可得，
又，所以， 则，当且仅当
，即时取等号，
故答案为：.
【点睛】本题考查了三项基本不等式，重点考查了类比能力，属基础题.
24．（2016·上海宝山区·高三一模）数列、、、、、、、、、、，则是该数列的第______项.
【答案】
【分析】根据数列所反映的规律可知，分子和分母之和为的分式共有项，且分子和分母之和为的最后一个分式在数列中的项数为，由此可得出结论.
【详解】根据数列所反映的规律可知，分子和分母之和为的分式共有项，
且分子和分母之和为的最后一个分式在数列中对应的项数为，
的分子和分母之和为，分子和分母之和为的最后一个分式在数列中对应的项数为，
再往后数个数可得到，因此，是该数列的第项.
故答案为：.
【点睛】本题考查归纳推理，利用分式中分子和分母之和为的分式个数所呈现的规律来推理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
25．（2020·上海徐汇区·）如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A点由图中的道路到B点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的从A到B的行走线路，则此人从A到B遇见的行人总人数最小值是_________.

【答案】34
【分析】假设从点往回走到点处，根据图形，从点处出发，前两条路遇见的人数可能为，或，或，由此可确定前两条路的走法,进而同理分析，即可得到满足条件的路径，再计算得到结论.
【详解】要使得遇见的行人总数最小，此人应从点处向上或向右走,即不能后退或向左走，
现在假设从点往回走到点处，结合图中数据，观察可得满足条件的路径如图所示：

可得，即最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查简单的合情推理,考查分析理解能力.

三、解答题
26．（2019·上海青浦区·高三二模）在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式：（，），则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.
（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得椭圆变换为一个单位圆；
（2）在同一直角坐标系中，△（为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换（，）得到△，记△和△的面积分别为S与，求证：；
【答案】(1)；(2)见详解.
【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，再由单位圆的方程，以及题中伸缩变换的概念，即可得出结果.
（2）先设，根据伸缩变换得到，，得到，设直线的斜率为,得到直线的方程为，从而求出点到直线的距离，
同理得到点到直线的距离为，最后由化简即可得出结果.
【详解】(1)因为椭圆的标准方程为，又单位圆的方程为，
因此要想由椭圆变换为一个单位圆，伸缩变换只需为；
（2）先设，因为为坐标原点，所以，
由△（为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换（，）得到△，所以，，，
所以，，
设直线的斜率为，则直线的方程为,故，
所以点到直线的距离为
又直线的斜率为，直线的方程为，即，
所以点到直线的距离为，
因此



.
【点睛】本题主要考查伸缩变换的问题，熟记伸缩变换的概念、以及点到直线距离公式等即可求解，属于常考题型，计算量较大.
27．（2018·上海杨浦区·高三二模）已知数列，其前项和为，满足，，其中，，
，.
（1）若，，（），求数列的前项和；
（2）若，且，求证：数列是等差数列.
【答案】(1) (2)见解析
试题分析：根据已知条件得到，两式相减得，得到求得的值，进而得到，即可得到数列为以为首项，为公比的等比数列，然后求得数列的前项和；
将，且代入，解得，，猜想，用数学归纳法证明
解析：（1），所以.两式相减得.
即
所以，即，
又，所以，得
因此数列为以2为首项，2为公比的等比数列.，前n项和为
（2）当n = 2时，，
所以. 又，可以解得，
所以，，两式相减得
即. 猜想，下面用数学归纳法证明：
① 当n = 1或2时，，，猜想成立；
② 假设当（）时， 成立
则当时，猜想成立.
由①、②可知，对任意正整数n，.
所以为常数，所以数列是等差数列.
28．（2018·上海高三二模）已知函数，R.
（1）证明：当时，函数是减函数；
（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（3）当，且时，证明：对任意，存在唯一的R，使得，且.
【答案】(1)见解析(2) 当时，函数是奇函数；当时，函数是偶函数；当且时，函数是非奇非偶函数，（3）见解析
试题分析：（1）任取，设，计算可得，据此可得，函数是减函数.
(2)分类讨论可得：当时，函数是偶函数，当时函数是奇函数，当且时，函数是非奇非偶函数.
(3)由（1）知，当时函数是减函数，结合函数的单调性分别证明的存在性(利用函数的值域)和唯一性(利用反证法)即可证得题中的结论.
试题解析：
（1）任取，设，则，
∵，所以，又，∴，即，
所以当时，函数是减函数.
(2)当时，，所以，所以函数是偶函数，
当时，，，
所以函数是奇函数，
当且时，，，
因为且，
所以函数是非奇非偶函数.
(3)由（1）知，当时函数是减函数，
所以函数在上的值域为，
因为，所以存在，使得.
假设存在使得，
若，则，若，则，
与矛盾，故是唯一的，
假设，即或，则或，
所以，与矛盾，故.
29．（2020·上海杨浦区·高三一模）设数列与满足：的各项均为正数，.
（1）设，若是无穷等比数列，求数列的通项公式；
（2）设.求证：不存在递减的数列，使得是无穷等比数列；
（3）当时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最大值为8.
【分析】（1）运用等比数列的中项性质，解方程可得公比，所求通项公式；
（2）运用反证法证明，结合数列的单调性和余弦函数的值域，可得矛盾，即可得证；
（3）运用等差数列的等差中项的性质和求和公式，解不等式可得所求最大值．
【详解】（1）解：，，公比为
由解得，
数列的通项公式为.
（2）证明：反证法，设存在
则，此时
公比
，考虑不等式
当时，即时，
有(其中表示不超过x的最大整数)，
这与的值域为矛盾
假设不成立，得证
（3）解：，
由等差数列性质
即，特别地，，
现考虑的最大值
为使取最大值，应有，
否则在中将替换为，且，
将得到一个更大的
由可知，特别地，；
于是
解得，所以的最大值为8.
【点睛】本题考查等比数列和等差数列的性质和通项公式、求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，以及反证法的应用．
30．（2021·上海静安区·高三一模）个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列.

已知，，.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设，求证：()；
（3）设，请用数学归纳法证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）由题意，数列是等差数列，设首项为，公差为，联立方程组，求出和，写出通项公式；
（2）根据等比数列的通项公式和数列的函数性质即可求解；
（3）利用数学归纳法可以证明.
【详解】
解：（1）由题意，数列是等差数列，设首项为，公差为，
由，得
解得，.
故数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，再由已知，得
，解得，由题意舍去.
.
由指数函数的性质，有().
（3）(i)当时，，等式成立.
(ii)假设当时等式成立，即，
当时，


，
等式成立.
根据(i)和(ii)可以断定，对任何的都成立.
【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；
(2)数列是特殊的函数，可以用函数的有关知识研究最值．
(3)数学归纳法用来解决与自然数n有关的问题.