专题04 等式性质与不等式性质、基本不等式（知识精讲） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）学案

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二.学法指导
1.作差法比较两个实数大小的基本步骤：作差、变形、定号、结论。
2. 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.
3．利用不等式的性质证明不等式注意事项
1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
4.求含字母的数（或式子）的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.
5.运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2eq \r(ab)成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
三.知识点贯通
知识点1 比较两数（式）的大小
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a例1.已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
【解析】 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1.
知识点二 利用不等式性质判断命题真假及不等式性质的应用
1.不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
例题2：对于实数a，b，c下列命题中的真命题是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)
C．若a＜b＜0，则eq \f(b,a)＞eq \f(a,b)
D．若a＞b，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＞0，b＜0
【答案】D
【解析】 法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0⇒eq \f(a,ab)＞eq \f(b,ab)⇒eq \f(1,b)＞eq \f(1,a)，故B为假命题；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0⇒－a＞－b＞0))⇒eq \f(a,b)＞eq \f(b,a)，故C为假命题；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b⇒b－a＜0,\f(1,a)＞\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)＞0⇒\f(b－a,ab)＞0))ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．
取a＝2，b＝1，则eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝1.有eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，故B错．
取a＝－2，b＝－1，则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(a,b)＝2，有eq \f(b,a)＜eq \f(a,b)，故C错．
例题3.已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与eq \f(a,b)的取值范围．
【解析】 因为1＜a＜4,2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2.
所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.
又因为eq \f(1,8)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,2)，所以eq \f(1,8)＜eq \f(a,b)＜eq \f(4,2)＝2，即eq \f(1,8)＜eq \f(a,b)＜2.
知识点三 利用基本不等式比较大小
1.重要不等式
∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2.基本不等式
当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．
例题4 . (1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2eq \r(ab) B.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq \r(ab) D.eq \f(2ab,a＋b)≥eq \r(ab)
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
【答案】(1)D (2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac
【解析】 (1)由eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)得a＋b＝2eq \r(ab)，∴A成立；
∵eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，∴B成立；
∵eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥eq \f(2ab,\r(ab))＝2eq \r(ab)，∴C成立；
∵eq \f(2ab,a＋b)≤eq \f(2ab,2\r(ab))＝eq \r(ab)，∴D不一定成立．
(2)∵a、b、c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]
知识点四 利用基本不等式证明不等式
1.当a，b是任意正实数时，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．
例题5．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.
【证明】∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c)
＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))
≥3＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq \r(\f(c,b)·\f(b,c))＝3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.
知识点五 利用基本不等式求最值
1.已知x、y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值eq \f(S2,4).
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq \r(p).
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
例题6.(1)已知x>0，求函数y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)的最小值；
(2)已知0【解析】(1)∵y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)＝x＋eq \f(4,x)＋5≥2eq \r(4)＋5＝9，
当且仅当x＝eq \f(4,x)即x＝2时等号成立．
故y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)(x>0)的最小值为9.
(2)∵00，
∴y＝eq \f(1,4)×2x(1－2x)≤eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋1－2x,2)))2＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16).
∴当且仅当2x＝1－2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0五 易错点分析
易错一 不等式的性质的应用
例题7.判断对错。
(1)若a>b，则ac>bc一定成立．( )
(2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )
【答案】 (1)× (2)×
【解析】(1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．
(2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.
误区警示
比较大小、证明不等式应熟记、记准不等式的性质。
易错二 利用基本不等式求最值
例题8.已知x【解析】∵x0，
∴y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
错误区警示
利用基本不等式求值，应注意“一正，二定，三相等”。不满足“一正”的，应转化为正值；不满足“二定”的，应转化为积或和为定值。
内 容
考点
关注点
不等式的性质
基本不等式
不等式性质
不等式两边同乘负数，不等号改方向。
基本不等式求最值
一正二定三相等