第04讲 向量综合(知识与方法构建)-2022年春季高一数学辅导讲义（苏教版2019必修第二册）练习题

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第四讲 向量综合(知识与方法构建) 一、平面向量与三角函数求值 (一)例题(2020秋•会宁县校级月考)已知向量(4sinα，1﹣cosα)，(1，﹣2)，若2，则(　　)A．1；B．﹣1；C．；D．  (2020春•大连期末)已知向量，tanα)，(1，cosα)，若⊥，则cos(α)=(　　)A．；B．；C．；D．  (2020•青岛模拟)已知向量(1+cosx，2)，(sinx，1)，x∈(0，)，若∥，则sinx=(　　)A．；B．；C．；D． (二)练习1．(2019秋•碑林区校级期末)已知向量(cosα，3)，(sinα，﹣4)，，则的值是(　　)A．；B．﹣2；C．；D．  2．(2020秋•宁县校级期末)在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(cosC，2a﹣c)，(b，﹣cosB)，且⊥，则角B=______．   二、两个模型的应用善用模型，结合几何关系的分析，可使问题大为简化，并可避免复杂的运算求解过程．1．比例分点模型在题目中通常以两种方式出现：(1)由给出的比例分点，得出向量的线性运算关系，通常是比较直接的问题，直接套用模型；(2)由给出的向量线性运算关系，寻找三点共线，通常需要经过转化适用模型．2．投影模型有模长，有垂直，可提供建系依据． (一)例题(2020春•丽水期末)如图，在△ABC中，3，E是BD上一点，若t，则实数t的值为(　　)A．；B．；C．；D．  (2019秋•天河区校级期末)如下左图所示，在△ABC中，D、E分别为线段BC、AC上的两点，且|BD|=|DC|，，，则的值为(　　)A．；B．；C．；D．      (2020秋•会昌县月考)如上右图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若xy，则x，y是(　　)A．，；B．，；C．，；D．， (2020·江苏一模)已知是的垂心(三角形三条高所在直线的交点)，，则的值为______．  【变式4】(2019•江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•6•，则的值是______．  (2020·江苏二模)在中，为定长，．若的面积的最大值为2，则边的长为______．  (2020秋•长宁区期末)在△ABC中，AB=3，AC=2，点D在边BC上．若1，，则的值为______．  (2018•莆田二模)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=1，则•______．  (2018·江苏二模)如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则的取值范围为______．  (2020秋•沙河口区校级期中)已知圆O的半径是2，点P是圆O内部一点(不包括边界)，点A是圆O圆周上一点，且2，则的最小值为(　　)A．；B．4；C．；D．  (2020秋•金山区期末)在直角三角形ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，点M是△ABC外接圆上的任意一点，则•的最大值是______．  (2019秋•鼓楼区校级期末)如图，圆O是边长为2的正方形ABCD的内切圆，△PQR是圆O的内接正三角形，若△PQR绕着圆心O旋转，则的最大值是(　　)A．；B．；C．；D． (2020•山东)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则•的取值范围是(　　)A．(﹣2，6)；B．(﹣6，2)；C．(﹣2，4)；D．(﹣4，6)   (2019•江苏一模)在平面四边形ABCD中，AB=1，DA=DB，3，2，则的最小值为______．   【变式1】(2020春•沙坪坝区校级月考)如图，AD为△ABC的外接圆的直径，若BC=2，且，则(　　)A．2；B．；C．1；D．   【变式2】(2018•上海)已知A、B为平面上的两个定点，且||=2，该平面上的动线段PQ的端点P、Q，满足||≤5，6，2，则动线段PQ所形成图形的面积为(　　)A．36；B．60；C．72；D．108   【例9】(2020春•新洲区校级月考)如图，O为△ABC的外心，，，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则•等于(　　)A．2；B．3；C．4；D．5  【变式】(2020秋·百强名校月考)已知O是△ABC的外心，2，则(　　)A．；B．6；C．；D．   (二)练习3．(2020秋•常州期末)在四边形ABCD中，AB＝8，若，则______．   4．(2020秋•辽宁月考)在平面四边形ABCD中，||=2，||，23，若••，则向量与夹角的余弦值为(　　)A．；B．；C．；D．   三、最值问题1．由比例分点模型提供条件的最值问题以比例分点模型中系数和为定值1为条件，通常可转化为基本不等式问题进行最值求解．2．二次函数型的最值问题通过向量运算转化为二次函数型的最值问题，通常借由配方法寻找最值和取得最值的条件．3．三角函数型的最值问题通过向量运算转化为三角函数型的最值问题． (一)例题【例10】(2020春•庐江县期末)如图，在△ABC中，，E为线段AD上的动点，且x，则的最小值为(　　)A．16；B．15；C．12；D．10 【变式】(2020秋•怀仁市期末)在△ABC中，已知•9，b=c•cosA，△ABC的面积为6，若P为线段AB上的点(点P不与点A，点B重合)，且x•y•，则的最小值为(　　)A．9；B．；C．；D．   【例11】(2020秋•珠海月考)已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则的取值范围是______．  【变式】(2020秋•益阳期末)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝135°，M是△ABC所在平面上的动点，则w•••的最小值为______．    【例12】(2020秋•泰州期末)已知向量，，则△ABC的面积最大值为(　　)A．；B．；C．；D．1    【变式】(2020秋•温州期末)已知平面单位向量，满足．设向量与向量的夹角为θ，则cosθ的最大值为______．     (二)练习5．(2020春•道里区校级期末)已知A，B，C为直线l上的不同三点，O为l外一点，存在实数m，n(m>0，n>0)，使得9m4n成立，则的最小值为(　　)A．36；B．72；C．144；D．169   6．(2020秋•天心区校级月考)若平面向量，满足||＝||•2，则对于任意实数λ，|λ(1﹣λ)|的最小值是(　　)A．；B．；C．2；D．1    7．(2020秋•清江浦区校级月考)已知正方形ABCD的内切圆的半径为1，点M是圆上的一动点，则•的取值范围是(　　)A．[﹣1，0]；B．[﹣1，3]；C．[0，3]；D．[﹣1，4]