安徽省合肥市第八中学高一下学期期末复习数学限时作业（5）

合肥八中高一（下）数学限时作业（5）                          

一、选择题：本题共8小题，前6小题为单项选择，每小题5分；后2小题为多项选择，每小题7分，合计共44分。

1．设为虚数单位），则复数的虚部为　　

A． B．4 C． D．

【答案】A

【分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的虚部概念得答案．

【详解】

解：，

，

复数的虚部为，

故选：．

2．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据向量的加法减法运算即可求解.

【详解】

依题意，，

故选：B

3．在中，已知，为边中点，点在直线上，且，则边的长度为（    ）

A． B． C． D．6

【答案】A

【分析】

由等腰三角形的性质知、，有，根据向量数量积的几何意义可得，即可求边的长度.

【详解】

在中，，为边中点，

∴，即中有，且，

∵的夹角为，即，

∴，可得.

故选：A.

4．在中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求

【详解】

设，

，

.

故选：C.

5．的内角、、的对边分别为、、，已知，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先由正弦定理边角互化，计算求得，再根据余弦定理求，最后计算面积.

【详解】

根据正弦定理有，

、、，则，，可得，

由余弦定理可得，则为锐角，所以，，

所以，，解得.

因此，.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

6．已知平面向量是单位向量，且.则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据题意，求得的表达式，分析可得表示单位圆上的点到定点的距离，由点到圆的位置关系分析，即可得到答案.

【详解】

根据题意，三个平面向量是单位向量，且，

可设，则，

若为单位向量，则，表示单位圆上的任意一点，

所以，

表示单位圆上的点到定点的距离，

其最大值为,

最小值为，

所以的取值范围是.

故选：A.

【点睛】

求平面向量的模的2种方法：

1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算；

2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.

二、多选题

7．(多选题)锐角△中，三个内角分别是，，，且，则下列说法正确的是（    ）

A．sinA>sinB B．cosA<cosB

C．sinA>cosB D．sinB>cosA

【答案】ABCD

【分析】

由正弦定理得出，判断A，由余弦函数性质判断B，由正弦函数性质及诱导公式判断CD．

【详解】

因为，

所以A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，故A成立.

函数y=cosx在区间[0，π]上是减函数，

∵A>B，∴cosA<cosB，故B成立.

在锐角三角形中，∵A+B>，∴A>B，

函数y=sinx在区间上是增函数，

则有sinA>sin，即sinA>cosB，C成立，

同理sinB>cosA，故D成立.

故选：ABCD．

8．下列说法中错误的为（    ）．

A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底

C．非零向量，，满足且与同向，则

D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°

【答案】AC

【分析】

由向量的数量积，向量的夹角，判断；向量的基本定理判断；向量的定义判断；平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识判断．

【详解】

解：对于，与的夹角为锐角，

，

且时与的夹角为，所以且，故错误；

对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；

向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；

对于．因为，两边平方得，，

则，，

故，

而向量的夹角范围为，，

得与的夹角为，故项正确．

故错误的选项为AC．

故选：AC．

三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分

9．已知=（2，3），=（2,4），向量在上的投影向量____________；

【答案】

【分析】

根据向量的数量积计算出向量在上的投影，然后由投影数乘向量方向的单位向量．

【详解】

由题意向量在上的投影为，，

向量在上的投影向量为．

故答案为：．

10．已知复数z＝，则z·＝________.

【答案】

【分析】

化简,计算z·即可.

【详解】

z＝＝＝＝

＝＝

故答案为：

11．在中，角，，的对边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为_______.

【答案】4

【分析】

由得，再由面积得，最后结合余弦定理求解即可得答案.

【详解】

解：因为，所以，

因为已知的面积为，

所以，整理得，

由余弦定理得，

所以.

故答案为：

12．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径、两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点、，测得，，，，则、两点的距离为______.

【答案】

【分析】

在中，利用正弦定理计算出，分析出为等腰三角形，可求得，然后在中，利用余弦定理可求得.

【详解】

在中，，，，

，

在中，，，，

由正弦定理可得，，

在中，，，，

由余弦定理可得，因此，.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

四、解答题：本题共2小题，共32分；第13题14分，第14题18分

13．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．

（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求λ+μ的值．

（2）若AB＝2，当1时，求DF的长．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）先转化得到，，再表示出，求出λ，μ，最后求λ+μ的值；

（2）先得到和，再建立方程求解λ，最后求DF的长.

【详解】

（1）∵点E是BC边上中点，点F是CD上靠近C的三等分点，

∴，，

∴，

∴λ，μ，

故λ+μ.

（2）设λ，则λ，

又，0，

∴（）•（λ）＝﹣λ24λ+2＝1，

故λ，

∴DF＝（1﹣λ）×2．

【点睛】

本题考查利用向量的运算求参数，是基础题

14．在中，角，，所对的边分别为，，，，.

（1）求外接圆的面积；

（2）若，，求的周长.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角的大小，然后运用正弦定理求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积.

（2）由及可解出，的大小，得出角的大小，进而得出角，然后在中，由余弦定理可解得的值，得出的周长.

【详解】

（1）∵ ，

∴ ，由正弦定理得：，

因为 ，所以，得，

又，故 ，

∴外接圆的半径，

∴外接圆的面积为.

（2）由及得：，，

∵，则为锐角，

∴，故.

如图所示，在中，由余弦定理得，

，

解得，

则的周长为.

【点睛】

解三角形时，若题目所给式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或者边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则两个定理都有可能用到.