第25讲 统计案例和回归方程-2022年新高考艺术生40天突破数学90分练习题

第25讲 统计案例和回归方程
一．选择题（共24小题）
1．（2020秋•贵阳期末）如下四个散点图中，正相关的是　　
A．
B．
C．
D．
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，散点图中的点从左向右是上升的，且在一条直线附近，是正相关；
对于，散点图中的点从左向右是下降的，且在一条直线附近，是负相关．
对于，散点图中的点成片状分布，没有明显的相关性；
对于，散点图中的点也成片状分布，没有明显的相关性．
故选：．
2．（2020春•莲湖区期末）为了比较甲、乙、丙三组数据的线性相关性的强弱，小郑分别计算了甲、乙、丙三组数据的线性相关系数，其数值分别为0.939，0.937，0.948，则　　
A．甲组数据的线性相关性最强，乙组数据的线性相关性最弱
B．乙组数据的线性相关性最强，丙组数据的线性相关性最弱
C．丙组数据的线性相关性最强，甲组数据的线性相关性最弱
D．丙组数据的线性相关性最强，乙组数据的线性相关性最弱
【解析】解：甲、乙、丙三组数据的线性相关系数分别为0.939，0.937，0.948，
所以线性相关系数最大的丙组数据的线性相关性最强，
线性相关系数最小的乙组数据的线性相关性最弱．
故选：．
3．（2020春•海东市期末）下列说法正确的是　　
A．圆的面积与半径之间的关系是相关关系
B．粮食产量与施肥量之间的关系是函数关系
C．一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系
D．人的体重与视力成负相关关系
【解析】解：对于，圆的面积与半径之间的关系是确定的关系，是函数关系，所以错误；
对于，粮食产量与施肥量之间的关系是不是函数关系，是相关关系，所以错误；
对于，一定范围内，学生的成绩与学习时间是成正相关关系的，所以正确；
对于，人的体重与视力是没有相关关系的，所以错误．
故选：．
4．（2020春•南阳月考）对变量，由观测数据得散点图1；对变量，由观测数据得散点图2．由这两个散点图可以判断　　

A．变量与正相关，与正相关
B．变量与正相关，与负相关
C．变量与负相关，与正相关
D．变量与负相关，与负相关
【解析】解：由这两个散点图可以判断，变量与负相关，与正相关，则与负相关．
故选：．
5．（2019秋•开封期末）已知，是两个变量，下列四个关系中，，呈负相关的是　　
A． B． C． D．
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，当增大时，的值不一定减小，两个变量不是负相关，不符合题意；
对于，，当增大时，的值不一定减小，两个变量不是负相关，不符合题意；
对于，，当增大时，的值一定增大，两个变量正相关，不符合题意；
对于，，当增大时，的值一定减小，两个变量负相关，符合题意；
故选：．
6．（2020春•桂林期末）对变量，有观测数据，，2，，，得散点图（1）；对变量，，有观测数据，，2，，，得散点图（2），由这两个散点图可以判断　　

A．变量与正相关，与正相关
B．变量与正相关，与负相关
C．变量与负相关，与正相关
D．变量与负相关，与负相关
【解析】解：由题图1可知，随的增大而减小，各点整体呈下降趋势，与负相关，
由题图2可知，随的增大而增大，各点整体呈上升趋势，与正相关．
故选：．
7．（2020秋•十堰期中）如图是根据变量，的观测数据，，2，3，，得到的散点图，由这些散点图可以判断变量，具有相关关系的图是　　

A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【解析】解：由图③知，变量随的增大而减小，各点整体呈下降趋势，与有明显的负相关关系，
由图④知，变量随的增大而增大，各点整体呈上升趋势，与有明显的正相关关系．
故选：．
8．（2020•金凤区校级四模）如图给出了某种豆类生长枝数（枝与时间（月的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是　　

A． B． C． D．
【解析】解：从所给的散点图可以看出图象大约过和，，，
把这组点代入所给的四个解析式中，只有最合适．
故选：．
9．（2020•榆林模拟）如图所示，给出了样本容量均为7的，两组样本数据的散点图，已知组样本数据的相关系数为，组数据的相关系数为，则　　

A． B． C． D．无法判定
【解析】解：根据、两组样本数据的散点图知，
组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，
相关系数为应最接近1，
组数据分散在一条直线附近，也成正相关，
相关系数为满足，
即．
故选：．
10．（2019春•宝坻区期中）如图，有6组数据，去掉哪组数据后（填字母代号），剩下的5组数据的线性相关性最大　　

A． B． C． D．
【解析】解：根据题意，由散点图可得：、、、、五个点都分布在一条直线的附近且贴近某一条直线，
点离得较远些，
则去掉点后剩下的4组数据的线性相关性最大．
故选：．
11．（2019•深圳模拟）已知，的取值如表：

0
1
2
3
4

1
1.3
3.2
5.6
8.9
若依据表中数据所画的散点图中，所有样本点，，2，3，4，都在曲线附近波动，则　　
A．1 B． C． D．
【解析】解：由，将，则所有样本点，，2，3，4，都在直线，
则，，
将代入回归方程求得，
故选：．
12．（2018春•濮阳期末）已知一组样本点，其中，2，3，，30根据最小二乘法求得的回归方程是则下列说法正确的是　　
A．若所有样本点都在上，则变量间的相关系数为1
B．至少有一个样本点落在回归直线上
C．对所有的预报变量 ，2，3，，，的值一定与有误差
D．若斜率则变量与正相关
【解析】解：所有样本点都在上，则变量间的相关系数为，故错误；
回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故错误；
若所有的样本点都在上，则的值与相等，故错误；
相关系数与符号相同，若斜率，则，样本点应分布从左到右应该是上升的，则变量与正相关，故正确；
故选：．
13．（2014春•天津期末）用最小二乘法得到一组数据，，2，3，4，的线性回归方程为，若，则等于　　
A．11 B．13 C．53 D．65
【解析】解：，，
代入，可得，
．
故选：．
14．（2020秋•青羊区校级期末）2020年初，新型冠状病毒引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：
周数
1
2
3
4
5
治愈人数
2
7
9
13
14
由表格可得关于的线性回归方程为，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为　　
A．4 B．1 C．0 D．
【解析】解：，，
则样本点的中心坐标为，代入，
得，
线性回归方程为，取，可得，
则此回归模型第4周的残差为．
故选：．
15．（2020秋•淮南期末）2020年初，新型冠状病毒引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：
周数
1
2
3
4
5
治愈人数
2
17
36
93
142
由表格可得关于的二次回归方程为，则此回归模型第2周的残差（实际值与预报值之差）为　　
A．5 B．4 C．1 D．0
【解析】解：设，则，
，
，
，
令，得，
此回归模型第2周的残差为．
故选：．
16．（2020秋•资阳期末）某商铺统计了今年5个月的用电量（单位：与月份的对应数据，列表如表：

2
4
5
6
8

30
40
57

69
根据表中数据求出关于的线性回归方程为，则表中的值为　　
A．50 B．54 C．56.5 D．64
【解析】解：由表中数据，计算，
，
回归直线方程过样本中心，
，
解得：，
故选：．
17．（2020秋•安顺期末）我国在有效防控疫情的同时积极有序推进复工复产，各旅游景区也逐渐恢复开放．某景区对重新开放后的月份与该月游客的日平均人数（单位：千人天）进行了统计分析，得出如表数据：
月份
4
5
7
8
日平均人数
1.9
3.2

6.1
若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则表中的值为　　
A．4.7 B．4.8 C．5 D．无法确定
【解析】解：，，
线性回归方程为，
可得，解得．
故选：．
18．（2020•石嘴山二模）通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量的观测值，参照附表，得到的正确结论是　　

0.10
0.05
0.025

2.706
3.841
5.024
A．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【解析】解：计算得到统计量值的观测值，
参照题目中的数值表，得到正确的结论是：
在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”．
故选：．
19．（2020•临川区校级一模）如表是一个列联表：则表中，的值分别为　　



合计


21
73

22
25
47
合计

46
120
A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74，52
【解析】解：，．
故选：．
20．（2020•沙坪坝区校级模拟）某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用列联表计算的，经查临界值表知．则下列表述中正确的是　　
A．有的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
B．若有人未使用该血清，那么他一年中有的可能性得感冒
C．这种血清预防感冒的有效率为
D．这种血清预防感冒的有效率为
【解析】解：根据查对临界值表知，故有的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，即正确；
仅是指“血清与预防感冒”可信程度，但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能，即，，不正确．
故选：．
21．（2019•揭阳二模）通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，

爱好
不爱好
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
由得

0.010
0.005
0.001

6.635
7.879
10.828
参照附表，得到的正确结论是　　
A．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【解析】解：由题意知，
对照临界值得出，有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
故选：．
22．（2019•深圳模拟）现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：

根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的　　
A．样本中的女生数量多于男生数量
B．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量
C．样本中的男生偏爱理科
D．样本中的女生偏爱文科
【解析】解：由图2知，样本中的女生数量多于男生数量，样本中的男生、女生均偏爱理科；由图1知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，
故选：．
23．（2020秋•东湖区校级期末）2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习．为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有的男生喜欢网络课程，有的女生不喜欢网络课程，且有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为　　
参考公式附：，其中．
参考数据：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
A．130 B．190 C．240 D．250
【解析】解：依题意，设男、女生的人数各为，建立列联表如下所示：

喜欢网络课程
不喜欢网络课程
总计
男生



女生



总计



由表中数据，计算，
由题可知，
所以．
只有符合题意．
故选：．
24．（2020秋•常州期末）2020年12月30日，国家药品监督管理局附条件批准国药集团中国生物北京生物制品研究所有限责任公司的新型冠状病毒灭活疫苗细胞）注册申请．该疫苗是首家获批的国产新冠病毒灭活疫苗，适用于预防由新型冠状病毒感染引起的疾病．2021年1月3日，北京市人民政府新闻办公室召开疫情防控第200场例行新闻发布会，表示不在岁接种年龄段范围的人员，需要等待进一步临床试验数据．近日专家对该年龄内和该年龄段外的110人进行了临床试验，得到如下列联表：

能接种
不能接种
总计
岁内
40
20
60
岁外
20
30
50
总计
60
50
110
附：，其中．

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是　　
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段无关”
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段有关”
C．有以上的把握认为“能接种与年龄段无关”
D．有以上的把握认为“能接种与年龄段有关”
【解析】解：根据列联表中数据，计算，
参照附表知，在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段有关”，
即有以上的把握认为“能接种与年龄段有关”．
故选：．
二．多选题（共1小题）
25．（2020春•盐城期末）为了对变量与的线性相关性进行检验，由样本点，，，，，，求得两个变量的样本相关系数为，那么下面说法中错误的有　　
A．若所有样本点都在直线上，则
B．若所有样本点都在直线上，则
C．若越大，则变量与的线性相关性越强
D．若越小，则变量与的线性相关性越强
【解析】解：当所有样本点都在直线上时，样本点数据完全负相关，其相关系数，所以、都错误；
相关系数值越大，则变量与的线性相关性越强，正确；
相关系数值越小，则变量与的线性相关性越弱，错误．
综上知，以上错误的说法是．
故选：．
三．填空题（共2小题）
26．（2014春•周口校级月考）如果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为　0　，残差平方和为　　，相关指数为　　．
【解析】解：若散点图的所有点都在一条直线上，
则残差为0，残差平方和为0，相关指数为1，
故答案为：0，0，1
27．（2014•韶关一模）设某大学的女生体重（单位：与身高（单位：具有线性相关关系，根据一组样本数据，，2，，，用最小二乘法建立的回归方程为，给定下列结论：
①与具有正的线性相关关系；
②回归直线过样本点的中心，；
③若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；
④若该大学某女生身高为，则可断定其体重必为．
其中正确的结论是　①②③　．
【解析】解：对于①，，所以与具有正的线性相关关系，故正确；
对于②，回归直线过样本点的中心，，故正确；
对于③，回归方程为，该大学某女生身高增加，则其体重约增加，故正确；
对于④，时，，但这是预测值，不可断定其体重为，故不正确．
故答案为：①②③．
四．解答题（共15小题）
28．（2018秋•黑龙江期末）假设关于某设备使用年限（年和所支出的维修费用（万元）有如下统计资料：

2
3
4
5
6

2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知，对呈线性相关关系，试求：
（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；
（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；
（Ⅲ）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
（参考数据：
【解析】解：表中数据的散点图如下图所示：


，
样本中心点的坐标是

，
线性回归方程是，
当时，
使用年限为10年时，维修费用约是12.38万元
29．（2020秋•池州期末）随着经济水平的提高，智能家居已成为生活中的热点，应用于寻常百姓家中的比例逐年上升．智能家居与传统家居的最大区别在于用电器的开关控制，由过去的人工控制变成智能终端控制．某生活家居馆新推出一套智能家居产品，为了占领市场，举行为期六周的“感恩有你，钜惠给你”低价风暴活动，到第五周末该生活家居馆对前五周销售情况进行统计，得到统计表格如表表示第周确定订购的数量），且通过散点图发现与具有线性相关关系．

1
2
3
4
5

5
9
12
16
23
（1）请用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（2）预测第六周订购智能家居产品的数量能否超过28．
参考公式：，．
【解析】解：（1）依题意：，，


，
则，
故所求回归直线方程为．
（2）将，代入中，得，
故预测第六周订购智能家居产品的数量为26，不会超过28．
30．（2020秋•宣城期末）某位同学连续5次历史、政治的测试成绩如表：
次数
1
2
3
4
5
历史分）
79
81
83
85
87
政治分）
77
79
79
82
83
（1）求该生5次历史、政治成绩的平均分；
（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量、的线性回归方程．
参考公式：，，，表示样本均值．
【解析】解：（1）该生5次月考历史成绩的平均分，
该生5次月考政治成绩的平均分；
（2）计算得，，
回归系数为，
，
故所求的线性回归方程为．
31．（2020•淄博模拟）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数．
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，2，，12，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．
令，，2，，，经计算得如下数据：






20
66
770
200
460
4.20





3125000
21500
0.308
14
（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（2）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到；
若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
附：①相关系数，
回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
②参考数据：，，．

【解析】解：（1）由题意，，（2分）
，（4分）
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好；（5分）
（2）先建立关于的线性回归方程，
由，得，即；（6分）
由于，（8分）
，（9分）
所以关于的线性回归方程为，
所以，则；（10分）
下一年销售额需达到90亿元，即，
代入，得，
又，所以，（11分）
所以，
所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元（12分）
32．（2018•贵州模拟）共享单车是指企业在校园、地铁站点、公共站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式，是共享经济的一种新形态．某共享单车企业在城市就“一天中一辆单车的平均成本与租用单车数量之间的关系”进行了调查，并将相关数据统计如表：
租用单车数量（千辆）
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本（元
3.2
2.4
2
1.9
1.5
根据以上数据，研究人员设计了两种不同的回归分析模型，得到两个拟合函数：
模型甲：，模型乙：．
（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：
①完成下表（计算结果精确到0.1元）（备注：，称为相应于点，的残差）；
租用单车数量（千辆）
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本（元
3.2
2.4
2
1.9
1.5
模型甲
估计值

2.4
2
1.8
1.4
残差

0
0
0.1
0.1
模型乙
估计值

2.3
2
1.9

残差

0.1
0
0

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好．
（2）这家企业在城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎并供不应求，于是该企业决定增加单车投放量．根据市场调查，市场投放量达到1万辆时，平均每辆单车一天能收入8元；6元的概率分别为0.6，0.4；市场投放量达到1.2万辆时，平均每辆单车一天能收入8元，6元的概率分别为0.4，0.6．若按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，问该企业投放量选择1万辆还是1.2万辆能获得更多利润？请说明理由．（利润收入成本）
【解析】解：（1）①经计算，可得下表：
租用单车数量（千辆）
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本（元
3.2
2.4
2
1.9
1.5
模型甲
估计值（1）
3.2
2.4
2
1.8
1.4
残差（1）
0
0
0
0.1
0.1
模型乙
估计值（2）
3.2
2.3
2
1.9
1.7
残差（2）
0
0.1
0
0

②计算残差平方和，
，
因为，故模型甲的拟合效果更好；
（2）若投放量为1万辆，由（1）模型甲可知，
每辆车的成本为（元，
这样一天获得的总利润为（元，
若投放量为1.2万辆，由（1）模型甲可知，
每辆车的成本为（元，
这样一天获得的总利润为（元，
因为，所以选择投放1.2万辆能获得更多利润．
33．（2018春•红岗区校级期中）下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量（吨与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据．

3
4
5
6

2.5
3
4
4.5
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的回归方程；
（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：计算回归系数，．公式为．
【解析】解：（1），，
，
，
，
．
所求的回归方程为．
（2）现在生产100吨甲产品用煤
，．
生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤．
34．（2017•泉州模拟）为提高市场销售业绩，某公司设计两套产品促销方案（方案1运作费用为5元件；方案2的运作费用为2元件），并在某地区部分营销网点进行试点（每个试点网点只采用一种促销方案），运作一年后，对比该地区上一年度的销售情况，分别统计相应营销网点个数，制作相应的列联表如表所示．

无促销活动
采用促销方案1
采用促销方案2

本年度平均销售额不高于上一年度平均销售额
48
11
31
90
本年度平均销售额高于上一年度平均销售额
52
69
29
150

100
80
60

（Ⅰ）请根据列联表提供的信息，为该公司今年选择一套较为有利的促销方案（不必说明理由）；
（Ⅱ）已知该公司产品的成本为10元件（未包括促销活动运作费用），为制定本年度该地区的产品销售价格，统计上一年度的8组售价（单位：元件，整数）和销量（单位：件），2，如表所示：
售价
33
35
37
39
41
43
45
47
销量
840
800
740
695
640
580
525
460
（ⅰ）请根据下列数据计算相应的相关指数，并根据计算结果，选择合适的回归模型进行拟合；
（ⅱ）根据所选回归模型，分析售价定为多少时？利润可以达到最大．





49428.74
11512.43
175.26

124650
参考公式：相关指数．
【解析】解：（Ⅰ）由列联表信息可知，年度平均销售额与方案1的运作相关性强于方案2．
（Ⅱ）（ⅰ）由已知数据可知，回归模型对应的相关指数；
回归模型对应的相关指数；
回归模型对应的相关指数．
因为，所以采用回归模型进行拟合最为合适．
（ⅱ）由（Ⅰ）可知，采用方案1的运作效果较方案2好，
故年利润，，
当时，单调递增；
当时，单调递减．
故当售价时，利润达到最大．
35．（2020•广西模拟）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）．







1.47
20.6
0.78
2.35
0.81

16.2
表中．
（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；
（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量成正比，那么为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据，，，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．

【解析】解：（1）更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型．（1分）
（2）由公式可得：，（3分）
，（5分）
所以所求回归方程为．（6分）
（3）设，则煤气用量，（9分）
当且仅当时取“”，即时，煤气用量最小．（11分）
答：为2时，烧开一壶水最省煤气．（12分）
36．（2020•奎文区校级模拟）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量，2，，数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．







46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中，
（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（Ⅲ）以知这种产品的年利率与、的关系为．根据（Ⅱ）的结果回答
当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
附：对于一组数据，，，，，，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．

【解析】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型．
（Ⅱ）令，则，
，，
关于的线性回归方程为，
关于的回归方程为，
（Ⅲ）当时，年销售量的预报值．
年利润的预报值．
37．（2019•佛山模拟）某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图

产品的质量指数在，的为三等品，在，的为二等品，在，的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）．以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量，2，3，4，数据做了初步处理，得到的散点图（如图及一些统计量的值．




16.30
24.87
0.41
1.64
表中，，，
根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程．
建立关于的回归方程；
（ⅱ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益销售利润营销费用，取
参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【解析】解：（1）设每件产品的销售利润为元，
则的所有可能的取值是1.5，3.5，5.5，
由直方图可得，一，二，三等品的频率分别是：0.4，0.45，0.15，
故，，，
故随机变量的分布列为：

1.5
3.5
5.5

0.15
0.45
0.4
故，
故每件产品的平均销售利润为4元；
（2）由得：，
令，，，则，
由表中数据得：，
则，
故，即，
，故，
故所求回归方程是：；
设年收益为万元，则，
设，，则，
当时，，在递增，
当时，，在递减，
故即时，的最大值是768，
故该厂应投入256万元营销费，
能使得该产品一年的收益达到最大值768万元．
38．（2020•福州模拟）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本（元与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：

1
2
3
4
5
6
7
8

112
61
44.5
35
30.5
28
25
24
根据以上数据，绘制了散点图．观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合，已求得：用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数；，，，，，，（其中，，2，3，，；
（1）用反比例函数模型求关于的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本．
参考数据：，
参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数．

【解析】解：（1）令，则可转化为，
因为，所以，
则，所以，
所以关于的回归方程为；
（2）与的相关系数为：
，
因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，
把代入回归方程：（元，
所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本估计为21元．
39．（2020秋•金凤区校级期末）为研究男、女生的身高差异，现随机从高三某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）
男：173 178 174 185 170 169 167 164 161 170
女：165 166 156 170 163 162 158 153 169 172
（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值．
（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数（单位：厘米），将男、女生身高不低于和低于的人数填入下表中，并判断是否有的把握认为男、女生身高有差异？
人数
男生
女生
身高


身高


参照公式：．

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（3）若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高．采用分层抽样的方法从以上男生中抽取5人作为样本．若从样本中任取2人，试求恰有1人身高属于正常的概率．

【解析】解：（1）茎叶图为：

平均身高为：男：，
女：；
（2）20名学生身高的中位数，
男、女身高的列联表：
人数
男生
女生
身高
6
5
身高
4
5
，
没有把握认为男、女身高有差异；
（3）10名男生中，身高偏矮的有2人，正常的有6人，偏高的有2人，
采用分层抽样的方法从以上男生中抽取5人作为样本，身高正常的有3人．
从样本中任取2人，恰有1人身高属于正常的概率．
40．（2020秋•山西期末）近些年美国政府对中国的打压对中国来说既是挑战也是机遇，但中国的复兴需要新一代青年牢牢树立国家意识，将自己理想与国家发展需要相结合，努力奋斗，投身于国家需要的行业中去．为了解高中生是否对“将自己的理想与国家的发展需要相结合”这一问题产生过思考，随机抽取了120名高中学生展开调查（其中文科学生60名，理科学生60名），统计数据如表所示：

“思考过”
“没思考过”
总计
文科学生
50
10

理科学生
40


总计


120
（1）补充上述列联表，并根据列联表判断能否在犯错率不超过的前提下认为是否思考过“将自己的理想与国家的发展需要相结合”这一问题与文理科学生有关？
（2）从如表的120名学生中，用分层抽样抽取容量为8的样本，问其中“思考过”的学生有多少人？
（3）在（2）问前提下，从“思考过”的学生（理科学生有2人）中随机选2人，问2名同学文理科不同的概率为多少？
参考公式：，其中．
参考数据：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
【解析】解：（1）由题意可得列联表，

“思考过”
“没思考过”
总计
文科学生
50
10
60
理科学生
40
20
60
总计
90
30
120
．
可以在犯错率不超过的前提下认为思考过将自身理想与国家发展需要相结合与文理科学生有关．
（2）思考过的学生与没思考过的学生数量之比为，化简为，则用分层抽样抽取容量为8的样本，
因此思考过的学生有6人．
（3）记其中理科学生为1号，2号，文科学生为3号，4号，5号，6号
则从中随机选2人，
所有的基本事件有12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56，共15种，
其中文理科不同的有13、14、15、16、23、24、25、26，8种，
所以2名同学文理科不同的概率为．
故答案为：（1）列联表见解析，在犯错率不超过的前提下认为思考过将自身理想与国家发展需要相结合与文理科学生有关．（2）思考过的学生有6人．（3）2名同学文理科不同的概率为．
41．（2020秋•上饶期末）2020年4月底，随着新冠疫情防控进入常态化，为了促进消费复苏增长，上饶市开展“五一消费黄金周”系列活动，并发放亿元电子消费券．活动过后，我们随机抽取了50人，对是否使用过电子消费券进行调查，结果如表：
年龄
（单位：岁）
，
，
，
，
，
，
抽取人数
2
10
13
12
10
3
使用过消费券的人数
1
9
13
8
6
1
若以“年龄40岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有的把握认为使用电子消费券与按照40岁为分界点的人的年龄有关．

年龄低于40岁的人数
年龄不低于40岁的人数
合计
使用过消费券的人数



没有使用消费券的人数



合计



参考数据：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，其中．
【解析】解：由以上统计数据填写下面列联表，如下：

年龄低于40岁
的人数
年龄不低于40岁
的人数
合计
使用过消费券的人数
23
15
38
没有使用消费券的人数
2
10
12
合计
25
25
50
根据公式计算，
有的把握认为使用电子消费券与按照40岁为分界点的人的年龄有关．
42．（2020秋•汉中月考）为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车．生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查．在岁的人群中随机抽取了100人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：
年龄
，
，
，
，
，
接受的人数
14
6
15
28
17
（1）求频率分布直方图第二组中的值，并根据频率分布直方图，求这100位被调查者年龄的中位数；
（2）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？

岁以下
岁及岁以上
总计
接受



不接受



总计





0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
附：．

【解析】解：（1）由，
解得．
由前三个矩形的面积和为，
所以100位被调查者年龄的中位数为；
（2）由题可得联表如下：

岁以下
岁及岁以上
总计
接受
35
45
80
不接受
15
5
20
总计
50
50
100
计算．
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异．