专题9—导数大题1-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习

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专题9—导数大题1考试说明：1、了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，回求函数的单调区间；2、了解函数在某点取得极值时的充要条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最大值和最小值。3、了解导数的综合应用题型特点：导数的综合应用是历年高考的热点，试题难度通常较大，多以压轴题的形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根；利用导数研究恒成立问题等等，体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用。一、典例分析命题角度1—利用导数研究函数的单调性问题例1．（2021•乙卷）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．分析：（1）对函数求导，分及讨论导函数与零的关系，进而得出的单调性情况；（2）先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线联立，即可求得公共点坐标．解答：解：（1），△，①当△，即时，由于的图象是开口向上的抛物线，故此时，则在上单调递增；②当△，即时，令，解得，令，解得或，令，解得，在，，单调递增，在，单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．（2）设曲线过坐标原点的切线为，切点为，则切线方程为，将原点代入切线方程有，，解得，切线方程为，令，即，解得或，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和．点评：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．命题角度2—利用导数研究函数的极值、最值问题例2．（2019•全国）已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若在区间，的最小值为，求．分析：（1）将代入中，然后求导，根据导函数的零点判断单调性导函数在各区间上的符合，从而得到单调区间；（2）对求导后，根据导函数的零点分，，三类分别求出的最小值，让最小值等于，解出，然后判断是否符合条件即可．解答：解：（1）当时，，则，令，则，当时，；当时，．的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），令，则，当时，，在，上单调递增，，不符合条件；当时，，则当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，，，符合条件；当时，，则当时，，在上单调递减，，，不符合条件．在区间，的最小值为，的值为．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了分类讨论思想和分类法，属中档题．命题角度3—利用导数研究函数的方程的根（或函数的零点）例3．（2020•浙江）已知，函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）．分析：（Ⅰ）推导出时，恒成立，，（2），由此能证明函数在上有唯一零点．（Ⅱ），从而，进而，令，，，利用导数性质能证明．要证明，只需证明，只需证，由此能证明．解答：证明：（Ⅰ），恒成立，在上单调递增，，（2），又，函数在上有唯一零点．（Ⅱ），，，，令，，，一方面，，，，在单调递增，，，，另一方面，，，当时，成立，只需证明当时，，，，，当时，，当时，，，（1），，（1），，在单调递减，，，综上，，．要证明，只需证，由得只需证，，只需证，只需证，即证，，，，．点评：本题考查函数有唯一零点、不等式的证明，导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查转化思想和运算求解能力，是中档题．二、真题集训1．（2020•新课标Ⅱ）已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）设，讨论函数的单调性．解：（1）等价于．设，．当时，，单调递增，当时，，单调递减，在时取得极大值也就是最大值为（1），，即．则的取值范围为，；（2），，．．令，则，令，解得，令，解得，在上单调递增，在上单调递减．（a），即，在和上单调递减．2．（2019•江苏）设函数，，，，为的导函数．（1）若，（4），求的值；（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；（3）若，，，且的极大值为，求证：．解：（1），，（4），，，解得．（2），，设．令，解得，或．．令，解得，或．和的零点均在集合，1，中，若：，，则，舍去．，，则，舍去．，，则，舍去．．，，则，舍去．，，则，舍去．，，则，因此，，，可得：．．可得时，函数取得极小值，（1）．（3）证明：，，，．．△．令．解得：，．，，，可得时，取得极大值为，，令，可得：．，．令，，函数在上单调递减，．．．函数在上单调递增，．3．（2021•浙江）设，为实数，且，函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；（Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足．（注是自然对数的底数）解：（Ⅰ），①当时，由于，则，故，此时在上单调递增；②当时，令，解得，令，解得，此时在单调递减，在单调递增；综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要使函数有两个不同的零点，只需即可，对任意均成立，令，则，即，即，即，对任意均成立，记，则，令（b），得，①当，即时，易知（b）在，单调递增，在单调递减，此时（b），不合题意；②当，即时，易知（b）在，单调递减，此时，故只需，即，则，即；综上，实数的取值范围为，；（Ⅲ）证明：当时，，，令，解得，易知，有两个零点，不妨设为，，且，由，可得，要证，即证，即证，而，则，要证，即证，即证，而，，即得证．