专题11.2 参数方程-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

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第十一篇 坐标系与参数方程
专题11.02 参数方程
【考纲要求】
1.了解参数方程，了解参数的意义．
2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程
【命题趋势】
参数方程部分主要考查参数方程与普通方程的互化，并且多与极坐标方程结合考查.
【核心素养】
本讲内容体现对数学抽象，数学运算的考查
【素养清单•基础知识】
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程．
2．参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．
(2)普通方程化参数方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程
3．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．
直线参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
①|M1M2|＝|t1－t2|.
②若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.
③若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.
④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．
(3)①椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)．
②椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)．
【真题体验】
1.【2021年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
【答案】（1）；的直角坐标方程为；（2）．
【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为．
的直角坐标方程为．
（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）．
C上的点到的距离为．
当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为．
【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．
2.【2021年高考北京卷理数】已知直线l的参数方程为（t为参数），则点
（1，0）到直线l的距离是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，可将直线化为普通方程：，即，即，所以点（1，0）到直线的距离，故选D．
【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．
3.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为；（2）的斜率为．
【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，[来源:学科网]
当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
4.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程．
设，由题设得，消去k得．
所以C的普通方程为．
（2）C的极坐标方程为．
联立得．
故，从而．
代入得，所以交点M的极径为．
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
5.【2017年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系中，已知直线的参考方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．
【答案】
【解析】直线的普通方程为．
因为点在曲线上，设，
从而点到直线的的距离，
当时，．
因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值．
【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．
【考法拓展•题型解码】
考法一　　参数方程与普通方程的互化
解题技巧:将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解．
【例1】 将下列参数方程化为普通方程．
(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数)．
【答案】见解析
【解析】(1)2＋2＝1，
所以x2＋y2＝1.因为t2－1≥0，所以t≥1或t≤－1.
又x＝，
所以x≠0.当t≥1时，0＜x≤1，
当t≤－1时，－1≤x＜0，所以所求普通方程为x2＋y2＝1，
其中或
(2)因为y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x－2，
所以y＝－2x＋4，所以2x＋y－4＝0.因为0≤sin 2 θ≤1，所以2≤x≤3，所以所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
考法二　　直线与圆的参数方程及应用
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
直线与圆的参数方程中的参数是可以具有几何意义的，如果能正确应用它，可以使问题的解决事半功倍，也可以把直线和圆的方程都普通化，再行解决．
【例2】 (2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
【答案】见解析
【解析】(1)⊙O的普通方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.
l与⊙O交于两点，当且仅当