大题专练训练34：导数（零点个数问题2）-2022届高三数学二轮复习

二轮大题专练34—导数（零点个数问题2）

1．已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若在区间，上有两个零点，求的取值范围．

解：（1）的定义域为，，

令，可得或，下面分三种情况．

①当时，可得，由，得，由，得，

此时的单调递增区间为，单调递减区间为，1．

②当时，由，得或，由，得，

此时的单调递增区间为，，单调递减区间为．

③当时，，在区间上单调递增．

（2）由（1）得，当时，在处取得最小值，、

且在区间，内先减后增，

又，

，要使得在区间，上有两个零点，

必须有且，由此可得，

当时，，显然在区间，上不存在两个零点．

当时，由（1）得在区间，内先减后增，

又，，

故此时在区间，上不存在两个零点．

当时，由（1）得在区间，内先增，先减，后增．

又（a），，

故此时在区间，上不存在两个零点．

当时，由（1）得在区间上单调递增，

在区间，上不存在两个零点．

综上，的取值范围是，．

2．已知是自然对数的底数，函数，其中．

（1）当时，若，求的单调区间；

（2）若在上恰有三个零点，求的取值范围．

解：（1）当时，

令，则，

当时，，在上单调递减；

当时，在上单调递增．

（1）．在上单调递增．

（2），的零点，

令，可得，

设，

，

令，得，且，

当时，，单调递增且，；

当时，，单调递减且；

当时，，单调递增且，

作图的大致图象，如图所示，

由图象可知，当时，与的图象有三个交点，即有三个不同的零点，

的取值范围是．

3．已知函数（其中为自然对数的底数，．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若有两个极值点，求实数的取值范围．

解：（1）当时，，，

令，，令，解得，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以的单调递增区间为，无单调递减区间．

（2）若有两个极值点，即有两个变号零点．

令，

（ⅰ）当时，在上单调递减，最多只有一个零点，不合题意；

（ⅱ）当时，，最多只有一个零点，不合题意．

（ⅲ）当时，令，得；

当，，当，；

所以在单调递减，在单调递增，

则，

而当时，，，

又，根据零点存在性定理可知．，使得，，

令，则式

所以，使得，

又在单调递减，在单调递增，

故在有唯一零点，在上有唯一零点．

综上知：若有两个极值点，的取值范围为．

4．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）函数，当时，讨论零点的个数．

解：（1）函数的定义域为，，

①当时，，所以在上单调递减，

②当时，令，得，

若，，若，，

所以在单调递减，在单调递增，

综上所述，当时，在上单调递减，

当时，在单调递减；在单调递增．

（2），

设函数，

，

因为，所以得，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以当时，取最小值，最小值为（1），

若时，（1），所以函数只有1个零点，

若时，（1），所以函数无零点，

若时，（1），，，

故（1），（1），

所以函数在和各有一个零点，所以函数有两个零点，

综上所述，当时，函数只有1个零点；

当时，函数无零点；

当时，函数有两个零点．

5．已知函数．

（1）判断函数的单调性；

（2）设函数，讨论当时，函数的零点个数．

解：（1）的定义域为，

，，

因为在上单调递增，且（1），

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

从而当时，（1），单调递增，

故函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

（2）函数，，

令，得，

令，则函数在的零点个数问题

即直线与函数的图象在上的交点个数，

又，令，，

，的变化如下：

所以在上单调递增，

又因为当时，，，

①当时，直线与函数图象在上有1个交点，

即在上零点个数为1个．

②当时，直线与函数的图象在上没有交点，

即在上零点个数为0个．

综上，当时，在上零点个数为0个．

当时，在上零点个数为1个．

6．已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅲ）设函数，，试判断的零点个数，并证明你的结论．

解：（Ⅰ）由，得．

（1），（1），

曲线在点，（1）处的切线方程为．

（Ⅱ）令，得，解得或．

当变化时，和变化情况如下表：

的单调递减区间是，单调递增区间是，；

在处取得极大值，在处取得极小值．

（Ⅲ）当时，令，可得，．

设，，则．

①当时，，在区间上单调递增．

又，，在区间上有一个零点．

②当时，设．

，在区间上单调递增．

又，，

存在，使得．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

又，，

在区间上无零点．

综上，函数在定义域内只有一个零点．

7．已知函数，．

（1）当，讨论在上的零点个数；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）当时，，则，

令，解得，

当，，在单调递减，

当，，在单调递增，

所以是的极小值点同时也是最小值点，即，

当，即时，在上没有零点；

当，即时，在上只有1个零点；

当，即时，因为，所以在只有一个零点，

又因为（b），

令，则，

令，解得，

当，，在单调递增，

当，，在单调递减，

又，所以对，，所以（b），即，

所以（b），所以在内只有一个零点，

所以在上有两个零点．

综上所述，当时，在上有两个零点；

当时，函数在上没有零点；

当时，函数在上有一个零点．

（2）恒成立，，即，

所以，

构造，

所以，则在上单调递增，

只需，即恒成立，

令，，

当时，，所以在单调递减，

当时，，所以在单调递增，

所以（2），即，

又，所以．