专题3.1 导数的概念及运算-2022年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破学案

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20517" 一、题型全归纳 PAGEREF _Tc20517 1
\l "_Tc17147" 题型一 导数的运算 PAGEREF _Tc17147 1
\l "_Tc24148" 命题角度一 求已知函数的导数 PAGEREF _Tc24148 1
\l "_Tc4330" 命题角度二 求抽象函数的导数值 PAGEREF _Tc4330 3
\l "_Tc2741" 题型二 导数的几何意义 PAGEREF _Tc2741 4
\l "_Tc19037" 命题角度一 求切线方程 PAGEREF _Tc19037 4
\l "_Tc7992" 命题角度二 求切点坐标 PAGEREF _Tc7992 5
\l "_Tc21602" 命题角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值 PAGEREF _Tc21602 6
\l "_Tc3110" 命题角度四 导数与函数的图象 PAGEREF _Tc3110 7
\l "_Tc18371" 二、高效训练突破 PAGEREF _Tc18371 8
一、题型全归纳
题型一 导数的运算
命题角度一 求已知函数的导数
【题型要点】1．谨记一个原则
先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
2．熟记求导函数的五种形式及解法
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
3．求复合函数的导数的一般步骤
(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数．
(2)由外向内逐层求导．
【例1】求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(2)y＝x－sin2xcs2x；
(3)y＝excsx；
(4)y＝eq \f(ln 2x＋1,x).
(5)y＝ln x＋eq \f(1,x)
(6)y＝eq \f(sinx,x)
(7)y＝(x2＋2x－1)e2－x.
【解】(1)因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
所以y′＝18x2＋4x－3.
(2)因为y＝x－sin2xcs2x，所以y＝x－eq \f(1,2)sin4x，
所以y′＝1－eq \f(1,2)cs4x×4＝1－2cs4x.
(3)y′＝(excsx)′＝(ex)′csx＋ex(csx)′＝excsx－exsinx＝ex(csx－sinx)．
(4)y′＝＝eq \f([ln 2x＋1]′x－x′ln 2x＋1,x2)＝eq \f(\f(2x＋1′,2x＋1)·x－ln 2x＋1,x2)＝eq \f(\f(2x,2x＋1)－ln 2x＋1,x2)
＝eq \f(2x－2x＋1ln 2x＋1,2x＋1x2).
(5)y′＝.
(6)y′＝＝eq \f(sinx′x－sinx·x′,x2)＝eq \f(xcsx－sinx,x2).
(7)y′＝(x2＋2x－1)′e2－x＋(x2＋2x－1)(e2－x)′＝(2x＋2)e2－x＋(x2＋2x－1)(－e2－x)＝(3－x2)e2－x.
命题角度二 求抽象函数的导数值
【题型要点】对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
【例2】(2020·华中师范大学第一附中模拟)设函数f(x)的导数为f′(x)，且，则f′(1)＝________.
【答案】0
【解析】因为，所以.
所以.解得＝－1.所以f′(x)＝3x2－2x－1，所以f′(1)＝0.
【例2】已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝ ．
【答案】－eq \f(9,4)
【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋eq \f(1,x)，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋eq \f(1,2)＝3f′(2)＋eq \f(9,2)，所以f′(2)＝－eq \f(9,4).
题型二 导数的几何意义
命题角度一 求切线方程
【题型要点】求切线方程问题的两种类型及方法
(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．.
(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：
①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；
②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＝fx1，,y0－y1＝f′x1x0－x1，))求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程．
【例1】（2020年新课标全国3卷(理)）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A. y=2x+1B. y=2x+C. y=x+1D. y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.故选：D.
【例2】（2020年新课标全国1卷.6（理））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.故选：B.
命题角度二 求切点坐标
【题型要点】求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
【例3】(2020·广州模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为( )
A．(0,0) B．(1，－1)
C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)
【答案】D
【解析】f′(x)＝(x3＋ax2)′＝3x2＋2ax，
由题意得f′(x0)＝－1，x0＋f(x0)＝0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x\\al(2,0)＋2ax0＝－1， ①,x0＋x\\al(3,0)＋ax\\al(2,0)＝0， ②))
由①知x0≠0，故②可化为1＋xeq \\al(2,0)＋ax0＝0，所以ax0＝－1－xeq \\al(2,0)代入①得3xeq \\al(2,0)＋2(－1－xeq \\al(2,0))＝－1，即xeq \\al(2,0)＝1，
解得x0＝±1.
当x0＝1时，a＝－2，f(x0)＝xeq \\al(3,0)＋axeq \\al(2,0)＝－1；
当x0＝－1时，a＝2，f(x0)＝xeq \\al(3,0)＋axeq \\al(2,0)＝1，
所以点P的坐标为(1，－1)或(－1,1)．
【例4】(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
【答案】(e，1)
【解析】设A(x0，ln x0)，又y′＝eq \f(1,x)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－ln x0＝eq \f(1,x0)(－e－x0)，化简得ln x0＝eq \f(e,x0)，解得x0＝e，则点A的坐标是(e，1)．
命题角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值
【题型要点】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：抓住以下三点
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上；
③切点在曲线上．
【例5】(2020·高考全国卷Ⅲ（文）)设函数．若，则a=_________．
【答案】1
【解析】由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：.
【例6】(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)的图象与直线x＋y＋1＝0相切，则实数a的值为________．
【答案】2
【解析】设直线x＋y＋1＝0与函数f(x)＝ln x－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)＝eq \f(1,x)－a，所以由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＋y0＋1＝0,f′（x0）＝\f(1,x0)－a＝－1,f（x0）＝ln x0－ax0＝y0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝1,y0＝－2,a＝2)).
命题角度四 导数与函数的图象
【题型要点】函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．
【例7】函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )

【答案】D
【解析】不妨设导函数y＝f′(x)的零点依次为x1，x2，x3，其中x10)，所以y′＝eq \f(a,x)＋2x≥2eq \r(2a)，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥eq \r(3)，因此eq \r(3)＝2eq \r(2a)，所以a＝eq \f(3,8).故选B.
5．(2020·宁夏中卫月考)函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】由条件知f′(5)＝－1，又在点P处的切线方程为y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f′(5)＝2.
6.(2020·太原模拟)已知函数f(x)＝xln x＋a的图象在x＝e处的切线经过原点，则f(1)＝( )
A．e B.eq \f(1,e)
C．1 D．0
【答案】A
【解析】由题意，得f′(x)＝ln x＋1.所以f′(e)＝ln e＋1＝2，f(e)＝e＋a.所以函数f(x)的图象在x＝e处的切线方程为y＝2(x－e)＋e＋a.因为此切线经过原点，所以2(－e)＋e＋a＝0，解得a＝e.所以f(1)＝a＝e.
7．(2020·青岛模拟)已知f1(x)＝sinx＋csx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)＝( )
A．－sinx－csx B．sinx－csx
C．－sinx＋csx D．sinx＋csx
【答案】C
【解析】∵f1(x)＝sinx＋csx，∴f2(x)＝f1′(x)＝csx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－csx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－csx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋csx，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2022(x)＝f2(x)＝csx－sinx.
8.已知函数f(x)＝eq \f(4,ex＋1)＋x3＋sinx，其导函数为f′(x)，则f(2020)＋f′(2020)＋f(－2020)－f′(－2020)的值为( )
A．4040 B．4
C．2 D．0
【答案】B
【解析】函数f(x)＝eq \f(4,ex＋1)＋x3＋sinx⇒f(x)＋f(－x)＝eq \f(4,ex＋1)＋eq \f(4ex,ex＋1)＝4，因为f′(x)＝－eq \f(4ex,ex＋12)＋3x2＋csx为偶函数，所以f′(x)－f′(－x)＝0，所以f(2020)＋f′(2020)＋f(－2020)－f′(－2020)＝4.
9．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )

【答案】D.
【解析】：由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A、C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故排除B.
10.(2020·广东佛山教学质量检测(一))若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．e
【答案】C
【解析】：.y＝ex的导数为y′＝ex，则曲线y＝ex在x＝0处的切线斜率k＝1，则曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.y＝ln x＋b的导数为y′＝eq \f(1,x)，设切点为(m，n)，则eq \f(1,m)＝1，解得m＝1，则n＝2，即有2＝ln 1＋b，解得b＝2.故选C.
11.(2020·湖北武汉4月调研)设曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲线C上一点M(1，－4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】：.y′＝12x3－6x2－18x，则y′|x＝1＝12×13－6×12－18×1＝－12，
所以曲线y＝3x4－2x3－9x2＋4在点M(1，－4)处的切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即12x＋y－8＝0.联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(12x＋y－8＝0，,y＝3x4－2x3－9x2＋4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝32))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)，,y＝0.))
故切线与曲线C还有其他的公共点(－2，32)，，
所以切线l与曲线C的公共点个数为3.故选C.
12.(2020·安徽淮南二模)设直线l1，l2分别是函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－ln x，0