专题9.3 二项式定理-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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第九篇 计数原理、概率与随机变量及其分布列
专题9.03 二项式定理
【考纲要求】
1.能用计数原理证明二项式定理．
2.会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题
【命题趋势】
对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项及参数值．利用二项式定理展开式的性质求有关系数等问题
【核心素养】
本讲内容主要考查公式的应用，体现数学运算，数学抽象，逻辑推理的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.
2.二项式系数的性质


(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C，而该项的系数是Can－kbk.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.
【真题体验】
1.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【解析】由题意得x3的系数为，故选A．
【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
2.【2019年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．
【答案】
【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项．故答案为：，．
【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．
3．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】展开式中的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
【答案】C
【解析】因为，而展开式中含的项为，展开式中含的项为，故所求展开式中的系数为，选C．
【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可．这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同．
4．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】的展开式中的系数为
A． B． C．40 D．80
【答案】C
【解析】，由展开式的通项公式可得：当时，展开式中的系数为；当时，展开式中的系数为，则的系数为．故选C．
【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
5.【2019年高考江苏卷理数】设．已知．
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．


．
解法一：
因为，所以，
从而．
解法二：

．
因为，所以．
因此．
【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力．
【考法拓展•题型解码】
考法一　　二项展开式中的特定项或系数问题
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．
(2)已知展开式中的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
【例1】 (1)(2019·广东惠州模拟)在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是(　　)
A．10 B．－10
C．－5 D．20
(2)8的展开式中的有理项共有__________项．
【答案】(1)A　(2)3
【解析】 (1)Tr＋1＝C·(x2)5－r·(－x－1)r＝C(－1)r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，所以含x4项的系数为C(－1)2＝10，故选A.
(2)展开式的通项为Tr＋1＝C·()8－rr＝ (r＝0,1,2，…，8)，为使Tr＋1为有理项，r必须是4的倍数，所以r＝0,4,8，故共有3个有理项．
考法二　　多项展开式中的特定项或系数问题
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．
【例2】 (1)4＋8的展开式中的常数项为(　　)
A．32 B．34
C．36 D．38
(2)(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．－80 B．－40
C．40 D．80
(3)(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)
A．15 B．20
C．30 D．35
【答案】 (1)D　(2)C　(3)C
【解析】(1)4的展开式的通项为Tm＋1＝C(x3)4－m·m＝C(－2)mx12－4m，令12－4m＝0，解得m＝3，8的展开式的通项为Tn＋1＝Cx8－nn＝Cx8－2n，令8－2n＝0，解得n＝4，所以所求常数项为C(－2)3＋C＝38.
(2)当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C(2x)2(－y)3；当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C(2x)3(－y)2，所以x3y3的系数为C×23－C×22＝10×(8－4)＝40.
(3)(1＋x)6展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30，故选C.
考法三　　二项式系数的和与性质
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
赋值法的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
【例3】 (1)(2019·新余一中二模)在二项式n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为(　　)
A．6 B．9
C．12 D．18
(2)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝__________.
【答案】(1)B　(2)0
【解析】(1)在二项式n的展开式中，令x＝1得各项系数之和为4n，所以A＝4n，二项展开式的二项式系数和为2n，所以B＝2n，所以4n＋2n＝72，解得n＝3，所以n＝3的展开式的通项为Tr＋1＝C()3－rr＝，令＝0得r＝1，故展开式的常数项为T2＝3C＝9.故选B.
(2)令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1；令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0.
考法四　　二项式定理的应用
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)整除问题的解题思路：
利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．
(2)求近似值的基本方法：
利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
【例4】 (1)设a∈Z，且0≤a