专题2.5 指数与指数函数-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1. 了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
【命题趋势】
1. 指数幂的化简与运算，经常与对数函数相结合考查．
2．指数函数的图象与性质的应用是高考的热点，经常与对数函数一起考查．
3．指数函数的综合应用是高考的热点，经常以指数型函数和复合函数的形式出现，考查它们的单调性、奇偶性、最值等
【核心素养】
本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养
【素养清单•基础知识】
eq \a\vs4\al(1.指数与指数运算)
(1)根式的性质
①(eq \r(n,a))n＝a(a使eq \r(n,a)有意义)．
②当n是奇数时，eq \r(n,an)＝eq \a\vs4\al(a)；
当n是偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，且n>1)．
②a＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(3)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②eq \f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．
(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．
2．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
【素养清单•常用结论】
指数函数图象的特点
(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a)))，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(2)函数y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
(3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当00)．
考法二 指数函数的图象及应用
归纳总结：指数函数图象的画法及应用
(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a)))和一条渐近线y＝0.
(2)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点判断所给图象是否过这些点，若不满足则排除．
(3)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用最基本的指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到其图象，特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(4)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
【例2】 (1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
(2)已知函数a，b满足等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))b，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考法三 指数函数的性质及应用
解题技巧:有关指数函数性质的问题类型及解题思路
(1)比较指数幂大小问题：常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．
(2)简单的指数不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题：首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．
【例3】 (1)(2019·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5＞1.73 B．0.6－1＞0.62
C．0.8－0.1＞1.250.2 D．1.70.3＜0.93.1
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－7，x＜0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)＜1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【例4】 (2019·广州期中)设函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a＞0，且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若f(1)＜0，试判断y＝f(x)的单调性(不需证明)，并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)＜0恒成立的t的取值范围．
【易错警示】
易错点 解题时不注意ax>0(a>0，且a≠1)这一隐含条件
【典例】 要使关于x的不等式9x＋(4＋a)3x＋4>0恒成立，求实数a的取值范围．
【错解】：令3x＝t，不等式变形为t2＋(4＋a)t＋4>0.令f(t)＝t2＋(4＋a)t＋4，由二次函数的相关性质知f(t)的图象开口向上，要使f(t)＞0恒成立，只需要图象与x轴无交点，亦即Δ＝(4＋a)2－160这一条件，造成答案有遗漏．
【正解】：令3x＝t，则t>0，
且t2＋(4＋a)t＋4>0在t∈(0，＋∞)时恒成立．
令f(t)＝t2＋(4＋a)t＋4(t>0)，则分两种情况：
①Δ0)；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8)))－ eq \s\up4(\f(2,3)) ＋(0.002)－ eq \s\up4(\f(1,2)) －10×(eq \r(5)－2)－1＋(eq \r(2)－eq \r(3))0.
11．(2019·巴蜀中学月考)已知f(x)＝eq \f(1,1＋4 eq \s\up4(\f(1,2)) －x).
(1)求f(x)＋f(1－x)的值；
(2)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1 001)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1 001)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,1 001)))＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1 000,1 001)))的值．
12．已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)1
01；
当x