资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩21页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 上海期末真题精选50题（大题基础版）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册） 试卷 1 次下载
- 上海期末真题精选50题（大题提升版）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册） 试卷 1 次下载
- 上海期末真题精选50题（小题基础版）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册） 试卷 1 次下载
- 上海期末真题精选50题（小题提升版）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册） 试卷 1 次下载
- 上海期末真题精选50题（小题压轴版）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册） 试卷 0 次下载
上海期末真题精选50题（大题压轴版）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）
展开
这是一份上海期末真题精选50题（大题压轴版）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册），文件包含上海期末真题精选50题大题压轴版解析版docx、上海期末真题精选50题大题压轴版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共95页， 欢迎下载使用。
上海期末真题精选50题（大题压轴版）
1．（2021·上海高一单元测试）用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.
（1），求的长；
（2）在中，若是钝角，求证：；
（3）给定三个正实数，其中，问满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示.
【答案】（1）（2）见解析（3）见解析
【分析】（1）先根据正弦定理得，再根据余弦定理求的长；
（2）先根据余弦定理得，再根据正弦定理放缩证明结果；
（3）先根据正弦定理讨论三角形解的个数，再根据余弦定理求.
【详解】（1）由正弦定理得
所以（负舍）；
（2）因为，是钝角，
所以
因此；
（3）当时, 不存在，
当时，不存在，
当时，存在一个，此时
当时，存在一个，
此时，
当时，存在两个，
当A为锐角时，
当A为钝角时，
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.
2．（2021·上海高一专题练习）对于定义域为R的函数，部分与的对应关系如表：
（1）求：
（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，求
（3）若，其中，求此函数的解析式，并求．
【答案】（1）2；（2）；（3）见解析
【分析】（1）由内往外计算即可；
（2）由已知，通过计算易得数列是以4为周期的周期数列，先计算的值，利用即可得到答案；
（3）代入表中数据即可得到的解析式，再分n为奇数、偶数讨论求和即可.
【详解】
（1）由表中数据可得.
（2），由于，则，，
，，所以，依次递推可得数列
的周期为4，又，所以.
（3）由题意得，由，得，即
，又，则，从而，而，所以
，故，消，得
所以，解得，又，
所以，所以，
此函数有最小正周期6，且，，
当时，
；
当时，
.
【点睛】本题考查三角函数与数列的综合应用，涉及到求三角函数的解析式、周期数列的和，是一道中档题.
3．（2021·上海高一单元测试）设函数为偶函数.
（1） 求的值；
（2）若的最小值为，求的最大值及此时的取值；
（3）在（2）的条件下，设函数，其中.已知在处取得最小值并且点是其图象的一个对称中心，试求的最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为， 此时的取值为；（3）
【分析】（1）根据 是偶函数，转化为 对一切恒成立求解.
（2）由（1）得到 ， 根据最小值为， 则，得到，然后再求最大值.
（3）由（2）得到，根据在处取最小值，点是其图象的一个对称中心，，由求解.
【详解】（1）因为， 是偶函数，
所以 对一切恒成立，
所以.
（2）由（1）知 ，
因为其最小值为，
所以 ，
所以，
当时，取得最大值， 此时；
（3）由（2）知：，
，
，
因为在处取最小值，且点是其图象的一个对称中心,
所以，
所以，，
所以，则，
即，
又因为，
所以，，
当时， ，
，在处取得最大值，不符合题意；
当时，，
， 在取不到最小值，，不符合题意；
当时， ，
， 在处取得最小值，
，的图象关于点中心对称，
所以的最小值为.
【点睛】本题主要考查三角函数性质的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.
4．（2021·上海高一课时练习）如图，数轴的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标)．
(1)若，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；
(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角．
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)利用与的数量积及为单位向量列出方程组，求解即得；
(2)类比平面向量的长度及夹角公式，计算向量与的夹角的余弦得解.
【详解】(1)时，坐标系为平面直角坐标系，
设点P(x,y)，则有，而，，
又，所以，又因，
解得，故点P的坐标是；
(2)依题意夹角为45º，，，
，
，，
所以＝2，，而，故.
【点睛】坐标系下新定义的创新试题，类比原有平面向量的模、数量积解决，但不能直接类比原有平面向量的直角坐标方法处理.
5．（2021·上海高一课时练习）借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题．试解答下列问题．
（1）在直角坐标系中，点，将点绕坐标原点按逆时针方向旋转到点，如果终边经过点的角记为，那么终边经过点的角记为．试用三角比知识，求点的坐标；
（2）如图，设向量，把向量按逆时针方向旋转角得向量，试用、、表示向量的坐标；
（3）设、为不重合的两定点，将点绕点按逆时针方向旋转角得点，判断是否能够落在直线上，若能，试用、、表示相应的值，若不能，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）能，.
【分析】（1）计算出以及、的值，利用两角和的正弦和余弦公式可求得和，进而可得点的坐标；
（2）记，，，可得出，利用两角和的正、余弦公式可求得向量的坐标；
（3）求得点的坐标，由点在直线上可得出，分与两种情况讨论，结合反三角函数可得出角.
【详解】（1）由于点，则，
根据三角函数的定义可得，，
所以，，
，
由旋转可知，，
所以，点的横坐标为，纵坐标为，
因此，点的坐标为；
（2）记，，，则，
其中，
，
因此，；
（3），
由（2）可知，
，
即点，
由于点在直线上，
可得，
整理得.
①当时，即当时，，此时；
②当时，即当时，可得，此时，.
综上所述，.
【点睛】本题考查三角恒等变换与平面向量的综合问题，考查了两角和的正弦、余弦公式以及反三角函数的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.
6．（2021·上海高一专题练习）在中，已知，试讨论a的值以确定三角形解的个数.
【分析】当a的值变化时，三角形可能无解、有一个解或两个解，可借助图像分析.
【详解】解：由于三角形的一条边长a不确定，故作出的三角形的图像有以下几种情况：
作图：
.
当时，无解【如图（1）】；
当时，有一个解【如图（2）】；
当时，有两个解【如图（3）】；
当时，有一个解【如图（4）、图（5）】.
【点睛】本题考查不确定三角形个数解的问题，关键是结合图像分析，考查学生的理解分析能力，属于易错题.
7．（2016·上海市复兴高级中学高一月考）（1）如图，在平行四边形中，点是对角线的延长线上一点，且.记，试用向量表示.
（2）若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，求的取值范围；
（3）设，已知，当的面积最大时，求的大小.
【答案】（1）；（2）；（3）60°.
【分析】（1）由向量的线性运算可得，即，，最后用表示即可；
（2）设交于点，平分于点，，
设，就可以用表示，从而求得其取值范围；
（3）引入参数，，，已知条件为化，，变形得，三角形面积为，求出的最大值后，可得。
【详解】（1）；
（2）设交于点，平分于点，设，
，，，
∴，
∵，∴，即所求取值范围是；
（3）记，，，则化为，，∴，∴ ，，
，
又当且仅当，即时，等号成立，
∴的最大值为，此时.
【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查向量的数量积及其性质，考查三角形面积、余弦定理、基本不等式求最值．对学生的运算求解能力，推理论证能力要求较高，属于难题．
8．（2017·上海格致中学高一期中）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数，对于定义域内的任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”.
（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；
（2）试证明：假设为定义在上的函数，且，若其“伴随数对”满足，求证：恒成立；
（3）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”.
【答案】（1）；见解析（2）见解析；（3），，
【分析】（1）根据题意利用恒成立，直接解出；（2）把替换成，根据成立，得出结论；（3），利用三角函数化简得到对任意的都成立，所以，根据题意推出，再求出结论．
【详解】解：（1）由及，
可得，即为对成立，
需满足条件，解得，，因，存在，所以．
（2）证明：由，对于定义域内的任意，均有成立，
所以把替换成，成立，即，因为，所以，
所以，由的任意性及其存在，所以恒成立．
（3）由，得，
展开得，
所以，
即对任意的都成立，所以，
即，由于（当且仅当时，等号成立），
所以，又因为，故．
当时，，；
当时，，．
故函数的“伴随数对”为和，．
【点睛】本题考查新定义，讨论和证明存在问题，意在考查抽象和概括能力，推理论证的能力，和函数与方程的思想，属于难题，本题的关键是读懂题意，并且能从新定义入手，利用不同的函数类型推理论证.
9．（2017·上海市复旦中学高一月考）若的三个内角满足,试判断的形状．(提示:如果需要，也可以直接利用19题阅读材料及结论)
【答案】直角三角形
【分析】利用和差化积公式得到，化简得到得到答案.
【详解】
故为直角三角形.
【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生对于三角函数公式的综合应用.
10．（2019·上海市青浦高级中学高一月考）在平面直角坐标系中,先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角再将OP的长度伸长为原来的倍,得到我们把这个过程称为对点P进行一次T,变换得到点例如对点P进行一次变换,得到点
(1)试求对点进行一次变换后得到点的坐标；
(2)已知对点进行一次换后得到点求对点再进行一次变换后得到点的坐标.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知得将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转角再将OA的长度伸长为原来的倍,得到可得的坐标；
（2）计算出，求得，从而得所以，再可求得，根据点的位置得，得，从而求得，，可求得的坐标.
【详解】（1）由已知得变换是将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转角再将OA的长度伸长为原来的倍,得到所以的坐标是；
（2）因为对点进行一次换后得到点
所以，所以，
所以，
设与轴的正方向的夹角为，则 并且
根据，
因为，所以，所以
，，
所以，所以的坐标为.
【点睛】本题考查根据新定义解决实际问题的能力，关键在于理解新定义的含义，并能根据定义解决问题，在本题中求出和是关键，属于难度题.
11．（2021·上海高一课时练习）的内角，，所对边分别为，，.已知.
(1) 求；
(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
【答案】（1）B=60°；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理，已知条件等式化为角的关系，结合诱导公式和二倍角公式，即可求出结果；
（2）根据面积公式和已知条件面积用表示，再用正弦定理,结合不等式性质，即可求出的范围.
【详解】解：（1）由题设及正弦定理得．
又因为中可得，
,所以，
因为中sinA0，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，
故0°
所以30°
因此，△ABC面积的取值范围是．
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式，以及利用不等式性质求取值范围，熟练掌握公式是解题的关键，是一道综合题.
12．（2021·上海高一专题练习）如图是一景区的截面图，是可以行走的斜坡，已知百米，是没有人行路（不能攀登）的斜坡，是斜坡上的一段陡峭的山崖.假设你（看做一点）在斜坡上，身上只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角）.
（1）请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡的长的方案，用字母表示所测量的角，计算出的长，并化简；
（2）设百米，百米，，，求山崖的长.（精确到米）
【答案】（1）米，详见解析 （2）205米
【分析】（1）由题意测得，，在中利用正弦定理求得的值；
（2）解法一，中由余弦定理求得，中求得和的值，在中利用余弦定理求得的值．
解法二，中求得，中利用余弦定理求得，利用三角恒等变换求得，在中利用余弦定理求得的值．
【详解】解：（1）据题意，可测得，，
在中，由正弦定理，有，
即.
解得（米）.
（2）解一：在中，百米，
百米，百米，
由余弦定理，可得，
解得，
∴.
又由已知，在中，，
可解得，从而的.
∵，
在中，由余弦定理得米
所以，的长度约为205米.
解二：（2）在中，求得.
在中，由余弦定理，得，
进而得，再由可求得，
.
在中，由余弦定理，得.
所以，的长度约为205米.
【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了三角函数模型应用问题，是中档题．
13．（2021·上海高一课时练习）如图是一个“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中是过抛物线的两条互相垂直的弦（点在第二象限），且交于点，点为轴上一点，，其中为锐角
（1）设线段的长为，将表示为关于的函数
（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小
【答案】（1）（2）“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时.
【分析】（1）过点作轴于点,,在中利用三角函数的定义可得,,即点的坐标为,代入抛物线的方程,可得关于的函数.
（2）由题意结合图形,可由逆时针旋转得到,即可得到关于的函数,进而可得“蝴蝶形图案”面积关于的函数,换元后利用配方法求其面积的最小值.
【详解】
（1）过点作轴于点,
在中,
即:，
由此可得点的坐标为
点是抛物线上的点,将其代入可得:
,即:
解得:
故:
表示为关于的函数为:
（2）根据（1）得: 表示为关于的函数为:
由题意可知:
可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.
可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.
可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.
, ,
设“蝴蝶形图案”面积为:
令:
为锐角
则 可得:
则,
故时, 即:
化简为: (为锐角)解得:
综上所述:“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时.
【点睛】本题考查了抛物线与直线交点问题,三角函数诱导公式和换元法.能够根据题意求出“蝴蝶形图案”面积为关于的函数是本题的关键.利用换元法时要保证换元前后范围相等.
14．（2019·上海市行知中学高一月考）已知.
（1）求；
（2）若，求；
（3）求.
【答案】（1）；（2）；（3）,
【分析】（1）将和分别求平方后求和,即可求解；
（2）整理方程组可得到,由,可解得,进一步求得代入求解即可；
（3）先利用二倍角公式,可得,再利用和差化积公式和二倍角公式求解即可
【详解】（1）由题,,
,
则
,
则
（2）由（1）可得,当时,即
则,所以,
即,则,所以
所以,
故
因为
,所以
（3）由（1）可得,
则
因为
当时,,
则,
所以,
当时, ,
则,
所以
,
,
综上,,
【点睛】本题考查同角的平方关系,考查和角公式与倍角公式的应用,考查和差化积公式的应用,考查运算能力
15．（2018·上海交大附中高一开学考试）已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”.
（1）判断函数，是否是“函数”；
（2）若是一个“函数”，求出所有满足条件的有序实数对；
（3）若定义域为的函数是“-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.
【答案】（1）不是“-函数”，是“-函数”；（2），；（3）.
【分析】（1）先分别假设和为“函数”，根据“函数”的定义进行验证，由此判断出这两个函数是否为“函数”
（2）根据“函数”的定义，恒成立，利用两角和与差的正切公式进行化简，由此列方程，解方程求得的值，进而确定有序实数对.
（3）首先根据“函数”的定义得到，，由此得到，依次求得函数的值域，依次类推，得到，，进而求得时函数的值域，根据求得时函数的值域，从而求得时函数的值域.
【详解】（1），若为“-函数”，则存在实数对，使得恒成立，即，最多有两个符合，不恒成立，∴不是“-函数”；
，若为“-函数”，存在实数对，使得，即只需满足，∴存在实数对，即是“-函数”；
（2），即，
即恒成立，∴，，
∴，，，，即有序实数对为，；
（3），，∴，当时，的值域为，当，，当，，当，，……，依此类推，，，∴时，，∵，∴时，，综上，当时，函数的值域为.
【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查指数、三角函数的运算，考查抽象函数值域的求法，考查分析与推理的能力，综合性很强，属于难题.
16．（2021·上海高一专题练习）对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”.
（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
（2）求证：集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、.
【答案】（1）；（2）证明见解析，定值；（3），或，
【分析】由“余弦方差”的定义,对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可.
【详解】（1）依题意：；
（2）由“余弦方差”定义得：，
则分子
为定值，与的取值无关.
（3），
分子
.
要使是一个与无关的定值,则,
,
与终边关于轴对称或关于原点对称,
又,
得与终边只能关于轴对称,
,
又，，
则当时,;
当时,.
，或，.
故，或，时,相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值.
【点睛】本题考查了新定义,考查了三角函数的恒等变换,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.
17．（2021·上海高一专题练习）通常用、、分别表示的三个内角、、所对的边长，表示的外接圆半径.
（1）如图，在以为圆心，半径为的圆中，、是圆的弦，其中，，角是锐角，求弦的长；
（2）在中，若是钝角，求证：；
（3）给定三个正实数、、，其中，问、、满足怎样的关系时，以、为边长，为外接圆半径的不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用、、表示.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）见解析
【分析】（1）利用正弦定理得到，再利用和差公式计算，计算得到答案.
（2）利用余弦定理推出,利用正弦定理推出
（3）分类讨论判断三角形的形状与两边的关系,以及与直径的大小的比较,分类讨论即可.
【详解】（1）,
由正弦定理可得:,解得:
,可得:,可得,
（2）证明:由余弦定理得
为钝角,可得,
又由正弦定理得,
（3）(i)根据正弦定理，或时,不存在;
(ii）①当且时,,存在一个,;
②当且都是锐角时,存在且只有一个,;
③当,存在两个,.
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，分类讨论是一个常用的方法，需要熟练掌握.
18．（2021·上海高一）已知.
（1）化简；
（2）是否存在，使得与相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）存在，
【分析】（1）将原式进行通分，利用同角三角函数关系可得解；
（2）先求得，，再令其相等可得解.
【详解】
（且）.
（2）,
.
假设存在，使得与相等，则.
得，此时.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数及二倍角的正弦公式，运算量较大，属于难题.
19．（2021·上海高一专题练习）如图,学校升旗仪式上，主持人站在主席台前沿D处，测得旗杆AB顶部的仰角为俯角最后一排学生C的俯角为最后一排学生C测得旗杆顶部的仰角为旗杆底部与学生在一个水平面上，并且不计学生身高.
(1)设米,试用和表示旗杆的高度AB(米)；
(2)测得米，若国歌长度约为50秒，国旗班升旗手应以多大的速度匀速升旗才能是国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B处?
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）在中，由题意可得,则可求，然后利用正弦定理求得，然后在中利用求得答案（2）根据（1）求出旗杆长，根据时间50秒算出速度即可.
【详解】
（1）由题意可知，，
，
由正弦定理可知,
,
在.
（2）因为米，
所以米，
因为国歌长度约为50秒，所以，
即国旗班升旗手应以米/秒的速度匀速升旗才能是国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B处.
【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，属于难题.
20．（2019·上海高一期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，，且，求（用含、、的形式表示）.
【答案】
【分析】由任意角的三角函数定义求得，再由诱导公式及同角的三角函数基本关系式求得，再由两角差的正弦求.
【详解】由题意，，，
又，所以，
，
则 .
【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数定义，同角三角函数的关系，两角和差的正弦，属于中档题.
21．（2021·上海高一专题练习）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β
（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大
【答案】（1）124m.（2）55m.
【详解】(1)由及AB＋BD＝AD，得，解得H＝＝124.
因此，算出的电视塔的高度H是124m.
(2)由题设知d＝AB，得tanα＝.
由AB＝AD－BD＝，得tanβ＝，
所以tan(α－β)＝，
当且仅当d＝，即d＝＝55时，上式取等号．所以当d＝55时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<，则0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大．故所求的d是55m.
22．（2017·上海市金山中学高一月考） 已知函数，
（1）若函数，试把函数化为的形式,其中；
（2）若对于恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
试题分析:(1)先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式（2）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题:,再化简得,根据三角函数有界性得最小值为,最后解不等式得实数的取值范围.
试题解析：解:（1）
=
（2）因为
=
所以，当时，
恒成立，等价于
所以，，即，解得.
所以，实数的取值范围为.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
23．（2021·上海高一）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
【答案】
【解析】如图，连接,由题意知,，所以.
又，所以是等边三角形.
所以 .
由题意知，，
在中，由余弦定理，得 ，所以.
因此，乙船速度的大小为.
答：乙船每小时航行.
24．（2019·上海市建平中学高一期中）如图，、是两个小区所在地，、到一条公路的垂直距离分别为，，两端之间的距离为.
（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、的张角与对、的张角相等，试确定点的位置.
（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对、所张角最大，试确定点的位置.
【答案】(1)；（2）．
试题分析：（1）设，我们只要利用已知列出关于的方程即可，而这个方程就是在两个三角形中利用正切的定义，，，因此有，解之得；实际上本题可用相似形知识求解，，则，由引开出方程解出；（2）要使得最大，可通过求，因为
，只要设，则都可用表示出来，从而把问题转化为求函数的最值,同（1）可得，这里我们用换元法求最值，令，则有，注意到，可取负数，即为钝角，因此在取负值中的最小值时，取最大值.
（1）设，，.
依题意有，. 3分
由，得，解得，故点应选在距点2处. 6分
（2）设，，.
依题意有，，
10分
令，由，得，，
12分
，，
当，所张的角为钝角，最大角当，即时取得，故点应选在距点处. 14分
考点：(1)角相等的应用与列方程解应用题；（2）角与函数的最大值.
25．（2021·上海高一单元测试）
已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.
（1）判断函数是否是“S-函数”；
（2）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；
（3）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.
【答案】(1)是
(2) 满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=
(3)
【详解】
解：（1）若是“S-函数”，则存在常数，使得 (a+x)(a-x)=b.
即x2=a2-b时，对一切实数恒成立.而x2=a2-b最多有两个解，矛盾，
因此不是“S-函数”.………………………………………………3分
若是“S-函数”，则存在常数a,b使得，
即存在常数对（a, 32a）满足.
因此是“S-函数”………………………………………………………6分
（2）是一个“S-函数”，设有序实数对（a, b）满足:
则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.
当a=时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常数.……………………7分
因此，,
则有.
即恒成立. ……………………………9分
即,
当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.
因此满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=.…12分
(3) 函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，
于是
即,
，.……………………14分
.………16分
因此, …………………………………………17分
综上可知当时函数的值域为.……………18分
26．（2020·上海市七宝中学高一期中）数列满足，且，.规定的通项公式只能用的形式表示.
（1）求的值；
（2）证明3为数列的一个周期，并用正整数表示；
（3）求的通项公式.
【答案】（1）（2）证明见解析；.（3）
【分析】（1）代入计算即可.
（2）分别令n＝1，2，3，即可证明，根据周期公式即可求出.
（3）分别由a1＝1，a2＝2，a3＝3，可得1＝Asin（+φ）+c，2＝﹣Asin（+φ）+c，3＝Asinφ+c，解得即可求出
【详解】
解：（1）当a1＝1，a2＝2，a1a2a3＝a1+a2+a3，解得a3＝3；
（2）当n＝2时，6a4＝2+3+a4，解得a4＝1，
当n＝3时，3a5＝1+3+a5，解得a5＝2，
…，
可得an+3＝an，当a1＝1，a2＝2，a3＝3；
故3为数列{an}的一个周期，
则＝3，k∈N*，则；
（3）由（2）可得an＝Asin（n+φ）+c，
则1＝Asin（+φ）+c，2＝﹣Asin（+φ）+c，3＝Asinφ+c，
即1＝A•cosφ﹣A•sinφ+c，①
2＝﹣A•cosφ﹣A•sinφ+c，②
由①+②，可得3＝﹣Asinφ+2c，
∴c＝2，Asinφ＝1，
①﹣②，可得﹣1＝A•cosφ，
则tanφ＝﹣，
∵|φ|＜，
∴φ＝﹣，
∴A＝﹣，
故．
【点睛】本题考查了数列的递推公式和三角函数的解析式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
27．（2016·上海高一期末）已知函数．
（1）试用周期函数的定义证明函数是周期函数，并指出该函数的一个周期；
（2）若函数在上取最大值、最小值时，所对应的x的值按从小到大依次记为，试求关于的函数关系式；
（3）在满足（2）的条件下，记，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
【分析】（1）利用公式变形后借助于周期函数的定义来证明；
（2）利用正弦函数的最大值在，最小值在，来求解；
（3）利用等比数列的定义及通项公式，即可求证.
【详解】（1）∵
∴
∴为周期函数，为其一个周期
（2）取最大值时，令，则,即；
取最小值时，令，则,即.
∵函数在上取最大值、最小值时，所对应的的值按从小到大依次记为
∴依次为
∴
（3）证明：由（2）知，不是的整数倍.
∴
∵
∴
∴是以为首项，为公比的等比数列
∴
【点睛】本题考查周期函数的性质、正弦函数的性质、等比数列的定义及其通项公式的应用，是一道综合题.
28．（2015·上海曹杨二中高一期末）已知函数为偶函数.
（1）求的取值集合；
（2）若，且在上，函数与的图像有且仅有8个交点，求实数m的取值范围；
（3）设集合，若含有10个元素，求的取值范围.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】(1)由为偶函数，得一定具有的形式，运用辅助角公式化为,得;
(2)直接得到函数解析式，做出图像运用数形结合的思想可得范围;
(3)由的点就是的点，得出满足题意的不等式组,解之可得范围.
【详解】（1）由已知得，因为为偶函数,故，所以；
所以的取值集合为;
（2）当时,，做出图像如下图所示,可得当其与有8个交点时,；
（3）当时,即,所以,所以，为偶函数，有5个元素分别是，故只需要，即.
【点睛】
本题综合考查正弦型函数的性质,由其性质得出函数的解析式,运用数形结合的思想解决交点的个数,或由交点的个数求解参数的范围是常用的方法,属于中档题.
29．（2016·上海市行知中学高一月考）已知函数.
(1)当时,求函数的值域;
(2)当时,求函数的单调递增区间;
(3)当时,的反函数为,求的值.
【答案】(1);(2)和;(3)
【分析】（1）化简得到，根据得到，计算值域得到答案.
（2）计算得到单调区间为，取得到答案.
（3）根据反函数知识得到得到答案.
【详解】（1）
当时，，故
即函数的值域为
（2），
函数的单调增区间为
当时，区间满足；当时，满足；
故单调增区间为：和
（3）的反函数为,等于时的值.
即
【点睛】本题考查了三角函数化简，函数值域，单调区间，反函数，意在考查学生的综合应用能力.
30．（2017·上海复旦附中高一期中）已知函数，满足关系.
（1）设，求的解析式；
（2）当时，存在、，对任意，恒成立，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角余弦公式可得出函数的解析式；
（2）根据，当时，代入并分象限化简函数的解析式，求出函数的最大值和最小值，即可得出的最小值.
【详解】由.
（1）当，可得
.
因此，函数的解析式为；
（2）时，可得
，.
存在、，对任意，恒成立，
当或时，可得；
当时，可得.
那么：，
或者：，
因此，的最小值为.
【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，同时也考查了三角函数的基本性质以及分段函数最值的讨论，考查分类讨论思想的应用，属于难题.
31．（2017·上海市复兴高级中学高一期中）已知集合，.
（1）判断与集合的关系，并说明理由；
（2）中的元素是否都是周期函数，证明结论；
（3）中的元素是否都是奇函数，证明你的结论.
【答案】（1）；详见解析（2）都是周期函数；证明见解析（3）不都是，证明见解析
【分析】（1）根据所给的函数解析式，把函数带入进行验证，得到.
（2）根据的周期为，猜想也是周期为的周期函数.由，得到，得到，得证的周期为.
（3）令，可证得：，所以，但为偶函数，故中的元素不都是奇函数.
【详解】（1）因为
所以.
（2）因为，
所以的周期为，猜想也是周期为的周期函数.
因为，得到：.
所以
即：.
所以.
所以的周期为.
（3）令，可证得：，
所以，但为偶函数，不是奇函数.
故中的元素不都是奇函数.
【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，考查了函数的周期性和奇偶性，解题关键是是对于所给的抽象函数的整理应用，属于难题.
32．（2016·上海市复兴高级中学高一月考）已知函数．
（1） 试说明函数的图象是由函数的图象经过怎样的变换得到的；
（2）若函数，试判断函数的奇偶性，并用反证法证明函数的最小正周期是；
（3）求函数的单调区间和值域.
【答案】（1）见解析；（2）偶函数，周期的证明见解析；（3）值域是，增区间为，减区间为．
【分析】（1）先由二倍角公式和两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后根据三角函数图象变换的规律求解；
（2）求出的表达式，由奇偶性定义判断奇偶性，用反证法证明周期性；
（3）根据（2）中得出的性质，在一个周期内求出函数的值域，即得函数在定义域内值域，求出一个周期内单调区间，根据函数的周期性可得所有单调区间（但要注意区间的连续性）．
【详解】
（1）由题意，
把图象向右平移个单位得的图象，再把所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得的图象，最后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得的图象．
（2），
，∴是偶函数，
，是的一个周期，下面用反证法证明是最小正周期，
假设存在是的最小正周期，即恒成立，，
则，，
，
当时，，则，∴，即这与矛盾，∴假设错误，
∴是的最小正周期．
（3）由（2），当时，，
由得，，
∴，，
此时当时，，单调递增，当时，，单调递减，
∵的最小正周期是，∴时，函数的值域是．
增区间为，减区间为．
【点睛】本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，考查三角函数的图象变换，考查函数的周期性与单调性．三角函数图象变换时要注意先相位变换后周期变换与先周期变换后相位变换时平移的单位不相同.三角函数是周期函数，研究它的性质有时可以在一个周期内研究，如求值域、单调区间、零点等等，然后加上周期的整数倍即可扩充到整个实数集上．但有些性质在一个周期上研究还不能得出正确结论，如对称性（对称轴，对称中心），除在含有一个周期的区间内的对称性外还必须考虑区间的端点处有没有相应的对称性．
33．（2017·上海市大同中学高一月考）已知函数，
（1）若，求；
（2）如果关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围
【答案】（1）或，；（2）
【分析】（1）化简得到，计算解得答案.
（2），画出函数图像，根据函数图像得到答案.
【详解】（1）
或，故或，
（2）设
则
画出函数图像，根据图像知：或或
即
【点睛】本题考查了三角函数求值，函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
34．（2020·上海中学高一期中）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与底面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的管线与平面ABC部分截面如图中阴影所示，路宽AD=24米，设
（1）求灯柱AB的高h（用表示）；
（2）此公司应该如何设置的值才能使制作路灯灯柱AB和灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？
【答案】(1)；(2)时，所用材料的总长度最小，最小值为.
【分析】(1)分别在△ABC和△ACD中，利用正弦定理即可解出答案；
(2)在△ABC中，利用正弦定理求出BC，再利用(1)的结果和三角函数的和差公式即可求得答案.
【详解】(1)由题意可得∠ADC=∠CAD∠ACD =，∠BCA=，
在△ACD中，由正弦定理可得：，
则AC=，
在△ABC中，由正弦定理可得：，
则AB=
.
即得.
(2)由(1)得AC=，AB=，
在△ABC中，由正弦定理可得：，
则，
所以.
由可得，可得当，即时，
即当公司设置的值为时，灯柱AB和灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值为.
【点睛】本题借助实际应用考查了利用正弦定理解三角形，考查了三角函数的和差公式及其应用，属于中档题.
35．（2018·上海曹杨二中高一期中）我们把平面直角坐标系中，函数上的点，若满足：，则称点为函数的“整格点”.
（1）请你选取一个m的值，使函数的图像上有整格点，并写出函数的一个整格点坐标；
（2）若函数与函数的图像有整格点交点，求m的值，并写出两个函数图像的交点总个数；
（3）对于（2）中的m值，则函数时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1），(1,1)，(5,1)，(9,1)等（答案不唯一）；（2），交点个数为5个；（3）.
【分析】（1）取时，即可得到整格点坐标；
（2）作出两个函数图象，利用图象可知整格点交点只有一个点为(10,1)，则，求出m并根据函数图像可知交点个数；
（3）结合（2）的图象，分a>1、0
（1）取时，整格点坐标为(1,1)，(5,1)，(9,1)等（答案不唯一）；
（2）作出两个函数的图象如图，
根据图像分析可知，函数与函数的图像有整格点交点且只有一个点为(10,1)，
则，解得，其中k∈Z，m∈(1,2)，
取k=2，则，根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为5个.
（注意：最后两个点非常接近，几乎粘合在一起）；
（3）由（2）知，，
∴①当a>1时，不等式在上不能成立；
②当0
由上图可知，即，
解得，.
【点睛】本题考查新定义问题，考查数形结合的思想运用，正确理解新定义是解决本题的关键，属难题.
36．（2018·上海高一期末）已知函数，其中数列是公比为的等比数列，数列是公差为的等差数列．
（1）若，，分别写出数列和数列的通项公式；
（2）若是奇函数，且，求；
（3）若函数的图像关于点对称，且当时，函数取得最小值，求的最小值．
【答案】（1），；（2）；（3）1
【分析】(1)根据等差数列、等比数列的通项公式即可求解；
(2)根据奇函数的定义得出，化简得，解方程可得
(3)将化成的形式，依题意有，从而得到，因为当时，函数取得最小值，所以，两式相减即可求解.
【详解】（1）由等差数列、等比数列的通项公式可得
，；
（2）
因为，所以
即，所以
又由，得
（3）
记，
则，其中；
因为的图像关于点对称，所以①
因为当时，函数取得最小值，所以②
②-①得，因为，
当，时，取得最小值为0
【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法、三角函数的化简以及正弦型函数图像的性质，考查较全面，属于难题.
37．（2018·上海市七宝中学高一期中）已知函数，其中常数.
（1）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数，求函数的解析式；
（2）若在上单调递增，求的取值范围；
（3）在（1）的条件下的函数的图像，区间且满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据正弦函数平移“左加右减、上加下减”的法则即可求得；
（2）利用范围可求得的范围，根据单调性可得不等式组，解不等式组求得；由可求得，两个范围取交集得到最终结果；
（3）令可求得零点，进而得到相邻零点之间的距离；若最小，知均为零点，此时在恰有个零点，从而得到在至少有一个零点；根据相邻零点之间距离即可得到满足的条件，进而求得所求的最小值.
【详解】
（1）
，即
（2） 当时，
，，解得：，
又
即的取值范围为
（3）令得：
或，
解得：或，
相邻两个零点之间的距离为或
若最小，则均为的零点，此时在区间，，…，分别恰有个零点
在区间恰有个零点 至少有一个零点
，即
检验可知，在恰有个零点，满足题意
的最小值为
【点睛】本题考查三角函数值知识的综合应用，涉及到三角函数的平移变换、根据三角函数在区间内的单调性求解参数范围、根据零点个数求解参数范围的问题；难点在于求解最小值时，能够通过确定临界状态，即至少有一个零点的区间，进而根据相邻零点之间的距离得到所求参数所满足的关系式，进而得到结果，属于较难题.
38．（2019·上海市向明中学高一期中）如图，点A，B单位圆O上的两点，点C是圆O与轴正半轴的交点，将锐角的终边OA按逆时针方向旋转到OB.
（1）若点A的坐标为，求的值；
（2）若的面积为，求锐角的大小；
（3）用锐角表示，并求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由三角函数的定义，得的值，再对原式化简计算即可；
（2）考虑将进行分割，再用三角形面积公式求解；
（3）先用余弦定理写出关于的表达式，再求的取值范围.
【详解】（1）因为锐角的终边OA，点A的坐标为，
所以，
所以，
所以.
（2）
所以，所以，
因为是锐角，所以，
所以.
（3）在中，，
所以，
因为是锐角，所以，所以，
所以，
所以，
所以.
【点睛】本题考查三角函数的定义、三角形的面积公式、求三角函数值域，将三角函数的性质与解三角形结合，综合性较强，同时考查学生的推理和计算能力，属于难题.
39．（2018·上海曹杨二中高一期中）已知函数
(1)将化为的形式,并写出其最小正周期和图象对称轴方程,并判断函数的奇偶性(不需证明)；
(2)若三角形三边满足所对为B，求B的范围；
(3)在(2)的条件下，求的取值范围.
【答案】（1），对称轴方程为，非奇非偶；（2）；（3） .
【分析】（1）根据三角恒等变换化简，由正弦型函数的图象与性质求解（2）利用余弦定理及均值不等式求解（3）由（1）（2）及正弦函数的性质可求出.
【详解】（1）
,
所以，
由，
知对称轴方程为，
函数是非奇非偶函数.
（2）由余弦定理得，当且仅当时取等号，
因为，
所以.
（3）由，
所以，
因为，
所以
故，
所以的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦型函数的图象与性质，余弦定理，均值不等式，由角的范围求函数值域，属于中档题.
40．（2018·上海曹杨二中高一期中）已知函数
(1)当时,求函数的单调递减区间；
(2)对于为任意实数，关于的方程恰好有两个不等实根，求实数的值；
(3)在(2)的条件下,若不等式在内恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）1；（3）.
【分析】（1）当时,写出函数解析式，由正弦型函数性质可求解（2）由题意可知在为任意实数，有两不等实根，知其周期为，即可求解（3）求出的值域，原不等式可转化为恒成立，的值域是的子集即可.
【详解】（1）当时，
令，，
解得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）因为对于为任意实数，关于的方程恰好有两个不等实根，
所以在为任意实数，有两不等实根，
所以,即.
（3）因为，
所以，
故，
又因为恒成立，
所以恒成立，
所以，解得.
【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调性，周期，值域，绝对值不等式恒成立，属于难题.
41．（2019·上海复旦附中高一期末）设函数，其中，.
（1）设，若函数的图象的一条对称轴为直线，求的值；
（2）若将的图象向左平移个单位，或者向右平移个单位得到的图象都过坐标原点，求所有满足条件的和的值；
（3）设，，已知函数在区间上的所有零点依次为，且，，求的值.
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）根据对称轴对应三角函数最值以及计算的值；（2）根据条件列出等式求解和的值；（3）根据图象利用对称性分析待求式子的特点，然后求值.
【详解】
（1），因为是一条对称轴，对应最值；又因为，所以，所以，则；（2）由条件知： ，可得，则，又因为，所以，则，
故有：，当为奇数时，令，
所以 ，当为偶数时，令，所以
，当时，
，又因为，所以；（3）分别作出（部分图像）与图象如下：
因为，故共有个；记对称轴为，据图有：，，，，，
则，令，
则，又因为，所以，由于与仅在前半个周期内有交点，所以，
则.
【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合运用，难度较难.对于三角函数零点个数问题，可将其转化为函数图象的交点个数问题，通过数形结合去解决问题会更方便.
42．（2019·上海市大同中学高一期中）已知等差数列的公差，数列满足，集合.
（1）若，，求集合；
（2）若，求使得集合恰有两个元素；
（3）若集合恰有三个元素，，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合.
【答案】（1）；（2）或；（3）或4，时，，；时，，
【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出，进而求出，再根据周期性求解；（2）由集合的元素个数，分析数列的周期，进而可求得答案；（3）分别令，2，3，4，5进行验证，判断的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合
【详解】（1）等差数列的公差，，数列满足，
集合．
当，
所以集合，0，．
（2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：
根据三角函数线，
①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，
②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，
综上，或者．
（3）①当时，，集合，，，符合题意．
与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时.
②当时，，，，或者，
等差数列的公差，，故，，又，2
当时满足条件，此时，1，．
与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时
【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．
43．（2019·上海中学高一期中）已知函数其图像的一个对称中心是将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像．
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意当时，都有求实数的最大值；
(3)若对任意实数在上与直线的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围．
【答案】（1） ； （2）； （3）.
【分析】（1）由图像的一个对称中心是列方程即可求得，即可求得，利用平移规律得，问题得解．
（2）由题可得在上单调递增，求得的增区间为，利用即可求得，问题得解．
（3）的最小正周期为，由题可得：的区间长度满足，解不等式即可．
【详解】（1）由题意，得，
解得，
又，∴，
∴，
从而；
（2）对任意，且，
，
即在上单调递增，
，
易得其单调增区间为，由于，
∴当时，，从而，∴实数的最大值为；
（3），其最小正周期为，而区间的长度为，
要满足题意，则，∴，解得.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象特点及函数图象平移规律，还考查了函数单调性概念及求三角函数的增区间知识，考查复合函数的单调性规律，属于难题．
44．（2017·上海高一期末）若函数满足且，则称函数为“函数”．
（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；
（2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；
（3）在(2)的条件下，当时，关于的方程为常数有解，记该方程所有解的和为，求．
【答案】（1）不是“M函数”；（2），；（3）.
【分析】由不满足，得不是“M函数”，
可得函数的周期，，
当时，
当时，
在上的单调递增区间：，
由可得函数在上的图象，根据图象可得：
当或1时，为常数有2个解，其和为
当时，为常数有3个解，其和为．
当时，为常数有4个解，其和为
即可得当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，
【详解】
不是“M函数”．
，
，
不是“M函数”．
函数满足，函数的周期
，，
当时，
当时，
，
在上的单调递增区间：，；
由可得函数在上的图象为：
当或1时，为常数有2个解，其和为.
当时，为常数有3个解，其和为．
当时，为常数有4个解，其和为
当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，
则．
【点睛】本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题．
45．（2017·上海高一期中）已知函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.
（1）求函数与的解析式；
（2）求实数与正整数，使得在内恰有2017个零点.
【答案】（1），； （2），.
【详解】（1），，所以
46．（2015·上海高一期中）某种波的传播是由曲线来实现的，我们把函数解析式称为“波”，把振幅都是A 的波称为“ A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．
（1）已知“1 类波”中的两个波与叠加后仍是“1类波”，求的值；
（2）在“类波“中有一个波是，从类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相都不同），使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后是，并说明理由．
【答案】（1）（2）
试题分析：（1）将两函数式相加化简找到最大值为1，建立关于的关系式，进而求得角的大小；（2）中首先设出所找的波，采用待定系数法，将三个不同的波叠加化简后与对比，找到满足的条件，求出对应的值，从而确定所求的波
试题解析：（1）
振幅是
则，即所以
（2）设
则
=恒成立
则，消去可得
若取可取（或等）
此时是平波
考点：1．三角函数式的化简；2．三角函数求最值
47．（2019·上海市实验学校高一期末）已知对任意，恒成立（其中），求的最大值.
【答案】的最大值为.
试题分析：利用二倍角公式，利用换元法，将原不等式转化为二次不等式在区间上恒成立，利用二次函数的零点分布进行讨论，从而得出的最大值，但是在对时的情况下，主要对二次函数的对称轴是否在区间进行分类讨论，再将问题转化为的条件下，求的最大值，
试题解析：由题意知，
令，，则当，恒成立，开口向上，
①当时，，不满足，恒成立，
②当时，则必有（1）
当对称轴时，即，也即时，有，
则，，则，当，时，.
当对称轴时，即，也即时，
则必有，即，又由（1）知，
则由于，故只需成立即可，
问题转化为的条件下，求的最大值，然后利用代数式的结构特点或从题干中的式子出发，分别利用三角换元法、导数法以及柯西不等式法来求的最大值.
法一：（三角换元）把条件配方得：，
，所以，
；
法二：（导数）
令则即求函数的导数,椭圆的上半部分
；
法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：
，当且仅当,即及时等号成立.即当时，最大值为2.
综上可知.
考点：1.二倍角；2.换元法；3.二次不等式的恒成立问题；4.导数；5.柯西不等式
48．（2017·上海市南洋模范中学高一期末）已知向量，，其中为坐标原点.
（1）若，求向量与的夹角；
（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）或.
【分析】（1）按向量数量积的定义先求夹角余弦，再求得夹角；
（2）不等式化为恒成立，令取1和－1代入解不等式组即可得．
【详解】
（1）由题意，，
记向量与的夹角为，又，
则，
当时，，，当时，，．
（2）
，
由得，
∵，∴，
∴，解得或．
【点睛】本题考查向量模与夹角，考查不等式恒成立问题，不等式中把作为一个整体，它是关于的一次不等式，因此要使它恒成立，只要取1和－1时均成立即可．
49．（2020·上海中学期中）如图，，定义平面坐标系为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：、分别为与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则规定点的斜坐标为.
（1）求以为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程；
（2）已知点的斜坐标为，点的斜坐标为，求直线在该仿射坐标系中的方程.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先设出直角坐标下沿轴，轴的方向向量，再根据仿射坐标系的定义，写出,转化为直角坐标，并利用坐标变换以及圆在直角坐标下的方程即可求出；
（2）利用向量共线即可求出.
【详解】解：（1）设在直角坐标系下，沿轴，轴的方向向量分别为，，
又在仿射坐标系中，，
，，
又，
即在直角坐标系下的坐标为，
又圆心坐标为，半径为，
，
即，
即，
在仿射坐标系中圆的方程为；
（2），，
，，
，
设为直线上任意一点，
则，
又，
故，使，
即，
即 ，
消去得：，
故直线在该仿射坐标系中的方程为：.
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
50．（2020·上海位育中学月考）已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，.
（1）求；
（2）求证：.
（3）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）延长交于D，则D为BC中点，可得，，即可求出；
（2）设，可得，，可得，即可建立关系求得；
（3）可得，再根结合的范围求出.
【详解】（1）延长交于D，则D为BC中点，
,
G是重心，，
；
（2）设,
，，
，，
三点共线，
则存在，使得，即，
即，
，整理得，
即，即，即；
（3）由（2），，
，
，，可知，
，
，，
则当时，取得最小值，当时，取得最大值，
，则的取值范围为.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查基本定理和共线定理的应用，考查面积公式的应用，属于较难题.
上海期末真题精选50题（大题压轴版）
1．（2021·上海高一单元测试）用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.
（1），求的长；
（2）在中，若是钝角，求证：；
（3）给定三个正实数，其中，问满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示.
【答案】（1）（2）见解析（3）见解析
【分析】（1）先根据正弦定理得，再根据余弦定理求的长；
（2）先根据余弦定理得，再根据正弦定理放缩证明结果；
（3）先根据正弦定理讨论三角形解的个数，再根据余弦定理求.
【详解】（1）由正弦定理得
所以（负舍）；
（2）因为，是钝角，
所以
因此；
（3）当时, 不存在，
当时，不存在，
当时，存在一个，此时
当时，存在一个，
此时，
当时，存在两个，
当A为锐角时，
当A为钝角时，
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.
2．（2021·上海高一专题练习）对于定义域为R的函数，部分与的对应关系如表：
（1）求：
（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，求
（3）若，其中，求此函数的解析式，并求．
【答案】（1）2；（2）；（3）见解析
【分析】（1）由内往外计算即可；
（2）由已知，通过计算易得数列是以4为周期的周期数列，先计算的值，利用即可得到答案；
（3）代入表中数据即可得到的解析式，再分n为奇数、偶数讨论求和即可.
【详解】
（1）由表中数据可得.
（2），由于，则，，
，，所以，依次递推可得数列
的周期为4，又，所以.
（3）由题意得，由，得，即
，又，则，从而，而，所以
，故，消，得
所以，解得，又，
所以，所以，
此函数有最小正周期6，且，，
当时，
；
当时，
.
【点睛】本题考查三角函数与数列的综合应用，涉及到求三角函数的解析式、周期数列的和，是一道中档题.
3．（2021·上海高一单元测试）设函数为偶函数.
（1） 求的值；
（2）若的最小值为，求的最大值及此时的取值；
（3）在（2）的条件下，设函数，其中.已知在处取得最小值并且点是其图象的一个对称中心，试求的最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为， 此时的取值为；（3）
【分析】（1）根据 是偶函数，转化为 对一切恒成立求解.
（2）由（1）得到 ， 根据最小值为， 则，得到，然后再求最大值.
（3）由（2）得到，根据在处取最小值，点是其图象的一个对称中心，，由求解.
【详解】（1）因为， 是偶函数，
所以 对一切恒成立，
所以.
（2）由（1）知 ，
因为其最小值为，
所以 ，
所以，
当时，取得最大值， 此时；
（3）由（2）知：，
，
，
因为在处取最小值，且点是其图象的一个对称中心,
所以，
所以，，
所以，则，
即，
又因为，
所以，，
当时， ，
，在处取得最大值，不符合题意；
当时，，
， 在取不到最小值，，不符合题意；
当时， ，
， 在处取得最小值，
，的图象关于点中心对称，
所以的最小值为.
【点睛】本题主要考查三角函数性质的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.
4．（2021·上海高一课时练习）如图，数轴的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标)．
(1)若，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；
(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角．
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)利用与的数量积及为单位向量列出方程组，求解即得；
(2)类比平面向量的长度及夹角公式，计算向量与的夹角的余弦得解.
【详解】(1)时，坐标系为平面直角坐标系，
设点P(x,y)，则有，而，，
又，所以，又因，
解得，故点P的坐标是；
(2)依题意夹角为45º，，，
，
，，
所以＝2，，而，故.
【点睛】坐标系下新定义的创新试题，类比原有平面向量的模、数量积解决，但不能直接类比原有平面向量的直角坐标方法处理.
5．（2021·上海高一课时练习）借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题．试解答下列问题．
（1）在直角坐标系中，点，将点绕坐标原点按逆时针方向旋转到点，如果终边经过点的角记为，那么终边经过点的角记为．试用三角比知识，求点的坐标；
（2）如图，设向量，把向量按逆时针方向旋转角得向量，试用、、表示向量的坐标；
（3）设、为不重合的两定点，将点绕点按逆时针方向旋转角得点，判断是否能够落在直线上，若能，试用、、表示相应的值，若不能，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）能，.
【分析】（1）计算出以及、的值，利用两角和的正弦和余弦公式可求得和，进而可得点的坐标；
（2）记，，，可得出，利用两角和的正、余弦公式可求得向量的坐标；
（3）求得点的坐标，由点在直线上可得出，分与两种情况讨论，结合反三角函数可得出角.
【详解】（1）由于点，则，
根据三角函数的定义可得，，
所以，，
，
由旋转可知，，
所以，点的横坐标为，纵坐标为，
因此，点的坐标为；
（2）记，，，则，
其中，
，
因此，；
（3），
由（2）可知，
，
即点，
由于点在直线上，
可得，
整理得.
①当时，即当时，，此时；
②当时，即当时，可得，此时，.
综上所述，.
【点睛】本题考查三角恒等变换与平面向量的综合问题，考查了两角和的正弦、余弦公式以及反三角函数的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.
6．（2021·上海高一专题练习）在中，已知，试讨论a的值以确定三角形解的个数.
【分析】当a的值变化时，三角形可能无解、有一个解或两个解，可借助图像分析.
【详解】解：由于三角形的一条边长a不确定，故作出的三角形的图像有以下几种情况：
作图：
.
当时，无解【如图（1）】；
当时，有一个解【如图（2）】；
当时，有两个解【如图（3）】；
当时，有一个解【如图（4）、图（5）】.
【点睛】本题考查不确定三角形个数解的问题，关键是结合图像分析，考查学生的理解分析能力，属于易错题.
7．（2016·上海市复兴高级中学高一月考）（1）如图，在平行四边形中，点是对角线的延长线上一点，且.记，试用向量表示.
（2）若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，求的取值范围；
（3）设，已知，当的面积最大时，求的大小.
【答案】（1）；（2）；（3）60°.
【分析】（1）由向量的线性运算可得，即，，最后用表示即可；
（2）设交于点，平分于点，，
设，就可以用表示，从而求得其取值范围；
（3）引入参数，，，已知条件为化，，变形得，三角形面积为，求出的最大值后，可得。
【详解】（1）；
（2）设交于点，平分于点，设，
，，，
∴，
∵，∴，即所求取值范围是；
（3）记，，，则化为，，∴，∴ ，，
，
又当且仅当，即时，等号成立，
∴的最大值为，此时.
【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查向量的数量积及其性质，考查三角形面积、余弦定理、基本不等式求最值．对学生的运算求解能力，推理论证能力要求较高，属于难题．
8．（2017·上海格致中学高一期中）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数，对于定义域内的任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”.
（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；
（2）试证明：假设为定义在上的函数，且，若其“伴随数对”满足，求证：恒成立；
（3）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”.
【答案】（1）；见解析（2）见解析；（3），，
【分析】（1）根据题意利用恒成立，直接解出；（2）把替换成，根据成立，得出结论；（3），利用三角函数化简得到对任意的都成立，所以，根据题意推出，再求出结论．
【详解】解：（1）由及，
可得，即为对成立，
需满足条件，解得，，因，存在，所以．
（2）证明：由，对于定义域内的任意，均有成立，
所以把替换成，成立，即，因为，所以，
所以，由的任意性及其存在，所以恒成立．
（3）由，得，
展开得，
所以，
即对任意的都成立，所以，
即，由于（当且仅当时，等号成立），
所以，又因为，故．
当时，，；
当时，，．
故函数的“伴随数对”为和，．
【点睛】本题考查新定义，讨论和证明存在问题，意在考查抽象和概括能力，推理论证的能力，和函数与方程的思想，属于难题，本题的关键是读懂题意，并且能从新定义入手，利用不同的函数类型推理论证.
9．（2017·上海市复旦中学高一月考）若的三个内角满足,试判断的形状．(提示:如果需要，也可以直接利用19题阅读材料及结论)
【答案】直角三角形
【分析】利用和差化积公式得到，化简得到得到答案.
【详解】
故为直角三角形.
【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生对于三角函数公式的综合应用.
10．（2019·上海市青浦高级中学高一月考）在平面直角坐标系中,先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角再将OP的长度伸长为原来的倍,得到我们把这个过程称为对点P进行一次T,变换得到点例如对点P进行一次变换,得到点
(1)试求对点进行一次变换后得到点的坐标；
(2)已知对点进行一次换后得到点求对点再进行一次变换后得到点的坐标.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知得将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转角再将OA的长度伸长为原来的倍,得到可得的坐标；
（2）计算出，求得，从而得所以，再可求得，根据点的位置得，得，从而求得，，可求得的坐标.
【详解】（1）由已知得变换是将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转角再将OA的长度伸长为原来的倍,得到所以的坐标是；
（2）因为对点进行一次换后得到点
所以，所以，
所以，
设与轴的正方向的夹角为，则 并且
根据，
因为，所以，所以
，，
所以，所以的坐标为.
【点睛】本题考查根据新定义解决实际问题的能力，关键在于理解新定义的含义，并能根据定义解决问题，在本题中求出和是关键，属于难度题.
11．（2021·上海高一课时练习）的内角，，所对边分别为，，.已知.
(1) 求；
(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
【答案】（1）B=60°；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理，已知条件等式化为角的关系，结合诱导公式和二倍角公式，即可求出结果；
（2）根据面积公式和已知条件面积用表示，再用正弦定理,结合不等式性质，即可求出的范围.
【详解】解：（1）由题设及正弦定理得．
又因为中可得，
,所以，
因为中sinA0，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，
故0°
所以30°
因此，△ABC面积的取值范围是．
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式，以及利用不等式性质求取值范围，熟练掌握公式是解题的关键，是一道综合题.
12．（2021·上海高一专题练习）如图是一景区的截面图，是可以行走的斜坡，已知百米，是没有人行路（不能攀登）的斜坡，是斜坡上的一段陡峭的山崖.假设你（看做一点）在斜坡上，身上只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角）.
（1）请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡的长的方案，用字母表示所测量的角，计算出的长，并化简；
（2）设百米，百米，，，求山崖的长.（精确到米）
【答案】（1）米，详见解析 （2）205米
【分析】（1）由题意测得，，在中利用正弦定理求得的值；
（2）解法一，中由余弦定理求得，中求得和的值，在中利用余弦定理求得的值．
解法二，中求得，中利用余弦定理求得，利用三角恒等变换求得，在中利用余弦定理求得的值．
【详解】解：（1）据题意，可测得，，
在中，由正弦定理，有，
即.
解得（米）.
（2）解一：在中，百米，
百米，百米，
由余弦定理，可得，
解得，
∴.
又由已知，在中，，
可解得，从而的.
∵，
在中，由余弦定理得米
所以，的长度约为205米.
解二：（2）在中，求得.
在中，由余弦定理，得，
进而得，再由可求得，
.
在中，由余弦定理，得.
所以，的长度约为205米.
【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了三角函数模型应用问题，是中档题．
13．（2021·上海高一课时练习）如图是一个“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中是过抛物线的两条互相垂直的弦（点在第二象限），且交于点，点为轴上一点，，其中为锐角
（1）设线段的长为，将表示为关于的函数
（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小
【答案】（1）（2）“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时.
【分析】（1）过点作轴于点,,在中利用三角函数的定义可得,,即点的坐标为,代入抛物线的方程,可得关于的函数.
（2）由题意结合图形,可由逆时针旋转得到,即可得到关于的函数,进而可得“蝴蝶形图案”面积关于的函数,换元后利用配方法求其面积的最小值.
【详解】
（1）过点作轴于点,
在中,
即:，
由此可得点的坐标为
点是抛物线上的点,将其代入可得:
,即:
解得:
故:
表示为关于的函数为:
（2）根据（1）得: 表示为关于的函数为:
由题意可知:
可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.
可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.
可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.
, ,
设“蝴蝶形图案”面积为:
令:
为锐角
则 可得:
则,
故时, 即:
化简为: (为锐角)解得:
综上所述:“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时.
【点睛】本题考查了抛物线与直线交点问题,三角函数诱导公式和换元法.能够根据题意求出“蝴蝶形图案”面积为关于的函数是本题的关键.利用换元法时要保证换元前后范围相等.
14．（2019·上海市行知中学高一月考）已知.
（1）求；
（2）若，求；
（3）求.
【答案】（1）；（2）；（3）,
【分析】（1）将和分别求平方后求和,即可求解；
（2）整理方程组可得到,由,可解得,进一步求得代入求解即可；
（3）先利用二倍角公式,可得,再利用和差化积公式和二倍角公式求解即可
【详解】（1）由题,,
,
则
,
则
（2）由（1）可得,当时,即
则,所以,
即,则,所以
所以,
故
因为
,所以
（3）由（1）可得,
则
因为
当时,,
则,
所以,
当时, ,
则,
所以
,
,
综上,,
【点睛】本题考查同角的平方关系,考查和角公式与倍角公式的应用,考查和差化积公式的应用,考查运算能力
15．（2018·上海交大附中高一开学考试）已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”.
（1）判断函数，是否是“函数”；
（2）若是一个“函数”，求出所有满足条件的有序实数对；
（3）若定义域为的函数是“-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.
【答案】（1）不是“-函数”，是“-函数”；（2），；（3）.
【分析】（1）先分别假设和为“函数”，根据“函数”的定义进行验证，由此判断出这两个函数是否为“函数”
（2）根据“函数”的定义，恒成立，利用两角和与差的正切公式进行化简，由此列方程，解方程求得的值，进而确定有序实数对.
（3）首先根据“函数”的定义得到，，由此得到，依次求得函数的值域，依次类推，得到，，进而求得时函数的值域，根据求得时函数的值域，从而求得时函数的值域.
【详解】（1），若为“-函数”，则存在实数对，使得恒成立，即，最多有两个符合，不恒成立，∴不是“-函数”；
，若为“-函数”，存在实数对，使得，即只需满足，∴存在实数对，即是“-函数”；
（2），即，
即恒成立，∴，，
∴，，，，即有序实数对为，；
（3），，∴，当时，的值域为，当，，当，，当，，……，依此类推，，，∴时，，∵，∴时，，综上，当时，函数的值域为.
【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查指数、三角函数的运算，考查抽象函数值域的求法，考查分析与推理的能力，综合性很强，属于难题.
16．（2021·上海高一专题练习）对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”.
（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
（2）求证：集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、.
【答案】（1）；（2）证明见解析，定值；（3），或，
【分析】由“余弦方差”的定义,对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可.
【详解】（1）依题意：；
（2）由“余弦方差”定义得：，
则分子
为定值，与的取值无关.
（3），
分子
.
要使是一个与无关的定值,则,
,
与终边关于轴对称或关于原点对称,
又,
得与终边只能关于轴对称,
,
又，，
则当时,;
当时,.
，或，.
故，或，时,相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值.
【点睛】本题考查了新定义,考查了三角函数的恒等变换,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.
17．（2021·上海高一专题练习）通常用、、分别表示的三个内角、、所对的边长，表示的外接圆半径.
（1）如图，在以为圆心，半径为的圆中，、是圆的弦，其中，，角是锐角，求弦的长；
（2）在中，若是钝角，求证：；
（3）给定三个正实数、、，其中，问、、满足怎样的关系时，以、为边长，为外接圆半径的不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用、、表示.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）见解析
【分析】（1）利用正弦定理得到，再利用和差公式计算，计算得到答案.
（2）利用余弦定理推出,利用正弦定理推出
（3）分类讨论判断三角形的形状与两边的关系,以及与直径的大小的比较,分类讨论即可.
【详解】（1）,
由正弦定理可得:,解得:
,可得:,可得,
（2）证明:由余弦定理得
为钝角,可得,
又由正弦定理得,
（3）(i)根据正弦定理，或时,不存在;
(ii）①当且时,,存在一个,;
②当且都是锐角时,存在且只有一个,;
③当,存在两个,.
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，分类讨论是一个常用的方法，需要熟练掌握.
18．（2021·上海高一）已知.
（1）化简；
（2）是否存在，使得与相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）存在，
【分析】（1）将原式进行通分，利用同角三角函数关系可得解；
（2）先求得，，再令其相等可得解.
【详解】
（且）.
（2）,
.
假设存在，使得与相等，则.
得，此时.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数及二倍角的正弦公式，运算量较大，属于难题.
19．（2021·上海高一专题练习）如图,学校升旗仪式上，主持人站在主席台前沿D处，测得旗杆AB顶部的仰角为俯角最后一排学生C的俯角为最后一排学生C测得旗杆顶部的仰角为旗杆底部与学生在一个水平面上，并且不计学生身高.
(1)设米,试用和表示旗杆的高度AB(米)；
(2)测得米，若国歌长度约为50秒，国旗班升旗手应以多大的速度匀速升旗才能是国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B处?
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）在中，由题意可得,则可求，然后利用正弦定理求得，然后在中利用求得答案（2）根据（1）求出旗杆长，根据时间50秒算出速度即可.
【详解】
（1）由题意可知，，
，
由正弦定理可知,
,
在.
（2）因为米，
所以米，
因为国歌长度约为50秒，所以，
即国旗班升旗手应以米/秒的速度匀速升旗才能是国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B处.
【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，属于难题.
20．（2019·上海高一期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，，且，求（用含、、的形式表示）.
【答案】
【分析】由任意角的三角函数定义求得，再由诱导公式及同角的三角函数基本关系式求得，再由两角差的正弦求.
【详解】由题意，，，
又，所以，
，
则 .
【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数定义，同角三角函数的关系，两角和差的正弦，属于中档题.
21．（2021·上海高一专题练习）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β
（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大
【答案】（1）124m.（2）55m.
【详解】(1)由及AB＋BD＝AD，得，解得H＝＝124.
因此，算出的电视塔的高度H是124m.
(2)由题设知d＝AB，得tanα＝.
由AB＝AD－BD＝，得tanβ＝，
所以tan(α－β)＝，
当且仅当d＝，即d＝＝55时，上式取等号．所以当d＝55时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<，则0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大．故所求的d是55m.
22．（2017·上海市金山中学高一月考） 已知函数，
（1）若函数，试把函数化为的形式,其中；
（2）若对于恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
试题分析:(1)先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式（2）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题:,再化简得,根据三角函数有界性得最小值为,最后解不等式得实数的取值范围.
试题解析：解:（1）
=
（2）因为
=
所以，当时，
恒成立，等价于
所以，，即，解得.
所以，实数的取值范围为.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
23．（2021·上海高一）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
【答案】
【解析】如图，连接,由题意知,，所以.
又，所以是等边三角形.
所以 .
由题意知，，
在中，由余弦定理，得 ，所以.
因此，乙船速度的大小为.
答：乙船每小时航行.
24．（2019·上海市建平中学高一期中）如图，、是两个小区所在地，、到一条公路的垂直距离分别为，，两端之间的距离为.
（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、的张角与对、的张角相等，试确定点的位置.
（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对、所张角最大，试确定点的位置.
【答案】(1)；（2）．
试题分析：（1）设，我们只要利用已知列出关于的方程即可，而这个方程就是在两个三角形中利用正切的定义，，，因此有，解之得；实际上本题可用相似形知识求解，，则，由引开出方程解出；（2）要使得最大，可通过求，因为
，只要设，则都可用表示出来，从而把问题转化为求函数的最值,同（1）可得，这里我们用换元法求最值，令，则有，注意到，可取负数，即为钝角，因此在取负值中的最小值时，取最大值.
（1）设，，.
依题意有，. 3分
由，得，解得，故点应选在距点2处. 6分
（2）设，，.
依题意有，，
10分
令，由，得，，
12分
，，
当，所张的角为钝角，最大角当，即时取得，故点应选在距点处. 14分
考点：(1)角相等的应用与列方程解应用题；（2）角与函数的最大值.
25．（2021·上海高一单元测试）
已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.
（1）判断函数是否是“S-函数”；
（2）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；
（3）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.
【答案】(1)是
(2) 满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=
(3)
【详解】
解：（1）若是“S-函数”，则存在常数，使得 (a+x)(a-x)=b.
即x2=a2-b时，对一切实数恒成立.而x2=a2-b最多有两个解，矛盾，
因此不是“S-函数”.………………………………………………3分
若是“S-函数”，则存在常数a,b使得，
即存在常数对（a, 32a）满足.
因此是“S-函数”………………………………………………………6分
（2）是一个“S-函数”，设有序实数对（a, b）满足:
则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.
当a=时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常数.……………………7分
因此，,
则有.
即恒成立. ……………………………9分
即,
当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.
因此满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=.…12分
(3) 函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，
于是
即,
，.……………………14分
.………16分
因此, …………………………………………17分
综上可知当时函数的值域为.……………18分
26．（2020·上海市七宝中学高一期中）数列满足，且，.规定的通项公式只能用的形式表示.
（1）求的值；
（2）证明3为数列的一个周期，并用正整数表示；
（3）求的通项公式.
【答案】（1）（2）证明见解析；.（3）
【分析】（1）代入计算即可.
（2）分别令n＝1，2，3，即可证明，根据周期公式即可求出.
（3）分别由a1＝1，a2＝2，a3＝3，可得1＝Asin（+φ）+c，2＝﹣Asin（+φ）+c，3＝Asinφ+c，解得即可求出
【详解】
解：（1）当a1＝1，a2＝2，a1a2a3＝a1+a2+a3，解得a3＝3；
（2）当n＝2时，6a4＝2+3+a4，解得a4＝1，
当n＝3时，3a5＝1+3+a5，解得a5＝2，
…，
可得an+3＝an，当a1＝1，a2＝2，a3＝3；
故3为数列{an}的一个周期，
则＝3，k∈N*，则；
（3）由（2）可得an＝Asin（n+φ）+c，
则1＝Asin（+φ）+c，2＝﹣Asin（+φ）+c，3＝Asinφ+c，
即1＝A•cosφ﹣A•sinφ+c，①
2＝﹣A•cosφ﹣A•sinφ+c，②
由①+②，可得3＝﹣Asinφ+2c，
∴c＝2，Asinφ＝1，
①﹣②，可得﹣1＝A•cosφ，
则tanφ＝﹣，
∵|φ|＜，
∴φ＝﹣，
∴A＝﹣，
故．
【点睛】本题考查了数列的递推公式和三角函数的解析式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
27．（2016·上海高一期末）已知函数．
（1）试用周期函数的定义证明函数是周期函数，并指出该函数的一个周期；
（2）若函数在上取最大值、最小值时，所对应的x的值按从小到大依次记为，试求关于的函数关系式；
（3）在满足（2）的条件下，记，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
【分析】（1）利用公式变形后借助于周期函数的定义来证明；
（2）利用正弦函数的最大值在，最小值在，来求解；
（3）利用等比数列的定义及通项公式，即可求证.
【详解】（1）∵
∴
∴为周期函数，为其一个周期
（2）取最大值时，令，则,即；
取最小值时，令，则,即.
∵函数在上取最大值、最小值时，所对应的的值按从小到大依次记为
∴依次为
∴
（3）证明：由（2）知，不是的整数倍.
∴
∵
∴
∴是以为首项，为公比的等比数列
∴
【点睛】本题考查周期函数的性质、正弦函数的性质、等比数列的定义及其通项公式的应用，是一道综合题.
28．（2015·上海曹杨二中高一期末）已知函数为偶函数.
（1）求的取值集合；
（2）若，且在上，函数与的图像有且仅有8个交点，求实数m的取值范围；
（3）设集合，若含有10个元素，求的取值范围.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】(1)由为偶函数，得一定具有的形式，运用辅助角公式化为,得;
(2)直接得到函数解析式，做出图像运用数形结合的思想可得范围;
(3)由的点就是的点，得出满足题意的不等式组,解之可得范围.
【详解】（1）由已知得，因为为偶函数,故，所以；
所以的取值集合为;
（2）当时,，做出图像如下图所示,可得当其与有8个交点时,；
（3）当时,即,所以,所以，为偶函数，有5个元素分别是，故只需要，即.
【点睛】
本题综合考查正弦型函数的性质,由其性质得出函数的解析式,运用数形结合的思想解决交点的个数,或由交点的个数求解参数的范围是常用的方法,属于中档题.
29．（2016·上海市行知中学高一月考）已知函数.
(1)当时,求函数的值域;
(2)当时,求函数的单调递增区间;
(3)当时,的反函数为,求的值.
【答案】(1);(2)和;(3)
【分析】（1）化简得到，根据得到，计算值域得到答案.
（2）计算得到单调区间为，取得到答案.
（3）根据反函数知识得到得到答案.
【详解】（1）
当时，，故
即函数的值域为
（2），
函数的单调增区间为
当时，区间满足；当时，满足；
故单调增区间为：和
（3）的反函数为,等于时的值.
即
【点睛】本题考查了三角函数化简，函数值域，单调区间，反函数，意在考查学生的综合应用能力.
30．（2017·上海复旦附中高一期中）已知函数，满足关系.
（1）设，求的解析式；
（2）当时，存在、，对任意，恒成立，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角余弦公式可得出函数的解析式；
（2）根据，当时，代入并分象限化简函数的解析式，求出函数的最大值和最小值，即可得出的最小值.
【详解】由.
（1）当，可得
.
因此，函数的解析式为；
（2）时，可得
，.
存在、，对任意，恒成立，
当或时，可得；
当时，可得.
那么：，
或者：，
因此，的最小值为.
【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，同时也考查了三角函数的基本性质以及分段函数最值的讨论，考查分类讨论思想的应用，属于难题.
31．（2017·上海市复兴高级中学高一期中）已知集合，.
（1）判断与集合的关系，并说明理由；
（2）中的元素是否都是周期函数，证明结论；
（3）中的元素是否都是奇函数，证明你的结论.
【答案】（1）；详见解析（2）都是周期函数；证明见解析（3）不都是，证明见解析
【分析】（1）根据所给的函数解析式，把函数带入进行验证，得到.
（2）根据的周期为，猜想也是周期为的周期函数.由，得到，得到，得证的周期为.
（3）令，可证得：，所以，但为偶函数，故中的元素不都是奇函数.
【详解】（1）因为
所以.
（2）因为，
所以的周期为，猜想也是周期为的周期函数.
因为，得到：.
所以
即：.
所以.
所以的周期为.
（3）令，可证得：，
所以，但为偶函数，不是奇函数.
故中的元素不都是奇函数.
【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，考查了函数的周期性和奇偶性，解题关键是是对于所给的抽象函数的整理应用，属于难题.
32．（2016·上海市复兴高级中学高一月考）已知函数．
（1） 试说明函数的图象是由函数的图象经过怎样的变换得到的；
（2）若函数，试判断函数的奇偶性，并用反证法证明函数的最小正周期是；
（3）求函数的单调区间和值域.
【答案】（1）见解析；（2）偶函数，周期的证明见解析；（3）值域是，增区间为，减区间为．
【分析】（1）先由二倍角公式和两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后根据三角函数图象变换的规律求解；
（2）求出的表达式，由奇偶性定义判断奇偶性，用反证法证明周期性；
（3）根据（2）中得出的性质，在一个周期内求出函数的值域，即得函数在定义域内值域，求出一个周期内单调区间，根据函数的周期性可得所有单调区间（但要注意区间的连续性）．
【详解】
（1）由题意，
把图象向右平移个单位得的图象，再把所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得的图象，最后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得的图象．
（2），
，∴是偶函数，
，是的一个周期，下面用反证法证明是最小正周期，
假设存在是的最小正周期，即恒成立，，
则，，
，
当时，，则，∴，即这与矛盾，∴假设错误，
∴是的最小正周期．
（3）由（2），当时，，
由得，，
∴，，
此时当时，，单调递增，当时，，单调递减，
∵的最小正周期是，∴时，函数的值域是．
增区间为，减区间为．
【点睛】本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，考查三角函数的图象变换，考查函数的周期性与单调性．三角函数图象变换时要注意先相位变换后周期变换与先周期变换后相位变换时平移的单位不相同.三角函数是周期函数，研究它的性质有时可以在一个周期内研究，如求值域、单调区间、零点等等，然后加上周期的整数倍即可扩充到整个实数集上．但有些性质在一个周期上研究还不能得出正确结论，如对称性（对称轴，对称中心），除在含有一个周期的区间内的对称性外还必须考虑区间的端点处有没有相应的对称性．
33．（2017·上海市大同中学高一月考）已知函数，
（1）若，求；
（2）如果关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围
【答案】（1）或，；（2）
【分析】（1）化简得到，计算解得答案.
（2），画出函数图像，根据函数图像得到答案.
【详解】（1）
或，故或，
（2）设
则
画出函数图像，根据图像知：或或
即
【点睛】本题考查了三角函数求值，函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
34．（2020·上海中学高一期中）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与底面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的管线与平面ABC部分截面如图中阴影所示，路宽AD=24米，设
（1）求灯柱AB的高h（用表示）；
（2）此公司应该如何设置的值才能使制作路灯灯柱AB和灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？
【答案】(1)；(2)时，所用材料的总长度最小，最小值为.
【分析】(1)分别在△ABC和△ACD中，利用正弦定理即可解出答案；
(2)在△ABC中，利用正弦定理求出BC，再利用(1)的结果和三角函数的和差公式即可求得答案.
【详解】(1)由题意可得∠ADC=∠CAD∠ACD =，∠BCA=，
在△ACD中，由正弦定理可得：，
则AC=，
在△ABC中，由正弦定理可得：，
则AB=
.
即得.
(2)由(1)得AC=，AB=，
在△ABC中，由正弦定理可得：，
则，
所以.
由可得，可得当，即时，
即当公司设置的值为时，灯柱AB和灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值为.
【点睛】本题借助实际应用考查了利用正弦定理解三角形，考查了三角函数的和差公式及其应用，属于中档题.
35．（2018·上海曹杨二中高一期中）我们把平面直角坐标系中，函数上的点，若满足：，则称点为函数的“整格点”.
（1）请你选取一个m的值，使函数的图像上有整格点，并写出函数的一个整格点坐标；
（2）若函数与函数的图像有整格点交点，求m的值，并写出两个函数图像的交点总个数；
（3）对于（2）中的m值，则函数时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1），(1,1)，(5,1)，(9,1)等（答案不唯一）；（2），交点个数为5个；（3）.
【分析】（1）取时，即可得到整格点坐标；
（2）作出两个函数图象，利用图象可知整格点交点只有一个点为(10,1)，则，求出m并根据函数图像可知交点个数；
（3）结合（2）的图象，分a>1、0
（1）取时，整格点坐标为(1,1)，(5,1)，(9,1)等（答案不唯一）；
（2）作出两个函数的图象如图，
根据图像分析可知，函数与函数的图像有整格点交点且只有一个点为(10,1)，
则，解得，其中k∈Z，m∈(1,2)，
取k=2，则，根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为5个.
（注意：最后两个点非常接近，几乎粘合在一起）；
（3）由（2）知，，
∴①当a>1时，不等式在上不能成立；
②当0
由上图可知，即，
解得，.
【点睛】本题考查新定义问题，考查数形结合的思想运用，正确理解新定义是解决本题的关键，属难题.
36．（2018·上海高一期末）已知函数，其中数列是公比为的等比数列，数列是公差为的等差数列．
（1）若，，分别写出数列和数列的通项公式；
（2）若是奇函数，且，求；
（3）若函数的图像关于点对称，且当时，函数取得最小值，求的最小值．
【答案】（1），；（2）；（3）1
【分析】(1)根据等差数列、等比数列的通项公式即可求解；
(2)根据奇函数的定义得出，化简得，解方程可得
(3)将化成的形式，依题意有，从而得到，因为当时，函数取得最小值，所以，两式相减即可求解.
【详解】（1）由等差数列、等比数列的通项公式可得
，；
（2）
因为，所以
即，所以
又由，得
（3）
记，
则，其中；
因为的图像关于点对称，所以①
因为当时，函数取得最小值，所以②
②-①得，因为，
当，时，取得最小值为0
【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法、三角函数的化简以及正弦型函数图像的性质，考查较全面，属于难题.
37．（2018·上海市七宝中学高一期中）已知函数，其中常数.
（1）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数，求函数的解析式；
（2）若在上单调递增，求的取值范围；
（3）在（1）的条件下的函数的图像，区间且满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据正弦函数平移“左加右减、上加下减”的法则即可求得；
（2）利用范围可求得的范围，根据单调性可得不等式组，解不等式组求得；由可求得，两个范围取交集得到最终结果；
（3）令可求得零点，进而得到相邻零点之间的距离；若最小，知均为零点，此时在恰有个零点，从而得到在至少有一个零点；根据相邻零点之间距离即可得到满足的条件，进而求得所求的最小值.
【详解】
（1）
，即
（2） 当时，
，，解得：，
又
即的取值范围为
（3）令得：
或，
解得：或，
相邻两个零点之间的距离为或
若最小，则均为的零点，此时在区间，，…，分别恰有个零点
在区间恰有个零点 至少有一个零点
，即
检验可知，在恰有个零点，满足题意
的最小值为
【点睛】本题考查三角函数值知识的综合应用，涉及到三角函数的平移变换、根据三角函数在区间内的单调性求解参数范围、根据零点个数求解参数范围的问题；难点在于求解最小值时，能够通过确定临界状态，即至少有一个零点的区间，进而根据相邻零点之间的距离得到所求参数所满足的关系式，进而得到结果，属于较难题.
38．（2019·上海市向明中学高一期中）如图，点A，B单位圆O上的两点，点C是圆O与轴正半轴的交点，将锐角的终边OA按逆时针方向旋转到OB.
（1）若点A的坐标为，求的值；
（2）若的面积为，求锐角的大小；
（3）用锐角表示，并求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由三角函数的定义，得的值，再对原式化简计算即可；
（2）考虑将进行分割，再用三角形面积公式求解；
（3）先用余弦定理写出关于的表达式，再求的取值范围.
【详解】（1）因为锐角的终边OA，点A的坐标为，
所以，
所以，
所以.
（2）
所以，所以，
因为是锐角，所以，
所以.
（3）在中，，
所以，
因为是锐角，所以，所以，
所以，
所以，
所以.
【点睛】本题考查三角函数的定义、三角形的面积公式、求三角函数值域，将三角函数的性质与解三角形结合，综合性较强，同时考查学生的推理和计算能力，属于难题.
39．（2018·上海曹杨二中高一期中）已知函数
(1)将化为的形式,并写出其最小正周期和图象对称轴方程,并判断函数的奇偶性(不需证明)；
(2)若三角形三边满足所对为B，求B的范围；
(3)在(2)的条件下，求的取值范围.
【答案】（1），对称轴方程为，非奇非偶；（2）；（3） .
【分析】（1）根据三角恒等变换化简，由正弦型函数的图象与性质求解（2）利用余弦定理及均值不等式求解（3）由（1）（2）及正弦函数的性质可求出.
【详解】（1）
,
所以，
由，
知对称轴方程为，
函数是非奇非偶函数.
（2）由余弦定理得，当且仅当时取等号，
因为，
所以.
（3）由，
所以，
因为，
所以
故，
所以的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦型函数的图象与性质，余弦定理，均值不等式，由角的范围求函数值域，属于中档题.
40．（2018·上海曹杨二中高一期中）已知函数
(1)当时,求函数的单调递减区间；
(2)对于为任意实数，关于的方程恰好有两个不等实根，求实数的值；
(3)在(2)的条件下,若不等式在内恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）1；（3）.
【分析】（1）当时,写出函数解析式，由正弦型函数性质可求解（2）由题意可知在为任意实数，有两不等实根，知其周期为，即可求解（3）求出的值域，原不等式可转化为恒成立，的值域是的子集即可.
【详解】（1）当时，
令，，
解得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）因为对于为任意实数，关于的方程恰好有两个不等实根，
所以在为任意实数，有两不等实根，
所以,即.
（3）因为，
所以，
故，
又因为恒成立，
所以恒成立，
所以，解得.
【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调性，周期，值域，绝对值不等式恒成立，属于难题.
41．（2019·上海复旦附中高一期末）设函数，其中，.
（1）设，若函数的图象的一条对称轴为直线，求的值；
（2）若将的图象向左平移个单位，或者向右平移个单位得到的图象都过坐标原点，求所有满足条件的和的值；
（3）设，，已知函数在区间上的所有零点依次为，且，，求的值.
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）根据对称轴对应三角函数最值以及计算的值；（2）根据条件列出等式求解和的值；（3）根据图象利用对称性分析待求式子的特点，然后求值.
【详解】
（1），因为是一条对称轴，对应最值；又因为，所以，所以，则；（2）由条件知： ，可得，则，又因为，所以，则，
故有：，当为奇数时，令，
所以 ，当为偶数时，令，所以
，当时，
，又因为，所以；（3）分别作出（部分图像）与图象如下：
因为，故共有个；记对称轴为，据图有：，，，，，
则，令，
则，又因为，所以，由于与仅在前半个周期内有交点，所以，
则.
【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合运用，难度较难.对于三角函数零点个数问题，可将其转化为函数图象的交点个数问题，通过数形结合去解决问题会更方便.
42．（2019·上海市大同中学高一期中）已知等差数列的公差，数列满足，集合.
（1）若，，求集合；
（2）若，求使得集合恰有两个元素；
（3）若集合恰有三个元素，，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合.
【答案】（1）；（2）或；（3）或4，时，，；时，，
【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出，进而求出，再根据周期性求解；（2）由集合的元素个数，分析数列的周期，进而可求得答案；（3）分别令，2，3，4，5进行验证，判断的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合
【详解】（1）等差数列的公差，，数列满足，
集合．
当，
所以集合，0，．
（2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：
根据三角函数线，
①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，
②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，
综上，或者．
（3）①当时，，集合，，，符合题意．
与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时.
②当时，，，，或者，
等差数列的公差，，故，，又，2
当时满足条件，此时，1，．
与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时
【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．
43．（2019·上海中学高一期中）已知函数其图像的一个对称中心是将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像．
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意当时，都有求实数的最大值；
(3)若对任意实数在上与直线的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围．
【答案】（1） ； （2）； （3）.
【分析】（1）由图像的一个对称中心是列方程即可求得，即可求得，利用平移规律得，问题得解．
（2）由题可得在上单调递增，求得的增区间为，利用即可求得，问题得解．
（3）的最小正周期为，由题可得：的区间长度满足，解不等式即可．
【详解】（1）由题意，得，
解得，
又，∴，
∴，
从而；
（2）对任意，且，
，
即在上单调递增，
，
易得其单调增区间为，由于，
∴当时，，从而，∴实数的最大值为；
（3），其最小正周期为，而区间的长度为，
要满足题意，则，∴，解得.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象特点及函数图象平移规律，还考查了函数单调性概念及求三角函数的增区间知识，考查复合函数的单调性规律，属于难题．
44．（2017·上海高一期末）若函数满足且，则称函数为“函数”．
（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；
（2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；
（3）在(2)的条件下，当时，关于的方程为常数有解，记该方程所有解的和为，求．
【答案】（1）不是“M函数”；（2），；（3）.
【分析】由不满足，得不是“M函数”，
可得函数的周期，，
当时，
当时，
在上的单调递增区间：，
由可得函数在上的图象，根据图象可得：
当或1时，为常数有2个解，其和为
当时，为常数有3个解，其和为．
当时，为常数有4个解，其和为
即可得当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，
【详解】
不是“M函数”．
，
，
不是“M函数”．
函数满足，函数的周期
，，
当时，
当时，
，
在上的单调递增区间：，；
由可得函数在上的图象为：
当或1时，为常数有2个解，其和为.
当时，为常数有3个解，其和为．
当时，为常数有4个解，其和为
当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，
则．
【点睛】本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题．
45．（2017·上海高一期中）已知函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.
（1）求函数与的解析式；
（2）求实数与正整数，使得在内恰有2017个零点.
【答案】（1），； （2），.
【详解】（1），，所以
46．（2015·上海高一期中）某种波的传播是由曲线来实现的，我们把函数解析式称为“波”，把振幅都是A 的波称为“ A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．
（1）已知“1 类波”中的两个波与叠加后仍是“1类波”，求的值；
（2）在“类波“中有一个波是，从类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相都不同），使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后是，并说明理由．
【答案】（1）（2）
试题分析：（1）将两函数式相加化简找到最大值为1，建立关于的关系式，进而求得角的大小；（2）中首先设出所找的波，采用待定系数法，将三个不同的波叠加化简后与对比，找到满足的条件，求出对应的值，从而确定所求的波
试题解析：（1）
振幅是
则，即所以
（2）设
则
=恒成立
则，消去可得
若取可取（或等）
此时是平波
考点：1．三角函数式的化简；2．三角函数求最值
47．（2019·上海市实验学校高一期末）已知对任意，恒成立（其中），求的最大值.
【答案】的最大值为.
试题分析：利用二倍角公式，利用换元法，将原不等式转化为二次不等式在区间上恒成立，利用二次函数的零点分布进行讨论，从而得出的最大值，但是在对时的情况下，主要对二次函数的对称轴是否在区间进行分类讨论，再将问题转化为的条件下，求的最大值，
试题解析：由题意知，
令，，则当，恒成立，开口向上，
①当时，，不满足，恒成立，
②当时，则必有（1）
当对称轴时，即，也即时，有，
则，，则，当，时，.
当对称轴时，即，也即时，
则必有，即，又由（1）知，
则由于，故只需成立即可，
问题转化为的条件下，求的最大值，然后利用代数式的结构特点或从题干中的式子出发，分别利用三角换元法、导数法以及柯西不等式法来求的最大值.
法一：（三角换元）把条件配方得：，
，所以，
；
法二：（导数）
令则即求函数的导数,椭圆的上半部分
；
法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：
，当且仅当,即及时等号成立.即当时，最大值为2.
综上可知.
考点：1.二倍角；2.换元法；3.二次不等式的恒成立问题；4.导数；5.柯西不等式
48．（2017·上海市南洋模范中学高一期末）已知向量，，其中为坐标原点.
（1）若，求向量与的夹角；
（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）或.
【分析】（1）按向量数量积的定义先求夹角余弦，再求得夹角；
（2）不等式化为恒成立，令取1和－1代入解不等式组即可得．
【详解】
（1）由题意，，
记向量与的夹角为，又，
则，
当时，，，当时，，．
（2）
，
由得，
∵，∴，
∴，解得或．
【点睛】本题考查向量模与夹角，考查不等式恒成立问题，不等式中把作为一个整体，它是关于的一次不等式，因此要使它恒成立，只要取1和－1时均成立即可．
49．（2020·上海中学期中）如图，，定义平面坐标系为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：、分别为与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则规定点的斜坐标为.
（1）求以为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程；
（2）已知点的斜坐标为，点的斜坐标为，求直线在该仿射坐标系中的方程.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先设出直角坐标下沿轴，轴的方向向量，再根据仿射坐标系的定义，写出,转化为直角坐标，并利用坐标变换以及圆在直角坐标下的方程即可求出；
（2）利用向量共线即可求出.
【详解】解：（1）设在直角坐标系下，沿轴，轴的方向向量分别为，，
又在仿射坐标系中，，
，，
又，
即在直角坐标系下的坐标为，
又圆心坐标为，半径为，
，
即，
即，
在仿射坐标系中圆的方程为；
（2），，
，，
，
设为直线上任意一点，
则，
又，
故，使，
即，
即 ，
消去得：，
故直线在该仿射坐标系中的方程为：.
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
50．（2020·上海位育中学月考）已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，.
（1）求；
（2）求证：.
（3）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）延长交于D，则D为BC中点，可得，，即可求出；
（2）设，可得，，可得，即可建立关系求得；
（3）可得，再根结合的范围求出.
【详解】（1）延长交于D，则D为BC中点，
,
G是重心，，
；
（2）设,
，，
，，
三点共线，
则存在，使得，即，
即，
，整理得，
即，即，即；
（3）由（2），，
，
，，可知，
，
，，
则当时，取得最小值，当时，取得最大值，
，则的取值范围为.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查基本定理和共线定理的应用，考查面积公式的应用，属于较难题.
相关试卷
大题好拿分期中考前必做30题（压轴版）-2021-2022学年高一数学下册期中考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）： 这是一份大题好拿分期中考前必做30题（压轴版）-2021-2022学年高一数学下册期中考试高分直通车（沪教版2020必修第二册），文件包含大题好拿分期中考前必做30题压轴版解析版docx、大题好拿分期中考前必做30题压轴版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。
第9章 复数（章节压轴题专练）-2021-2022学年高一数学下册期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）： 这是一份第9章 复数（章节压轴题专练）-2021-2022学年高一数学下册期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册），文件包含第9章复数章节压轴题专练解析版docx、第9章复数章节压轴题专练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。
上海期末真题精选50题（小题压轴版）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）： 这是一份上海期末真题精选50题（小题压轴版）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册），文件包含上海期末真题精选50题小题压轴版解析版docx、上海期末真题精选50题小题压轴版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
