必刷卷03-2021-2022学年高一数学下学期期末仿真必刷模拟卷（人教A版2019）

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高一年级下学期期末仿真卷03
本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足|z﹣3i|＝2（i为虚数单位），则复数z﹣4模的取值范围是（　　）
A．[3，7] B．[0，5] C．[0，9] D．以上都不对
【答案】A
【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：由|z﹣3i|＝2，可知复数z对应点的轨迹为以B（0，3）为圆心，以2为半径的圆上，
如图：
则复数z﹣4模的最小值为|AB|﹣2＝5﹣2＝3，最大值为|AB|+2＝5+2＝7．
∴复数z﹣4模的取值范围是[3，7]．
故选：A．

【知识点】复数的模
2.已知样本数据x1，x2，…，xn（n∈N*）的平均数与方差分别是a和b，若yi＝﹣2xi+3（i＝1，2，…n），且样本数据y1，y2，…，yn的平均数与方差分别是b和a，则a﹣b＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据平均数和方差的意义得到关于a，b的方程组，解出即可．
【解答】解：由题意得：
，解得：，故a﹣b＝1，
故选：A．
【知识点】众数、中位数、平均数、极差、方差与标准差
3.排球比赛的规则是5局3胜制（5局比赛中，优先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】法一：根据题意，分3种情况讨论：①第三局乙队获胜，②第三局甲队获胜，第四局乙队获胜，③第三、四局甲队获胜，第五局乙队获胜，求出每种情况的概率，由互斥事件的概率公式计算可得答案．
法二：根据题意，由相互独立事件的概率公式计算甲队获胜的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．
【解答】解：法一：根据题意，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜，有3种情况，
第三局乙队获胜，其概率为P1＝，
第三局甲队获胜，第四局乙队获胜，其概率为P2＝×＝，
第三、四局甲队获胜，第五局乙队获胜，其概率为P3＝××＝，
则最后乙队获胜的概率P＝P1+P2+P3＝++＝；
法二：根据题意，前2局中乙队以2：0领先，
若最后甲队获胜，甲队需要连胜三局，则甲队获胜的概率P′＝（）3＝，
则最后乙队获胜的概率P＝1﹣P′＝1﹣＝；
故选：B．
【知识点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式、n次独立重复试验中恰好发生k次的概率、互斥事件的概率加法公式
4.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷．为调查某两家订餐软件的商家的服务情况，统计了它们订餐“送达时间”（时间：分钟），得到茎叶图如图所示，则（　　）

A．甲款APP送餐时间更稳定，中位数为26
B．甲款APP送餐时间更稳定，中位数为27
C．乙款APP送餐时间更稳定，中位数为31
D．乙款APP送餐时间更稳定，中位数为36
【答案】D
【分析】由茎叶图中数据分析两款APP送餐时间集中情况，从而得出正确的结论．
【解答】解：由茎叶图中数据知，乙款APP送餐时间大部分集中在30～40分钟之间，
甲款APP送餐时间相对比较分散，素养乙款APP送餐时间更稳定些．
乙款APP统计的送餐时间共有13个数据，
由小到大排列后处于中间的是36，所以中位数是36．
故选：D．
【知识点】茎叶图
5.平面内有三点A，B，C，设＝，＝，若||＝||，则有（　　）
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据向量长度关系转化为向量数量积关系，即可得到结论．
【解答】解：若＝，＝，若||＝||，
||＝||，
平方得+2+＝﹣2+，
则＝0，
即，即△ABC必为直角三角形且∠B＝90°，
故选：C．
【知识点】向量的三角形法则
6.在△OAB中，已知，∠AOB＝45°，点P满足（λ，µ∈R），其中2λ+µ＝3满足，则||的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件可得，则＝（λ+μ）+μ，所以||2＝5λ2﹣18λ+18，即可求出最小值．
【解答】解：因为，∠AOB＝45°，所以，
所以＝λ+μ（）＝（λ+μ）+μ，
则||2＝（λ+μ）2+μ2＝（3﹣λ）2+（3﹣2λ）2＝5λ2﹣18λ+18，
所以当时，||2取最小值，
则||的最小值为，
故选：A．
【知识点】平面向量的基本定理
7.如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A﹣BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是（　　）

A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CD
C．平面ABC⊥平面ACD D．AD⊥平面ABC
【答案】D
【分析】对四个结论分别加以判断，即可得出结论．
【解答】解：对于A，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，
∴CD⊥平面ABD，∴平面ACD⊥平面ABD，即A正确；
对于B，CD⊥平面ABD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥CD，即B正确；
对于C，∵AB⊥AD，AB⊥CD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD，即C正确；
对于D，若AD⊥平面ABC，则AD⊥AC，与CD⊥AD矛盾，
故选：D．
【知识点】平面与平面垂直
8.如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面APB，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，AB＝2，则三棱锥P﹣ABC体积最大值为（　　）

A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】推导出BC⊥AB，BC⊥平面ABP，AP⊥BC，AP⊥BG，从而AP⊥平面PBC，BP⊥AP，进而VP﹣ABC＝VC﹣APB＝＝，令PA＝m，PB＝n，则m2+n2＝4，进而＝，由此能求出三棱锥P﹣ABC体积最大值．
【解答】解：∵四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，∴BC⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面APB，平面ABCD∩平面APB＝AB，
∴BC⊥平面ABP，∵AP⊂平面ABP，∴AP⊥BC，
∵G为PC上一点，且BG⊥平面APC，AP⊂平面ABP，∴AP⊥BG，
∵BC∩BG＝B，BC⊂平面PBC，BG⊂平面PBC，
∴AP⊥平面PBC，∵BP⊂平面PBC，∴BP⊥AP，
∴VP﹣ABC＝VC﹣APB＝＝，
令PA＝m，PB＝n，则m2+n2＝4，
∴＝，
当且仅当m＝n＝时，取“＝”，
∴三棱锥P﹣ABC体积最大值为．
故选：A．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。
9.若复数z满足，则（　　）
A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i
【答案】BC
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由＝，
得z＝，
∴z的实部为1；＝1+i；z2＝（1﹣i）2＝﹣2i．
故选：BC．
【知识点】复数的运算
10.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】对于A，由∠BAD＝，CE∥AD，得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由CE⊥AB，DE⊥AB，得直线AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为，知直线AB与平面CDE不垂直；对于D，推导出DE⊥AB，CE⊥AB，从而AB⊥平面CDE．
【解答】解：对于A，∵∠BAD＝，CE∥AD，∴AB与CE不垂直，
∵CE⊂平面CDE，∴直线AB与平面CDE不垂直，故A错误；
对于B，∵CE⊥AB，DE⊥AB，CE∩DE＝E，∴直线AB⊥平面CDE，故B正确；
对于C，AB与CE所成角为，∴直线AB与平面CDE不垂直，故C错误；
对于D，如图，∵DE⊥BF，DE⊥AF，BF∩AF＝F，∴DE⊥平面ABF，
∵AB⊂平面ABF，∴DE⊥AB，同理得CE⊥AB，
∵DE∩CE＝E，∴AB⊥平面CDE，故D正确．
故选：BD．

【知识点】直线与平面垂直
11.某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（　　）

A．样本中女生人数多于男生人数
B．样本中B层人数最多
C．样本中E层次男生人数为6人
D．样本中D层次男生人数多于女生人数
【答案】ABC
【分析】根据频率直方图，扇形图求出选项中的数，进行比较．
【解答】解：由女生频数直方图可知女生人数为：9+24+15+9+3＝60，则男生人数为100﹣6﹣＝40，则A对；
由图可知：女生人数中B层的人最多，男生人数中B层的人最多，则总人数中B层的人最多，B对；
可求出E层为（1﹣0.1﹣0.3﹣0.25﹣0.2）×40＝6人，C对；
样本中D层次男生人数为40×20%＝8，样本中D层次女生人数为9，D错，
故选：ABC．
【知识点】频率分布直方图
12.有下列说法其中错误的说法为（　　）
A．若，，则
B．若2++3＝，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC：S△ABC＝1：6
C．两个非零向量，，若||＝||+||，则与共线且反向
D．若∥，则存在唯一实数λ使得＝λ
【答案】AD
【分析】由零与任何向量共线，即可判断A；由三角形的重心的向量表示和性质可判断B；由向量共线的性质可判断C；由向量共线定理可判断D．
【解答】解：若，，且＝，则或，不共线，故A错误；
若2++3＝，设＝2，＝3，可得O为△A'BC'的重心，
设S△AOB＝x，S△BOC＝y，S△AOC＝z，
则S△A'OB＝2x，S△BOC'＝3y，S△A'OC'＝6z，由2x＝3y＝6z，
可得S△AOC：S△ABC＝z：（x+y+z）＝1：6，故B正确；
两个非零向量，，若||＝||+||，则与共线且反向，故C正确；
若∥，且＝，则实数λ可有无数个使＝λ，故D错误．
故选：AD．

【知识点】向量的概念与向量的模、向量数乘和线性运算、命题的真假判断与应用

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数是纯虚数，则a的值为　　．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解a值．
【解答】解：∵是纯虚数，
∴，即a＝﹣．
故答案为：．
【知识点】复数的运算、虚数单位i、复数
14.已知三个事件A，B，C两两互斥且P（A）＝0.3，P（）＝0.6，P（C）＝0.2，则P（A∪B∪C）＝　　　　．
【答案】0.9
【分析】由对立事件的概率可得P（B），再由互斥事件有一个发生的概率可得所求．
【解答】解：三个事件A，B，C两两互斥，
P（）＝0.6，可得P（B）＝1﹣0.6＝0.4，
则P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）＝0.3+0.4+0.2＝0.9．
故答案为：0.9．
【知识点】互斥事件的概率加法公式
15.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠BAD＝，E为BC的中点，若线段DE上存在一点M满足＝（m∈R），则的值是　　．


【分析】整理＝（1﹣）+λ＝+m，求出m，再代入计算即可
【解答】解：＝+λ＝+λ（）＝+λ（﹣）＝（1﹣）+λ＝+m，
则，解得m＝，
故＝+，
所以＝（+）•（﹣）＝﹣2+2﹣＝﹣×9+×4﹣×3×2×＝﹣，
故答案为：﹣．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算
16.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝10，E，F，M分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是该长方体底面ABCD上的动点，若PD1∥平面EFM，则△PBB1面积的取值范围是　　．
【答案】[12，20]
【分析】补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P所在线段，再分析何时最大，何时最小即可得解．
【解答】解：补全截面EFM为截面EFMHQR如图，设BR⊥AC，
∵直线D1P与平面EFM不存在公共点，
∴D1P∥平面EFMHQR，
易知平面ACD1∥平面EFMHQR，
∴P∈AC，
且当P与R重合时，BP＝BR最短，此时△PBB1的面积最小；
由等积法：BR×AB×BC，
即：BR×＝×3×4；
∴BP＝，
又BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥BP，△PBB1为直角三角形，
∴△PBB1的面积为：××10＝12，
当P与C重合时，PB＝BC最长为4，此时△PBB1的面积最大；
最大值为：×4×10＝20；
故答案为：[12，20]．

【知识点】直线与平面平行

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。
17.设复数Z满足Zi﹣Z＝2i，求：
（1）复数Z的共轭复数；
（2）复数Z的模|Z|．
【分析】（1）先根据复数的运算可得z，再求出共轭复数即可，
（2）根据复数的模的定义即可求出．
【解答】解：（1）zi﹣z＝2i，
∴z＝＝＝1﹣i，
∴＝1+i，
（2）|z|＝＝
【知识点】复数的运算
18.在某次数学考试中，小江的成绩在90分以上的概率是x，在[80，90]的概率是0.48，在[70，80）的概率是0.11，在[60，70）的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07．计算：
（Ⅰ）x的值；
（Ⅱ）小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率；
（Ⅲ）小江考试及格（成绩不低于60分）的概率．
【分析】（Ⅰ）分别记小江的成绩在90分以上，[80，90），[70，80），[60，70），60分以下为事件A，B，C，D，E，它们是互斥事件，由题意得P（A）+P（B）+P（C）+P（D）+P（E）＝1，由此能求出x．
（Ⅱ）小江的成绩在80分及以上的概率为P（A+B），P（A+B）＝P（A）+P（B），由此能求出结果．
（Ⅲ）小江考试及格（成绩不低于60分）的概率为P（）＝1﹣P（E）．
【解答】解：（Ⅰ）分别记小江的成绩在90分以上，[80，90），[70，80），[60，70），60分以下为事件A，B，C，D，E，它们是互斥事件，
由条件得：P（A）＝x，P（B）＝0.48，P（C）＝0.11，P（D）＝0.09，P（E）＝0.07，
由题意得P（A）+P（B）+P（C）+P（D）+P（E）＝1，
∴x＝1﹣0.48﹣0.11﹣0.09﹣0.07＝0.25．
（Ⅱ）小江的成绩在80分及以上的概率为P（A+B），
P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.25+0.48＝0.73．
（Ⅲ）小江考试及格（成绩不低于60分）的概率为：
P（）＝1﹣P（E）＝1﹣0.07＝0.93．
【知识点】互斥事件的概率加法公式
19.某校100位学生第一次月考考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]．
（1）求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计这100名学生数学成绩的中位数（中位数的结果精确到0.1）；
（2）求这100名学生的平均成绩．

【分析】根据中位数，平均数公式代入求解．
【解答】解：（1）∵（a+0.02+0.015+0.01+a）×20＝1，
解之得a＝0.0025．
又设中位数为x，则有0.0025×20+0.02×20+（x﹣90）×0.015＝0.5，
解之得x＝93.3．
（2）设这100名学生的平均成绩为，
则＝（60×0.0025+80×0.02+100×0.015×+20×0.01+140×0.0025）×20＝96，
所以这100名学生的平均成绩为96，．
【知识点】众数、中位数、平均数、频率分布直方图
20.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．证明：
（1）当AB＝BC时，EF⊥AC；
（2）点C1在平面AEF内．

【分析】（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB＝BC，可得AC⊥平面BB1D1D，因为EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC．
（2）取AA1上靠近A1的三等分点M，连接DM，C1F，MF．根据已知条件可得四边形AED1M为平行四边形，得D1M∥AE，再推得四边形C1D1MF为平行四边形，所以D1M∥C1F，根据直线平行的性质可得AE∥C1F，所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内．
【解答】解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，所以BB1⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1，
因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB＝BC，所以ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩BB1＝B．
所以AC⊥平面BB1D1D，又因为点E，F分别在棱DD1，BB1上，所以EF⊂平面BB1D1D，
所以EF⊥AC．
（2）取AA1上靠近A1的三等分点M，连接D1M，C1F，MF，C1E．
因为点E在DD1，且2DE＝ED1，所以ED∥AM，且ED1＝AM，
所以四边形AED1M为平行四边形，所以D1M∥AE，且D1M＝AE，
又因为F在BB1上，且BF＝2FB1，所以 A1M∥FB1，且A1M＝FB1，
所以A1B1FM为平行四边形，
所以FM∥A1B1，FM＝A1B1，即FM∥C1D1，FM＝C1D1，
所以C1D1MF为平行四边形，
所以D1M∥C1F，
所以AE∥C1F，所以A，E，F，C1四点共面．
所以点C1在平面AEF内．

【知识点】平面的基本性质及推论、直线与平面垂直
21.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知B＝60°，sinC＝2sinA，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的周长．
条件①：；条件②：．
【分析】利用正弦定理将sinC＝2sinA中的角化边，可得c＝2a，
若选①：由余弦定理可推出，再结合条件①，可解出b和c的值，从而得a的值，进而得解；
若选②：由三角形的面积公式可推出ac＝2，从而有a＝1，c＝2，再由余弦定理求出b的值，得解．
【解答】解：选择条件①：
由正弦定理知，＝，
因为sinC＝2sinA，所以c＝2a，
由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accosB＝c2+c2﹣2•c•c•cos60°＝c2，即，
又，
解得，c＝2，
所以a＝1，
所以△ABC周长为．
选择条件②：
由可得，，所以ac＝2，
由正弦定理知，＝，
因为sinC＝2sinA，所以c＝2a，
所以a＝1，c＝2，
由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accosB＝5﹣2＝3，即，
所以△ABC的周长为．
【知识点】余弦定理、正弦定理
22.如图，在几何体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为矩形，AA1∥CC1且AA1＝2CC1，E为AB1的中点．
（1）求证：CE∥平面A1B1C1；
（2）若平面ABB1A1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝CC1＝2，求三棱锥E﹣ACC1的体积．

【分析】（1）取BB1中点F，连结EF，CF，推导出EF∥A1B1，CF∥B1C1，从而平面A1B1C1∥平面EFC，由此能证明CE∥平面A1B1C1．
（2）AB，BB1，BC两两垂直，以B为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥E﹣ACC1的体积．
【解答】解：（1）证明：取BB1中点F，连结EF，CF，
∵在几何体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为矩形，
AA1∥CC1且AA1＝2CC1，E为AB1的中点．
∴EF∥A1B1，CF∥B1C1，
∵A1B1∩B1C1＝B1，EF∩FC＝F，
∴平面A1B1C1∥平面EFC，
∵CE⊂平面EFC，∴CE∥平面A1B1C1．
（2）解：∵平面ABB1A1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝CC1＝2，
∴AB，BB1，BC两两垂直，以B为原点建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），B1（0，0，2），E（1，0，1），C（0，2，0），C1（0，2，1），
＝（2，﹣2，0），＝（0，0，1），＝（1，﹣2，1），
设平面CAC1的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，0），
∴E平面ACC1的距离d＝＝＝，
＝＝＝，
∴三棱锥E﹣ACC1的体积：
＝＝＝．

【知识点】直线与平面平行、棱柱、棱锥、棱台的体积