期末复习综合测试题（1）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册

模块一测试题一

一．选择题（共10小题）

1．设集合，则　　

A． B． C． D．，

2．命题“，，”为真命题的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

3．若命题“，时，”是假命题，则的取值范围　　

A．， B． C．， D．，

4．已知函数的两个零点分别为，，则的最小值为　　

A．8 B．6 C．4 D．2

5．已知动点的轨迹为直线在第一象限内的部分，则的最大值为　　

A．1 B．2 C． D．4

6．设函数的图象与的图象关于直线对称，若，，则　　

A．1011 B．1009 C． D．

7．已知，，且，则　　

A． B． C． D．

8．已知函数，，若点，为函数的对称中心，直线为函数的对称轴，并且函数在区间，上单调，则　　

A． B． C． D．

二．多选题（共4小题）

9．设集合，，则下列关系正确的是　　

A． B． C． D．

10．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图，在上取一点，使得，，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接．下面不能由直接证明的不等式为　　

A． B． 

C． D．

11．已知定义在上的函数满足，且当时，，则可作为方程实根的有　　

A． B． C． D．

12．给出下列四个结论，其中正确的结论是　　

A．成立的条件是角是锐角 

B．若，则 

C．若，则 

D．若，则

三．填空题（共4小题）

13．对于正数，可以用有理数指数幂的形式表示为　　．

14．若函数的值域为，，则实数的取值范围为　　．

15．已知，则的最小值为　　．

16．用表示函数在闭区间上的最大值．若正数满足，则的最大值为　　．

四．解答题（共8小题）

17．某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如图所示（图中单位：，问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？

18．已知，，且．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围．

19．已知函数．

（1）判断函数的奇偶性；

（2）对任意的实数、，且，求证：；

（3）若关于的方程有两个不相等的正根，求实数取值范围．

20．已知函数．

（1）求的值及函数的单调增区间；

（2）若，，不等式恒成立，求实数的取值集合．

21．已知函数，，在一个周期内的最高点和最低点分别为，．

（1）求函数的表达式；

（2）求函数在区间，的最大值和最小值；

（3）将图象上的点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向上平移1个单位得到的图象．若函数在，内恰有4个零点，求的取值范围．

22．已知函数，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．

（1）求的值；

（2）求函数的解析式；

（3）若，求．

模块一测试题一

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．设集合，则　　

A． B． C． D．，

【分析】根据题意，用列举法表示集合，据此判断各选项，即可得答案．

【解答】解：根据题意，，，

对于，，错误，

对于，，正确，

对于，，错误，

对于，，，错误，

故选：．

【点评】本题考查元素与集合的关系，涉及集合的表示方法，属于基础题．

2．命题“，，”为真命题的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

【分析】求出函数恒成立的充要条件，根据集合的包含关系判断即可．

【解答】解：若，，恒成立，

则，

故命题“，，”为真命题的充要条件是，

而，，，

故命题“，，”为真命题的一个充分不必要条件是，

故选：．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及函数恒成立问题，是一道基础题．

3．若命题“，时，”是假命题，则的取值范围　　

A．， B． C．， D．，

【分析】根据全称命题是假命题，得到命题的否定是真命题，利用参数分离法进行求解即可．

【解答】解：若命题“，时，”是假命题，

则命题“，时，”是真命题

则，

设，

当时，

则，

故选：．

【点评】本题主要考查命题真假的应用，利用全称命题的否定是特称命题转化为特称命题是解决本题的关键．难度中等．

4．已知函数的两个零点分别为，，则的最小值为　　

A．8 B．6 C．4 D．2

【分析】由韦达定理求出，，再根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．

【解答】解：由题意得：，，

故，

当且仅当时“”成立，

故选：．

【点评】本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道基础题．

5．已知动点的轨迹为直线在第一象限内的部分，则的最大值为　　

A．1 B．2 C． D．4

【分析】直接利用基本不等式的应用求出结果．

【解答】解：动点的轨迹为直线在第一象限内的部分，

所以，

由基本不等式，解得，

当且仅当时，等号成立，故的最大值为2．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：基本不等号式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

6．设函数的图象与的图象关于直线对称，若，，则　　

A．1011 B．1009 C． D．

【分析】在函数的图象上取点，则关于直线对称点为，代入，结合题目条件可得答案．

【解答】解：因为函数的图象与的图象关于直线对称，

令，，则；

故，，，在的图象上，

所以，，即，

两式相加得，

所以，

解得，

故选：．

【点评】本题考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

7．已知，，且，则　　

A． B． C． D．

【分析】由已知结合二倍角公式可先求，进而可求，然后结合两角和的正弦公式可求．

【解答】解：因为，，且，

所以，

即，

解得，（舍或，

所以

则

故选：．

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角平方关系，和差角公式在三角求值中的应用，属于基础题．

8．已知函数，，若点，为函数的对称中心，直线为函数的对称轴，并且函数在区间，上单调，则　　

A． B． C． D．

【分析】利用两角和差和辅助角公式化简函数函数，再利用三角函数的单调性、周期性和对称性可得，．，．又因为，且．解得解得：，

即，，符合单调性条件，所以函数，即可得．

【解答】解：函数，并且函数在区间，上单调，

因此，所以．

又因为点，为函数的对称中心，直线为函数的对称轴，

因此，，

所以，

解得，．

将代入函数时函数有最值，

即，，即，．

又因为，且．

解得：，

即，，符合单调性条件，

所以函数，则，

故选：．

【点评】本题考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、二倍角公式，考查推理论证能力和运算求解能力，考查逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养．

二．多选题（共4小题）

9．设集合，，则下列关系正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】由指数函数的性质求出函数的值域即集合，由对数函数的性质即真数大于0，解一元二次不等式得到集合，判断两个集合的关系，结合选项可得正确答案．

【解答】解：集合，

集合，，

，即，

故选：．

【点评】本题考查了集合间的关系，以及指数函数和对数函数的性质，属于基础题．

10．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图，在上取一点，使得，，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接．下面不能由直接证明的不等式为　　

A． B． 

C． D．

【分析】由题意得，，然后结合射影定理可得，，从而可判断．

【解答】解：因为，，

所以，

由题意得，，

由射影定理可得，，

由，得，当且仅当时取等号，正确，，，不正确．

故选：．

【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理，属于基础题．

11．已知定义在上的函数满足，且当时，，则可作为方程实根的有　　

A． B． C． D．

【分析】由已知求得函数解析式，得到，进一步写出分段函数，求解方程得答案．

【解答】解：，为定义在上的奇函数，

当时，，设，则，

得，即．

，则，

令，

当时，解得或或．

故选：．

【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．

12．给出下列四个结论，其中正确的结论是　　

A．成立的条件是角是锐角 

B．若，则 

C．若，则 

D．若，则

【分析】由诱导公式二即可判断；分类讨论，利用诱导公式即可判断；利用同角三角函数基本关系式即可判断；将已知等式两边平方，可得，或，分类讨论即可判断．

【解答】解：由诱导公式二，可得时，，故错误；

当，时，，此时，

当，时，，此时，故错误；

若，，则，故正确；

将，两边平方，可得，所以，或，

若，则，此时；

若，则，此时，故，故正确．

故选：．

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了函数思想和分类讨论思想，属于中档题．

三．填空题（共4小题）

13．对于正数，可以用有理数指数幂的形式表示为　　．

【分析】根据指数幂的运算法则即可求出．

【解答】解：原式．

故答案为：．

【点评】本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题．

14．若函数的值域为，，则实数的取值范围为　，　．

【分析】可求出时，，然后根据原函数的值域为，可得出时，，，这样即可求出的范围．

【解答】解：时，，，且原函数的值域为，，

时，，即，

，

的取值范围为：，．

故答案为：，．

【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，函数值域的定义及求法，考查了计算能力，属于中档题．

15．已知，则的最小值为　8　．

【分析】由已知结合对数的运算性质及二倍角公式进行化简可求，然后结合基本不等式即可求解．

【解答】解：因为，

所以，

故，

则，

当且仅当时取等号，的最小值8．

故答案为：8．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，二倍角公式及基本不等式，属于基础题．

16．用表示函数在闭区间上的最大值．若正数满足，则的最大值为　．　．

【分析】分在不同区间进行讨论，得出符合条件的取值范围，即可求得的最大值．

【解答】解：当，时，，，，，

由，得，此时不成立；

当，时，，，，，

由，得，即，所以；

当，时，，，，或1，

由，得，即且，解得；

当，时，，，，，不合题意．

综上，得最大值为．

故答案为：．

【点评】本题主要考查三角函数的最值的求法，考查分类讨论的数学思想，考查计算能力，属于中档题．

四．解答题（共8小题）

17．某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如图所示（图中单位：，问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？

【分析】设矩形车场南北侧边长为，则其东西侧边长为，人行道占地面积为，然后结合基本不等式即可求解．

【解答】解：设矩形车场南北侧边长为，则其东西侧边长为，

人行道占地面积为，

当且仅当，即时取等号，，此时，

所以矩形停车场的南北侧边长为，则其东西侧边长为，才能使人行通道占地面积最小，最小面积是．

【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，体现了转化思想的应用．

18．已知，，且．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围．

【分析】由已知结合指数的运算性质可得，，然后结合，展开后利用基本不等式可求，

存在，，使得成立，则结合得成立，解不等式可求．

【解答】解：因为，，且，

所以，

，

当且仅当且，即，时取等号，

故的最小值8，

由的最小值4，

又存在，，使得成立，

所以，

所以，

解得，或，

故的范围或．

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及不等式的存在性问题与最值的相互转化关系的应用，属于中档题．

19．已知函数．

（1）判断函数的奇偶性；

（2）对任意的实数、，且，求证：；

（3）若关于的方程有两个不相等的正根，求实数取值范围．

【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；

（2）证明函数在，上是严格增函数，结合函数的奇偶性可得在上也是严格增函数，从而在上是严格增函数，由，即可证明；

（3）由（1）知，是上的奇函数，故原方程可化为，把原方程有两个不等正根转化为关于的不等式组求解．

【解答】解：（1）．

当时，，有，

即．

当时，，有，

即．

综上，函数是上的奇函数；

证明：（2）函数是上的严格增函数，

函数在上也是严格增函数，故函数在，上是严格增函数．

由（1）知，函数在上为奇函数，由奇函数的单调性可知，

在上也是严格增函数，从而在上是严格增函数．

由，得，，

即；

解：（3）由（1）知，是上的奇函数，故原方程可化为

．

令，则当时，，于是，原方程有两个不等正根等价于：

关于的方程有两个不等的正根．

即或．

因此，实数的取值范围是，，．

【点评】本题考查函数奇偶性的判定及应用，考查函数的单调性，考查函数零点与方程根的关系，考查化归与转化思想，是中档题．

20．已知函数．

（1）求的值及函数的单调增区间；

（2）若，，不等式恒成立，求实数的取值集合．

【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，代入计算可求的值，结合正弦函数的单调性列出不等式解出单调区间；

（2）求出在，上的值域，根据题意列出不等式组即可解出的范围．

【解答】解：（1），

，

令，解得，．

的单调递增区间是，，．

（2），，可得，，

当时，取得最大值1，当时，取得最小值．

恒成立，，解得．

实数的取值范围是，．

【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的单调性，三角函数的值域，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．

21．已知函数，，在一个周期内的最高点和最低点分别为，．

（1）求函数的表达式；

（2）求函数在区间，的最大值和最小值；

（3）将图象上的点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向上平移1个单位得到的图象．若函数在，内恰有4个零点，求的取值范围．

【分析】（1）由最值求出、，由周期求，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．

（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．

（3）利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的性值，求得的取值范围．

【解答】解：（1）由题意可得，，，故，．

，．

根据五点法作图，，，．

（2），，，

故当时，取得最大值为；当时，取得最小值为．

（3）将图象上的点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，

可得的图象；

再向上平移1个单位得到的图象．

当，，，，

若函数在，内恰有4个零点，则，

求得．

【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．

22．已知函数，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．

（1）求的值；

（2）求函数的解析式；

（3）若，求．

【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简的解析式，可得的值．

（2）由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．

（3）由题意求得的值，再利用诱导公式、二倍角公式，求得的值．

【解答】解：（1）函数，

故．

（2）将函数 的图象向左平移个单位，

得到函数的图象，

（3）若，则，

．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，属于中档题．