江苏省苏州市2021-2022学年高三上学期学业质量阳光指标调研数学试题

江苏省苏州市2021-2022学年高三上学期学业质量阳光指标调研数学试题

1. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为

A.  B. 0 C. 1 D. 2

2. 设集合，，则集合的元素个数为

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

3. 已知圆锥的高为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为

A.  B.  C.  D.

4. 在中，，点P在边BC上，则“”是“P为BC中点”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 记为等差数列的前n项和．若，则

A.  B.  C.  D.

6. 北京时间2021年10月16日0时23分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注．为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动．现有两队报名参加，两队均由两名高一学生和两名高二学生组成．比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率是

A.  B.  C.  D.

7. 已知，则下列不等式一定成立的是

A.  B.
C.  D.

8. 若斜率为的直线l与抛物线和圆分别交于和两点，且，则当面积最大时k的值为

A. 1 B.  C. 2 D.

9. 折纸发源于中国．19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车如图是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则
    

A.  B.
C.  D.

10. 下列命题正确的是

A. 若，为复数，则
B. 若，为向量，则
C. 若，为复数，且，则
D. 若，为向量，且，则

11. 已知函数，则

A. ，函数在R上均有极值
B. ，使得函数在R上无极值
C. ，函数在上有且仅有一个零点
D. ，使得函数在上有两个零点

12. 甲同学投掷骰子5次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为2，方差在区间内，则这五个点数

A. 众数可能为1 B. 中位数可能为3
C. 一定不会出现6 D. 出现2的次数不会超过两次

13. 记数列的前n项积为，写出一个同时满足①②的数列的通项公式：____________.

①是递增的等比数列；②

14. 设点P是曲线上的任意一点，则P到直线的最小距离是____________.
15. 已知分别为双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线C的渐近线的对称点E在C上，则双曲线C的离心率为____________.
16. 已知直三棱柱中，，，分别为棱的中点，过点作平面将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为，则__________；平面截此三棱柱的外接球的截面面积为__________.
17. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答下列题目．

在中，已知角的对边分别为，且

求A；

若M为边AC上一点，且，_________，求的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分






 

18. 若数列满足是不等于0的常数对任意恒成立，则称是周期为m，周期公差为d的“类周期等差数列”．已知在数列中，，

求证：是周期为2的“类周期等差数列”，并求的值；

若数列满足，求的前n项和






 

19. 2021年8月国务院印发《全民健身计划》，《计划》中提出了各方面的主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等．在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动．某瑜伽馆在9月份随机采访了100名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查．

能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关？
为了推广全民健身，某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，在全市范围内开设一期公益瑜伽课，先从上述参与调查的100人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出13人，再从13人中随机抽取2人免费参加．市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴，补贴方案为：男性每人1000元，女性每人500元．求补贴金额的分布列及数学期望四舍五入精确到元

附：

20. 如图，在四面体ABCD中，已知是边长为2的等边三角形，是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点．

若平面CEF，求线段CF的长；

若二面角的大小为，求CE与平面ABD所成角的大小．






 

21. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线PA与直线PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线

求曲线C的方程；

若点M为曲线C上的任意一点不含短轴端点，点，直线AM与直线BD交于点Q，直线DM与x轴交于点G，记直线AQ的斜率为，直线GQ的斜率为，求证：为定值．






 

22. 已知函数

判断的单调性，并说明理由；

若数列满足，，求证：对任意，

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了复数的基本概念，首先化简复数，根据纯虚数的定义即可得解，属于基础题.
【解答】
解：因为复数为纯虚数，
所以，所以
故选  

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查集合的并集的运算，属于基础题.
先求出集合A，再求并集即可得结果.
【解答】
解：，
，
，
中元素的个数为
故选  

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查圆锥的侧面展开图弧长的计算，涉及弧长公式，属于基础题.
设圆锥的母线长为l，底面半径为由圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即可求得答案．
【解答】
解：圆锥的高为，其侧面展开图为一个半圆，
设圆锥的母线长为l，底面半径为，则，
解得：，
圆锥的母线长为
故选  

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查充分必要条件的判定，属于基础题.分别从充分性，以及必要性两个角度分析问题，并得到结果即可.
【解答】
解：当“”时，如图，

取为BC中点，以A为圆心，为半径作圆，若圆与BC交于，则
若P在位置，则不满足“P为BC中点”
反之，若“P为BC中点”，则由直角三角形斜边中线等于斜边一半得“”
从而，“”是“P为BC中点”的必要不充分条件.  

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题.
先求出，再利用等差数列的通项公式即可求解.
【解答】
解：设公差为d
则
则  

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查利用古典概型求概率，属于基础题.
由组合数公式求出每队选出2名学生的方法数以及它们来自同一年级的方法数，由古典概型除法公式求得四位学生来自同一年级的概率，再由对立事件即可求解.
【解答】
解：第三轮比赛中被两队选取四位学生的方法数为，其中它们来自同一年级的方法数为2，
所以第三轮比赛中被两队选中的四位学生来自同一年级的概率是，
第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率是，
故选  

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了不等式性质，利用导数研究函数的单调性，函数的单调性与单调区间和特殊值法，属于中档题.
利用特殊值法对A、B和D进行判断，令和，利用导数研究函数的单调性和函数的单调性与单调区间得和，再利用不等式性质，计算得结论.
【解答】
解：对于令，，满足，而，故A不一定成立;
对于令，，满足，而，故B不一定成立;
对于令，则，
因此函数在上是增函数，所以在上，，即，
而，因此
令，则，
因此函数在上是减函数，所以在上，，
即在上，，而，因此，即，
所以由和得，故C一定成立;
对于令，，而，
即满足
又因为，
所以，故D不一定成立.  

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆的标准方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，属于较难题.
设直线，联立直线AB与与抛物线方程求得进而可得AB中点E的坐标，根据题意可知CD的中点为E，可得，根据斜率的关系可得，可得直线AB的方程为：；根据弦长公式求得CD，根据点到直线距离公式求得，即可求得EM的取值范围，根据面积可求得最大值，即可求得k的值.
【解答】
解：由题意可知，直线AB的斜率k存在，，圆心，半径，
设直线AB：，
联立直线AB与抛物线方程，消去x可得，，
则
所以AB中点E的纵坐标为，
所以，
因为，所以AB的中点即为CD的中点，
故，
所以，
化简得，，
可得直线AB：，
，解得，
根据圆的弦长公式可得，，
所以面积，
又，
所以，
因为，所以，
所以，
令，
所以，
当时，S取最大值，
此时，解得  

9.【答案】BCD
 

【解析】

【分析】
本题主要考查平面向量的数量积，加减运算，平面向量的基本定理等，属于中档题.
结合图形的对称性，逐一判断即可.
【解答】
解：由图可知，与不平行，A错误，

由图形对称性可得，，

，B正确，
由图形对称性可得四边形EHGF是正方形，所以，C正确，
设，
因为，

，D正确.  

10.【答案】AD
 

【解析】

【分析】
本题考查复数的模，向量的模，向量的数量积等，属于基础题.
利用向量的数量积，向量的模的运算，复数的模的运算法则等逐一判断即可.
【解答】
解：由复数的模的运算法则“乘积的模等于模的乘积，可知A正确，
，当时，，B错误，
取，，满足，但，C错误，
由得，
展开得，
所以，D正确，
故选  

11.【答案】BC
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值的应用，
根据已知及利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值的计算，可知正确的是哪几个.
【解答】
解：函数，
²，
当时，²恒成立，此时函数再在R上单调递增，无极值，故A错误；B正确；
²，
当时，²恒成立，此时函数再在R上单调递增，x趋近于负无穷大时，趋近于负无穷大，且，此时函数在上有且仅有一个零点；
当时，令，则或，所以函数在上单调递增，在上单调递减，x趋近于负无穷大时，趋近于负无穷大，且，，此时函数在上有且仅有一个零点；
当时，令，则或，所以函数在上单调递增，在上单调递减，x趋近于负无穷大时，趋近于负无穷大，且，此时函数在上有且仅有一个零点，
综上所述：，函数在上有且仅有一个零点，故C正确，D错误；  

12.【答案】ACD
 

【解析】

【分析】
本题考查数据的平均数、中位数、众数、方差，考查数学运算能力及数据分析能力，属于中档题.
可举例判断A；利用反证法可判断B、C、
【解答】
解：对于A，当这5个点数分别为1，1，1，3，4时，满足平均数为2，计算方差为，满足题意，故A正确；
对于B，若中位数为3，则点数最小的组合为1，1，3，3，3，此时平均数为，所以中位数不可能为3，故B错误；
对于C，假设这组数据出现点数6，又因为平均数为2，可计算方差大于，所以这5个点数一定不会出现6，故C正确；
对于D，假设2出现大于等于三次，又平均数为2，所以这5个点数为分别为1，2，2，2，3，或2，2，2，2，2，计算方差分别为，0，均不满足题意，所以出现2的次数不会超过两次，D正确.
故选  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查等比数列的通项公式以及函数特征，属于基础题.
取数列，验证符合①②即可.
【解答】
解：取数列，则数列是递增的等比数列，
因为，
，
所以成立.
故答案为  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查导数的几何意义以及点到直线的距离公式，体现了转化的数学思想，属于中档题．
作直线的平行线，使此平行线和曲线相切，由导数的几何意义得出切点，再由点到直线的距离公式即可得出结果.
【解答】
解：作直线的平行线，使此平行线和曲线相切，
则曲线的切线方程为的形式． 
对曲线求导，得，
令，得，解得，或舍去所以，
切点为，该点到直线的距离即为最小值，

故答案为  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
设，渐近线方程为，对称点为，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】
解：设，渐近线方程为，
的对称点为，
即有，
且，
解得，，
所以，
即，
代入双曲线的方程可得，
化简可得，即有，
解得或舍  

16.【答案】

【解析】

【分析】本题主要考查棱柱棱台的体积，球的表面积等，属于中档题.
把此直三棱柱补全为正方体，G为AD的中点，作出平面，先计算棱柱和棱台的体积，作差得，三棱柱的外接球即为正方体的外接球，先计算球心到平面的距离，由勾股定理得截面圆的半径，从而计算截面圆面积.
【解答】解：

把此直三棱柱补全为如图所示的正方体，
G为AD的中点，作出平面即为图中的平面，



，
，
所以，
如图建立空间直角坐标系，，，，
，，
三棱柱的外接球即为正方体的外接球，其半径，球心记为，
，
设平面的法向量为，则，
取，所以，
所以点O到平面的距离等于，
所以平面截此三棱柱的外接球的截面圆半径，
截面面积，
故答案为；  

17.【答案】解：由，得，
由正弦定理得
因为，所以，
所以，即
选①，设因为，所以
由余弦定理得，
解得
所以，所以的面积
选②，因为，所以
由正弦定理得，
解得，
由余弦定理得，解得
所以，所以的面积
选③，因为，所以
由，解得，
所以
由余弦定理得，解得
所以，所以的面积
 

【解析】本题考查三角形的正、余弦定理及三角形面积公式的应用，考查运算化简的能力，属于中档题．
正弦定理得，从而得到，可得角A；
选① 设，由余弦定理得到，再由三角形面积公式求得三角形ABC的面积；
若选②正弦定理得到，再由余弦定理求得，再由三角形面积公式求得三角形ABC的面积；
选③，由三角形面积公式，解得，从而得到BM，再由余弦定理求得，由三角形面积公式得到三角形ABC的面积.
 

18.【答案】证明：由，，相减得，
所以是周期为2，周期公差为4的“类周期等差数列”，
由，得，
所以
解：由，，得，
当n为偶数时，；
当n为奇数时，
综上所述，
 

【解析】本题主要考查数列的通项公式，考查数列的前n项的和，属于中档题.
由，，相减得，即可得证；
由，，得，分n为偶数时和n为奇数时，可得的前n项和
 

19.【答案】解：由已知得
，
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关．     
调查的100人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出13人，
其中男性人数为，女性人数为
记补贴金额为X，则X可能为1000，1500，
，，，
则X的分布列为

数学期望元
 

【解析】本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及独立性检验公式的应用，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．代入公式求得，即可求解．
调查的100人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出13人，其中男性人数为5，女性人数为8，记补贴金额为X，则X可能为1000，1500，2000，求出分布列，从而求得数学期望.
 

20.【答案】解：因为面，面，面面，
所以
又因为E为线段AB的中点，所以F为线段BG的中点，
因为G为线段BD的中点，且，所以
因为是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，所以
在直角中，
连接因为在等边中，G为BD的中点，所以
又因为是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，G为线段BD的中点，
所以，所以为二面角的平面角，
所以

以点C为原点，CB，CD所在的直线分别为x轴，y轴，过点C且垂直于面CBD的直线为z轴建立空间直角坐标系如图，
则
因为，所以，
所以，，
所以
设平面ABD的法向量为，则
即解得，
取其中一个法向量为
因为，所以，
设CE与平面ABD所成的角为，则
又，所以，即CE与面ABD所成角的大小为
 

【解析】本题主要考查线面平行的性质定理，考查利用空间向量求线面角及二面角，属于中档题.
由面，可证，根据三角形的性质即可得解；
连接由等边三角形和等腰三角形可得为二面角的平面角，建立空间直角坐标系，求出平面ABD的法向量为，设CE与平面ABD所成的角为，则，求出即可.
 

21.【答案】解：设动点，由题意可得，
所以曲线C的方程为
设AQ的直线方程为，
联立方程组得，
由，得，
代入直线方程得，
所以，
所以DM的直线方程为，
所以
联立方程组解得
所以，
所以为定值．
 

【解析】本题考查动点轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于较难题．
用坐标表示直线PA与PB的斜率因为直线PA与PB的斜率之积为定值，可得，即轨迹方程；
设AQ的直线方程为，与椭圆联立方程组，整理成一元二次方程，由根与系数的关系，得到两根和与积，代入直线方程得到DM的直线方程为，从而得到，
联立方程组解得，从而得到，可得结果.
 

22.【答案】解：的定义域是，
令，
因为，所以，所以在上单调递增，
所以
又，，从而，
所以在上单调递增；
设，
当时，，所以在上单调递增，
所以，即，
所以
由可知，即，
所以，即，从而
设，则
当时，，所以，
所以在上单调递增．
故当时，，即，
从而，即，即
因为，所以
综上，
 

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查导数中的函数不等式，属于较难题.
由题知，求函数的导数，令，，利用导数研究函数的单调性即可；
设，，可得，设，可得，从而，从而得证.