2020年江西省宜春市中考一模数学试题（含解析）

这是一份2020年江西省宜春市中考一模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

宜春市2020年九年级模拟考试数学试卷
一、选择题(共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项)
1. 2020的相反数是（ ）
A. 2020 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义，即可求解．
【详解】2020的相反数是：，
故选C．
【点睛】本题主要考查求一个数的相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 下列计算正确的是　　
A. B. (a3)2=a5 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂乘方，底数不变指数相乘；同底数相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、，正确；
B、应为，故本选项错误；
C、a与不是同类项，不能合并，故本选项错误
D、应为，故本选项错误．
故选A．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并．
3. 如图所示的几何体的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看是一个两个同心圆，故选：B．
【点睛】本题考查了三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4. 在“书香校园”活动中，学习委员对本班所有学生一周阅读时间(单位：小时)进行了统计，绘制了统计图，如图所示，根据统计图提供的信息，下列推断正确的是( )

A. 该班学生一周阅读时间为小时的有人 B. 该班学生一周阅读时间的众数是
C. 该班学生共有人 D. 该班学生一周阅读时间的中位数是
【答案】B
【解析】
【分析】结合折线统计图中的数据，依据众数、中位数的定义逐一判断即可得．
【详解】A．该班学生一周阅读时间为12小时的有6人，此选项错误；
B．该班学生一周阅读时间的众数是13小时，此选项正确；
C．该班学生共有4+7+6+11+8=36（人），此选项错误；
D．该班学生一周阅读时间的中位数是第18个数据，即中位数为13（小时），此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查折线统计图、中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的定义，利用数形结合的思想解答．
5. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，与双曲线交于点, 过点作轴，且，则以下结论错误的是（ ）

A.
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，随的增大而增大，随的增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象和函数的性质判断A即可；求出C的坐标即可判断B；根据图象和函数的性质判断C即可；求出F、E的纵坐标，即可求出EF，再判断D即可．
【详解】A、y1=2x-2，当y=0时，x=1，即OB=1，
∵OB=BD，
∴OD=2，
把x=2代入y=2x-2得：y=2，
即点C的坐标是（2，2），
把C的坐标代入双曲线得：k=4，故本选项不符合题意；
B、根据图象可知：当时，y1>y2，故本选项符合题意；
C、当x=4时，y1=2×4-2=6，，所以EF=6-1=5，故本选项符合题意；
D、从图象可知：当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数的图象和性质，能熟记函数的性质是解此题的关键，数形结合思想的运用．
6. 如图所示是个大小相同的正方形相连，共有正方形的项点个，从中任取个点为顶点构成正方形，共可以组成正方形的个数为( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的判定，画出正方形即可解决问题；
【详解】解：如图所示：一共有11个正方形．故选D.

【点睛】本题考查正方形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每题3分，共18分）
7. 因式分解：=_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ．

8. 国家发改委2月7日紧急下达第二批中央预算内投资2亿元人民币，专项补助承担重症感染患者救治任务的湖北多家医院重症治疗病区建设，其中数据2亿用科学记数法表示为_____元．
【答案】2×108
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法即可得出答案．
【详解】解：2亿＝200000000＝2×108．
故答案为：2×108．
【点睛】本题考查的是科学记数法：把一个数表示成的形式，其中，n为整数．
9. 《九章算术》 中有一道题是：“ 今有大器五小器一容三斛， 大器小器五容二斛．问大、小器各盛几斛?”大致意思是：有大小两种盛米的桶，大桶加小桶共盛斛米，大桶加小桶共盛斛米，问每个大桶和小桶各盛米多少斛?设每个大桶盛x斛，每个小桶盛斛，则可列方程组为________．(注: 斛是古代一种容量单位)
【答案】
【解析】
【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．
【详解】解：设每个大桶盛x斛，每个小桶盛斛,
根据题意得：.
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
10. 若方程的两根分别是和，且_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵方程的两根分别是和，
∴+=4，=-5.
∴=.
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
11. 如图，面积的直角三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是的2倍，则图中四边形的面积为__________．

【答案】24
【解析】
【分析】根据平移的性质可以知道四边形ACED的面积是三个△ABC的面积，依此计算即可．
【详解】∵平移的距离是边BC长的两倍，

∴BC=CE=EF，
∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积；
∴四边形ABED的面积=6×(1+3)=24cm.
故答案为24.
【点睛】此题考查平移的性质，解题关键在于得出四边形ACED的面积是三个△ABC的面积.
12. 如图，在中，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接．若以为直径的与的边相切，则的值为_______．

【答案】或或
【解析】
【分析】分当⊙O与BC相切、⊙O与AB相切，⊙O与AC相切时，三种情况分类讨论即可得出结论．
【详解】解：设运动时间为t秒（0 在直角三角形ABC中，由勾股定理，得AB==10.
当为直径的与的边AB相切时，∠BMN=90°=∠C，又因为∠B=∠B，所以△BMN∽△BCA，∴=，解得t=；当为直径的与的边BC相切, ∠BNM=90°=∠C，又因为∠B=∠B，所以△BMN∽△BAC，所以=，解得t=1;当为直径的与的边AC相切,如图,过点O作OH⊥AC于点H，交PM于点Q，

OH=OQ+QH=PM+PC=（8t-8）+（8-4t）=4，
∴MN=2OH=8，
∴73t2-128t+64=64
解得t1=0，t2=.
故t的值为或或.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及圆的综合知识；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键，此类题目为中考的热点考题之一，应加强训练．
三. 解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13. （1）解不等式：
（2）如图，已知是的角平分线，交于点交于点．求证：四边形为菱形．

【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出解集即可；
（2）先证明四边形ADEF是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质得出，根据等角对等边得出，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．
【详解】（1）
解：



不等式的解集为：
证明：交于点交于点
四边形是平行四边形，
是的角平分线，

,

四边形是菱形．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式以及菱形的判定，比较简单，熟练掌握平行四边形与菱形的关系是解题的关键．
14. 先化简，再求值，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
【详解】解：原式




当时，原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
15. 如图，以等腰三角形的底边为直径的圆，与另两边分别交于点,请你仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹，不写画法)
（1）在图1中，画一条直线与平行．

（2）在图2中，画一个以为对角线的矩形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）结合圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质，可知DE∥AB；
（2）结合圆周角定理及等腰三角形的性质和矩形的判定，可知四边形ADBF即为所求作.
【详解】（1）连接DE，DE即为所求；

（2）连接BD,AE相交于点M,连接CM并延长交AB于点O,连接DO并延长交圆于点N，连接AN,BN,四边形ADBN即为所求.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
16. 2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：．“解密世园会”、．“爱我家，爱园艺”、．“园艺小清新之旅”和．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．
(1)李欣选择线路．“园艺小清新之旅”的概率是多少？
(2)用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】(1)由概率公式即可得出结果；
(2)画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【详解】解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，
∴在四条线路中，李欣选择线路．“园艺小清新之旅”的概率是；
(2)画树状图分析如下：
共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，
∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为．

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17. 如图，一次函数的图象与轴的负半轴相交于点，与轴相交于点，且．
（1）求点的坐标及的值；
（2）过点作直线与轴的正半轴相交于点，求的面积．

【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）先利用，可求出，所以，再利用计算出OB=2，则；然后把点代入，可求出m的值；
（2）先证明，从而求出，即可求出
【详解】（1）由一次函数，
令，得




解得

把点代入
得
解得
（2）

，
,
又∵，





∴.
【点睛】本题考查了两直线相交的问题，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积和相似三角形的判定和性质及正切函数的定义等，得到点B的坐标是解题的关键．
四、(本大题共3小题， 每小题8分，共24分)
18. 钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020 年新冠肺炎防控知识测试》试卷(满分100 分)，为了解社区500人此次答题(百分制)的情况，随机抽取了部分居民的成绩,整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图(如图) ．请根据图表信息解答以下问题:
组别
分数/分
频数














（1）本次调查共随机抽取了 名居民的成绩；
（2）统计表中 ；
（3）所抽取的居民的成绩的中位数落在的“组别”是 ；
（4）请你估计，该社区居民成绩达到分以上(含分)约有多少人．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）该社区居民成绩达到分以上(含分)约有人．
【解析】
【分析】（1）利用D组的人数除以其所占调查人数的百分比即可求出结论；
（2）利用调查人数减去B组、C组和D组的人数即可求出结论；
（3）根据中位数的定义即可得出结论；
（4）利用500乘以成绩达到分以上(含分)的人数所占调查人数的百分比即可求出结论．
【详解】解：（1）调查人数为18÷36%=50名
故答案为：50；
（2）50－10－14－18=8
故答案为：8；
（3）将成绩从小到大排列后，所抽取的居民的成绩的中位数落在的“组别”是C
故答案为：C；
（4）500×=320人
答：该社区居民成绩达到分以上(含分)约有320人．
【点睛】此题考查的是统计表和扇形统计图，结合统计表和扇形统计图得出有用信息是解决此题的关键．
19. 如图1所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后，然后再慢慢回收．图2为示意图，已知在初始位置，, 点在同一直线上，．

（1）当在初始位置时，求点到的距离；
（2）当双腿伸直后，如图3，点分别从初始位置运动到点， 假设三点共线，求此时点上升的竖直高度． ( 结果精确到个位) (参考数据:)
【答案】（1）点到的距离约为；（2）点上升的竖直高度约为．
【解析】
【分析】（1）过点作于点，从而构造出直角三角形，再利用锐角三角函数解直角三角形即可得解；
（2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，从而构造出直角三角形，再利用锐角三角函数解直角三角形即可得解．
【详解】（1）如图，过点作于点

∵，
∴
∵
∴
∴在中，，
∴
∴点到的距离约为；
（2）如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图：

∵，
∴
∴中，，
∴
∴
在中，，
∴
在中，，
∴
∴
∴点上升的竖直高度约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，能够在实际情景中抽象出数学问题并能用数学方法进行解决是解决问题的关键．
20. 如图，在中，，以为直径的分别交于点，点在的延长线上，且，延长交的切线于点，过点作于点，交于点．

（1）求证：为的切线；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）连接AN，通过角度的转化，得到∠ABN+∠HBC=90°，即∠ABH=90°，又OB为半径，所以BH是的切线；（2）连接OD，通过切线的性质，OA=OD，推导出，从而得到cos∠AED=，即可得到EF与DE之间的数量关系，在直角三角形EFD中，通过勾股定理即可求出ED的长.
【详解】证明：连接
为直径

,





即
为的切线;

解：连接
为的切线










∴cos∠AED=，



解得
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、勾股定理的应用、等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识点．
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21. 某超市购进一批成本为每件元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量(件)与销售单价(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
（2）若超市按单价不低于成本价，且不高于元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润(元)最大?
（3）若超市要使销售该商品每天获得利润为元，则每天的销售量应为多少件?

【答案】（1）；（2）销售单价定为元时，该超市每天的利润最大；（3）每天的销售量应为件．
【解析】
【分析】（1）将点代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得，即可求解；
（3）由题意得，解一元二次方程即可得到结论．
【详解】（1）设与销售单价之间的函数关系式为:
将点代入一次函数表达式得
解得
故函数的表达式为：
（2）由题意得
，
故当时，随的增大而增大，而
当时，有最大值
故销售单价定为元时，该超市每天的利润最大;
（3）由题意得
解得
每天的销售量

每天的销售量应为件
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．
22. 将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，，连接．
（1）如图1,若三点在同一条直线上，则与的关系是 ；

（2）如图2，若三点不在同一条直线上,与相交于点，连接,猜想之间的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，在(2)的条件下作的中点,连接，直接写出与之间的关系．
【答案】（1）且；（2）；证明见解析；（3）且．
【解析】
【分析】（1）根据题意利用全等三角形判定与性质以及延长AC交BD于点C’进行角的等量代换进行分析即可；
（2）根据题意在上截取,连接，并全等三角形的判定证明和，进而利用勾股定理得出进行分析求解即可；
（3）过点B作BM∥OC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD于点N，证明∆BFM≅∆CFO，∆AOD≅∆OBM，进而即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
延长AC交BD于点C’，如下图：

∵，
∴，
即，综上且，
故答案为：且；

证明:在上截取,连接




在和中



在和中






即


；
且，理由如下：
过点B作BM∥OC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD于点N，
∵BM∥OC，
∴∠M=∠FOC，
∵∠BFM=∠CFO，BF=CF,
∴∆BFM≅∆CFO（AAS），
∴OF=MF，BM=CO，
∵DO=CO，
∴DO=BM，
∵BM∥OC，
∴∠OBM+∠BOC=180°，
∵∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°，
∴∠OBM=∠AOD，
又∵AO=BO，
∴∆AOD≅∆OBM（SAS），
∴AD=OM=2OF ，∠BOM=∠OAD，
∵∠BOM+∠AON=180°-90°=90°，
∴∠OAD+∠AON=90°，即OF⊥AD．
∴且．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.
六、(本大题共 12分)
23. 在平面直角坐标系中，正方形.... 按如图的方式放置．点和点分别落在直线和轴上．抛物线过点,且顶点在直线上，抛物线过点，且顶点在直线上，...按此规律，抛物线,过点, 且顶点也在直线上，其中抛物线交正方形的边于点，抛物线交正方形的边于点(其中且为正整数) ．

（1）直接写出下列点的坐标： ， ；
（2）写出抛物线的解析式，并写出抛物线的解析式求解过程，再猜想抛物线的顶点坐标；
（3）设，试判断与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）；（2）抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为，抛物线的解析式过程见解析；抛物线的顶点坐标为；（3）与的数量关系为，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）先求出A1坐标，根据正方形性质，求出B1坐标，进而求出A2坐标，最后求出B2坐标；
（2）根据A2点B2的坐标求出抛物线的对称轴，根据的顶点在上求出顶点坐标，进而利用顶点式求出解析式；根据A3B3的坐标求出抛物线的对称轴，根据的顶点在上求出顶点坐标，进而利用顶点式求出解析式；写出三条抛物线的顶点坐标，找出规律，写出 的顶点坐标；
（3）根据（2）求出D1，D2坐标，进而求出，，，长， 最后求出，比较即可 ．
【详解】解：（1）把x=0代入得y=-1，∴点A1坐标为(0，-1) ；
∵四边形 是正方形
∴A1 B1=1，∴点B1坐标为(0，-1) ；
把x=1代入得y=-2，∴点A2坐标为(1，-2) ；
∵四边形是正方形
∴A2 B2=2，∴点B2坐标为(3，-2) ；
∴
（2）解：由（1）得点A2坐标为(1，-2)，点B2坐标为(3，-2)，
抛物线的对称轴为直线
把代入得，
抛物线的顶点为
设抛物线的解析式为：
抛物线过点
当时，

解得
抛物线的解析式为：
把代入得，∴点A3坐标为(3，-4)
∵四边形 是正方形
∴A3 B3=4，∴点B3坐标为(7，-4) ；
∴抛物线的对称轴为直线
把代入得，
抛物线的顶点为
设抛物线的解析式为: ，
抛物线过点

解得
抛物线的解析式为：，
根据抛物线的顶点为
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点为
得抛物线的顶点坐标为
（3）与的数量关系为
理由如下；由（2）得抛物线的解析式为
当时，
解得（舍去）

即
由（2）得抛物线的解析式为
当时，
解得（舍去）



即
．
【点睛】本题考查了一次函数，二次函数解析式求法及平面直角坐标系中点的规律等知识，综合性较强，图形较为复杂，根据函数解析式求点的坐标和顶点式求二次函数解析式是解题重点．根据题目特点，逐项分析，找出点的规律是解题关键．