专题1 平面向量与复数回顾巩固卷-2021-2022学年高一数学下学期期末复习备考精准测试卷（人教A版2019必修第二册）

高一下学期期中复习备考精准测试卷---第一篇  回顾巩固卷

                         专题1  平面向量与复数

                 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】由复数除法求得后可得其对应点坐标，从而得出正确选项．

【详解】由题意，对应点为，在第四象限．

2．已知非零向量，满足，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解:

【答案】C

【分析】根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.

【详解】，

，∴等价于，

3．已知复数，是z的共轭复数，若·a=2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（    ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

【答案】A

【分析】根据共轭复数的定义，结合复数的运算性质和复数相等的性质进行求解即可.

【详解】因为，所以，因此，所以且则.

4．已知非零向量满足，=．若，则实数t的值为

A．4 B．–4 C． D．–

【答案】B

【详解】由，可设，又，所以

所以，故选B．

5．设，是两个不共线的向量，若向量(k∈R)与向量共线，则（    ）

A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝

【答案】D

【分析】根据向量共线定理可得，再由与是不共线向量，得，解方程组即可求解.

【详解】由共线向量定理可知存在实数λ，使，即，

又与是不共线向量，∴，解得

6．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.

【详解】由题得

即，解得，即，

7．为内一点，且，，若，，三点共线，则的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由有,所以,因为，，三点共线,所以,则,故有,,选A.

8．若非零向量满足，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．

【详解】，，，又，

 ，又向量夹角范围为，所以与的夹角为，

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列关于复数的说法，其中正确的是（    ）

A．复数是实数的充要条件是

B．复数是纯虚数的充要条件是

C．若，互为共轭复数，则是实数

D．若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称

【答案】AC

【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数，设，则，所以是实数，故正确；对于：若，互为共轭复数，设，则，所对应的坐标分别为，，这两点关于轴对称，故错误；

10．已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且()∥，下列说法正确的是（    ）

A．a与b的夹角为钝角        B．向量a在b方向上的投影为

C．2m+n=4                   D．mn的最大值为2

【答案】CD

【分析】对于A，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()∥判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.

【详解】对于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，则，则的夹角为锐角，错误；

对于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，则向量在方向上的投影为，错误；对于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，则 (1，2)，若()∥，则(﹣n)=2(m﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；

对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn (2m•n) ()2=2，即mn的最大值为2，正确；

11．已知为的重心，为的中点，则下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.

【详解】如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A正确；对于B选项，，由于为三等分点靠近点的点，，所以，故正确；对于C选项，，故C错误；对于D选项，，故D正确.

12．已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（    ）

A．，的夹角是 B．，的夹角是或

C．或 D．或

【答案】BC

【分析】向量模平方转化为的二次函数的最小值问题.

【详解】设的夹角为，由题可知，

，，是两个单位向量，且的最小值为，的最小值为，则，解得，与的夹角为或，或，或.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．若复数，则实数的值为________.

【答案】3

【分析】由题意知为实数，实部大于或等于，虚部等于，即可求解.

【详解】因为复数不能比较大小，所以为实数，可得解得，

所以实数的值为，

14．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且，，则________.

【答案】2

【分析】由向量加减法的几何意义，求得，由为线段的中点，得到，即可求解.

【详解】以为临边作平行四边形，如图所示，由向量加减法的几何意义，可知，因为，所以，又由，且为线段的中点，所以.

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．

【答案】

【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解，，再利用运算律转化求即可.

【详解】∵，，

∴，∴，，

∴，

∵, ,，

16．（本题第一空2分，第二空3分）已知单位向量，，满足，则的最大值为______；最小值为_______．

【答案】       

【分析】设，则，两边平方后利用可得关于的不等式，从而可求的最值.

【详解】设，则，因为，故，故，即，因为，为单位向量，所以，两边平方得．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知点.

(1)求的坐标及;

(2)若＝＋，＝－，求及的坐标;

(3)求·.

【答案】(1), ;(2)，;(3).

【分析】

（1）先求得的坐标，然后求得它的模.（2）利用加法和减法的坐标表示求得及的坐标.（3）根据数量积的坐标表示求得

【详解】（1）依题意，所以.

（2）＝＋，＝－.

（3）.

18．（12分）已知复数（，i为虚数单位），且为实数.

（1）求复数z；

（2）设复数（x，）满足，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【分析】

(1)设复数，化简, 由复数的相等求解.
(2) 设（x，）,由得，可得 的关系，从而解出答案.

【详解】（1）由（），得，为实数，

，.

（2）设（x，），，，，即，，即复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆.

的最小值为.

19．（12分）已知．

（1）若向量，求的值；

（2）若向量，证明：．

【答案】（1）；（2）详见解析.

【分析】

（1）根据两角和的正切公式求，再表示；

（2）根据公式计算的值，再根据向量平行的坐标表示判断两向量平行.

【详解】（1）因为，所以

所以

（2）因为

所以.所以。

20．（12分）在中，已知.

（1）求角；  （2）若，，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据不为0，得出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；

（2）利用余弦定理列出关系式，将已知条件利用平面向量的数量积运算法则化简后代入求出的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展开，将各自的值代入开方即可求出值.

【详解】（1）原式可化为：

，

，，， 又，；

（2）由余弦定理，得，

，，，

， .

21．（12分）已知 是平面内两个不共线的非零向量，=，且A，E，C三点共线．

（1）求实数λ的值；

（2）若，求的坐标；

（3）已知，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．

【答案】（1）；（2）(－7，－2)；（3）(10，7)．

【分析】

（1）=k， 得到.由不共线，得到，求解得到的值；

（2）利用平面向量的坐标运算计算即可；

（3）设A(x，y)，由，利用向量的坐标运算求解即可.

【详解】（1）.因为A，E，C三点共线，

所以存在实数k，使得=k， 即，得.

因为是平面内两个不共线的非零向量，所以解得.

（2）．

（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以.设A(x，y)，则，

因为，所以解得即点A的坐标为(10，7)．

22．（12分）在中，角、、的对边分别为、、，已知.

（1）若的面积为，求的值；

（2）设，，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用三角形的面积公式可求得的值，再利用平面向量数量积的定义可求得的值；

（2）由结合二倍角公式可求得，求得和的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.

【详解】（1），，则，的面积为，.因此，；

（2），，且，所以，，即，.，，.

，

，

因此，.