北师大九下数学 难点专题：二次函数的综合题【勇于探究的能力】

这是一份北师大九下数学 难点专题：二次函数的综合题【勇于探究的能力】，共7页。试卷主要包含了求最值，求直角三角形的存在性问题，与面积相关的问题等内容，欢迎下载使用。

eq \a\vs4\al(◆)类型一 抛物线与三角形的综合
一、求最值
1．如图，抛物线y＝x2－bx＋c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴是直线x＝2.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题
2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【易错4】
3．★如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，与直线y＝x－2交于B，C两点．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)求证：△ABC是直角三角形；
(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
三、与面积相关的问题
4．如图，坐标平面上，二次函数y＝－x2＋4x－k的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0.若△ABC与△ABD的面积比为1∶4，则k的值为( )
A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(4,3) D.eq \f(4,5)
5．★如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2eq \a\vs4\al(◆)类型二 抛物线与特殊四边形的综合
6．抛物线y＝－x2＋6x－9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是( )
A．(－6，0) B．(6，0) C．(－9，0) D．(9，0)
7．如图，在平面直角坐标系中，沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形，其长、宽分别为4，2，则过A，B，C三点的拋物线的函数关系式是________________．
如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2(a＜0)上，则a的值为________．
9．正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点．
(1)建立适当的平面直角坐标系，
①直接写出O，P，A三点坐标；
②求抛物线l的解析式；
(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．
参考答案与解析
1．解：(1)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－b＋c＝0，,\f(b,2)＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝4，,c＝3.))∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.
(2)存在．∵点A与点C关于直线x＝2对称，∴连接BC与直线x＝2交于点P，则点P即为所求．根据抛物线的对称性可知点C的坐标为(3，0)．∵y＝x2－4x＋3，∴点B的坐标为(0，3)．设直线BC的解析式为y＝mx＋n，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3m＋n＝0，,n＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝3.))∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，∴直线BC与直线x＝2的交点坐标为(2，1)，即点P的坐标为(2，1)．
2．解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,c＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，,c＝－3.))∴抛物线的函数关系式为y＝x2－2x－3.
(2)当点P在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时点P的横坐标为－eq \f(b,2a)＝1，故点P的坐标为(1，0)．
(3)点M的坐标为(1，－1)，(1，eq \r(,6))，(1，－eq \r(,6))，(1，0)． 解析：抛物线的对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＝1.设点M的坐标为(1，m)．已知A(－1，0)，C(0，－3)，则
MA2＝m2＋4，MC2＝(m＋3)2＋1＝m2＋6m＋10，AC2＝12＋32＝10.①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得m2＋4＝m2＋6m＋10，解得m＝－1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得m2＋4＝10，解得m＝±eq \r(,6)；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得m2＋6m＋10＝10，解得m1＝0，m2＝－6，当m＝－6时，M，A，C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上所述，符合条件的点M的坐标为(1，－1)，(1，eq \r(,6))，(1，－eq \r(,6))，(1，0)．
3．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋1.又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x.联立抛物线和直线解析式可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x2＋2x，,y＝x－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－3，))∴点B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(－1，－3)．
(2)证明：分别过A，C两点作x轴的垂线，交x轴于点D，E两点，则AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB＋OE＝2＋1＝3，CE＝3，∴BE＝CE，∴∠ABO＝∠CBO＝45°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝90°，∴△ABC是直角三角形．
(3)解：假设存在满足条件的点N，设点N的坐标为(x，0)，则点M的坐标为(x，－x2＋2x)，∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|.由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB＝eq \r(,2)，BC＝3eq \r(,2).∵MN⊥x轴，∴∠MNO＝∠ABC＝90°，∴当△ABC和△MNO相似时，有eq \f(MN,AB)＝eq \f(ON,BC)或eq \f(MN,BC)＝eq \f(ON,AB).①当eq \f(MN,AB)＝eq \f(ON,BC)时，则有eq \f(|－x2＋2x|,\r(,2))＝eq \f(|x|,3\r(,2))，即|x||－x＋2|＝eq \f(1,3)|x|.∵当x＝0时，M，O，N不能构成三角形，∴x≠0，∴|－x＋2|＝eq \f(1,3)，即－x＋2＝±eq \f(1,3)，解得x＝eq \f(5,3)或x＝eq \f(7,3)，此时点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，0))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，0))；②当eq \f(MN,BC)＝eq \f(ON,AB)时，则有eq \f(|－x2＋2x|,3\r(,2))＝eq \f(|x|,\r(,2))，即|x||－x＋2|＝3|x|，∴|－x＋2|＝3，即－x＋2＝±3，解得x＝5或x＝－1，此时点N的坐标为(－1，0)或(5，0)．综上所述，存在满足条件的N点，其坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，0))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，0))或(－1，0)或(5，0)．
4．D 解析：∵y＝－x2＋4x－k＝－(x－2)2＋4－k，∴顶点D的坐标为(2，4－k)，点C的坐标为(0，－k)，∴OC＝k.∵△ABC的面积为eq \f(1,2)AB·OC＝eq \f(1,2)AB·k，△ABD的面积为eq \f(1,2)AB·(4－k)，△ABC与△ABD的面积比为1∶4，∴k＝eq \f(1,4)(4－k)，解得k＝eq \f(4,5).故选D.
5．解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y＝ax2＋bx，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＋2b＝4，,36a＋6b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝3.))
(2)如图，过A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F.则S△OAD＝eq \f(1,2)OD·AD＝eq \f(1,2)×2×4＝4.S△ACD＝eq \f(1,2)AD·CE＝eq \f(1,2)×4×(x－2)＝2x－4，S△BCD＝eq \f(1,2)BD·CF＝eq \f(1,2)×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x2＋3x))＝－x2＋6x.则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x.∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(26．D 解析：令x＝0，得y＝－9，∴点B的坐标为(0，－9)．∵y＝－x2＋6x－9＝－(x－3)2，∴点A的坐标为(3，0)，对称轴为直线x＝3.∵点C在抛物线上，且四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥x轴，∴点C的坐标为(6，－9)，∴BC＝6，∴AD＝6，∴点D的坐标为(9，0)．故选D.
7．y＝－eq \f(5,12)x2－eq \f(1,2)x＋eq \f(20,3) 解析：依题意得A点的坐标为(－4，2)，B点的坐标为(－2，6)，C点的坐标为(2，4)．设抛物线的函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(16a－4b＋c＝2，,4a－2b＋c＝6，,4a＋2b＋c＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(5,12)，,b＝－\f(1,2)，,c＝\f(20,3).))∴抛物线的函数关系式为y＝－eq \f(5,12)x2－eq \f(1,2)x＋eq \f(20,3).
8．－eq \f(\r(,2),3) 解析：连接OB.∵四边形OABC是边长为1的正方形，∴∠BOC＝45°，OB＝1×eq \r(,2)＝eq \r(,2).过点B作BD⊥x轴于点D.∵OC与x轴正半轴的夹角为15°，∴∠BOD＝45°－15°＝30°，∴BD＝eq \f(1,2)OB＝eq \f(\r(,2),2)，∴OD＝eq \r(,OB2－BD2)＝eq \r(,（\r(,2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(,6),2)，∴点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,6),2)，－\f(\r(,2),2))).∵点B在抛物线y＝ax2(a＜0)上，∴aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,6),2)))eq \s\up12(2)＝－eq \f(\r(,2),2)，解得a＝－eq \f(\r(,2),3).
解：(1)以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．
①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，∴点O的坐标为(0，0)，点A的坐标为(4，0)，点P的坐标为(2，2)．
②设抛物线l的解析式为y＝ax2＋bx＋c.由抛物线l经过O，P，A三点，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝c，,0＝16a＋4b＋c，,2＝4a＋2b＋c，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝2，,c＝0.))∴抛物线l的解析式为y＝－eq \f(1,2)x2＋2x.
(2)∵点E是正方形内的抛物线l上的动点，∴设点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(1,2)m2＋2m))(0＜m＜4)，∴S△OAE＋S△OCE＝eq \f(1,2)OA·yE＋eq \f(1,2)OC·xE＝eq \f(1,2)×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)m2＋2m))＋eq \f(1,2)×4m＝－m2＋4m＋2m＝－(m－3)2＋9，∴当m＝3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9.