高中人教版 (2019)1 简谐运动学案设计

简谐运动

1．了解机械振动的概念，知道弹簧振子是一种理想化模型。

2．知道简谐运动及其运动特点。

3．知道简谐运动的位移及其图像特点。

知识点一　弹簧振子

[情境导学]

图甲为正在荡秋千的儿童，图乙为正在使用中的摆钟，图丙为正在演奏中的吉他。

请思考：(1)正在荡秋千的儿童、正在使用中的摆钟的摆锤、正在演奏中的吉他的琴弦等的运动有什么共同点？

(2)这样的运动是什么运动？

提示：(1)上述物体运动的共同点是物体总是在某一位置附近做往复性的运动。

(2)机械振动。

[知识梳理]

1．机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动。

2．平衡位置：振动物体所受合力为0的位置。

3．弹簧振子：如图所示，带有小孔的小球连接在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球套在光滑的杆上能够自由滑动，这样的小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，简称为振子。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)平衡位置即为速度为零的位置。(×)

(2)平衡位置为振子能保持静止的位置。(√)

(3)弹簧振子在生活中是真实存在的。(×)

(4)竖直弹簧振子的平衡位置是弹簧的原长位置。(×)

2．下列几种运动不属于机械振动的是(　　)

A．乒乓球在地面上的上下运动

B．弹簧振子在竖直方向的上下运动

C．秋千在空中来回运动

D．浮于水面上的圆柱形玻璃瓶上下振动

解析：选A　机械振动是物体在平衡位置两侧做往复运动，乒乓球的上下运动不是在平衡位置两侧的往复运动，故选A。

知识点二　简谐运动及其图像

[情境导学]

如图所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹。

请思考：

(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？

(2)振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹又是怎样的？

提示：(1)一条平行于运动方向的直线。

(2)一条正弦曲线。

[知识梳理]

1．弹簧振子的位移—时间图像

(1)建立坐标系：水平的弹簧振子，以小球的平衡位置为坐标原点，沿着它的振动方向建立坐标轴。小球在平衡位置右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负。

(2)绘制图像：用横轴表示振子运动的时间t，纵轴表示振子在振动过程中离开平衡位置的位移x，振子振动的x ­t图像如图所示，是一条正弦(或余弦)曲线。

2．简谐运动

(1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x ­t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。

(2)特点：简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动。

3．简谐运动的振动图像(x ­t图像)

如图所示：

(1)简谐运动的振动图像描述振动物体的位移随时间的变化规律。

(2)简谐运动的振动图像是正弦(或余弦)曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度大小和方向的变化趋势。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)简谐运动就是指弹簧振子的运动。(×)

(2)简谐运动是一种匀变速直线运动。(×)

(3)简谐运动的振动图像就是振子运动轨迹。(×)

(4)简谐运动的x ­t图像是一条正(余)弦曲线。(√)

2．如图甲所示，一个水平方向的弹簧振子，其振动图像如图乙所示，如果规定向右为位移的正方向，则小球在1 s末的位置是(　　)

A．在0点右侧5 cm　　 B．在0点左侧5 cm

C．在0点左侧15 cm D．在0点右侧

解析：选B　由振动图像可知小球在1 s末的位移为－5 cm，由于规定向右为位移的正方向，所以1 s末小球在平衡位置左侧5 cm处，故B正确，A、C、D错误。

[问题探究]

如图甲、乙所示，两装置可以看成水平方向、竖直方向的弹簧振子，需要满足什么条件？

提示：(1)弹簧的质量很小，相对于小球的质量可以忽略不计；

(2)水平杆的摩擦力、空气阻力可以忽略不计。

[要点归纳]

1．弹簧振子是理想化的物理模型，类似于我们学习的质点、点电荷模型。

2．实际物体看成弹簧振子的四个条件

(1)弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子(小球)。

(2)构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。

(3)忽略弹簧及小球与水平杆之间的摩擦力。

(4)弹簧被拉伸(压缩)的长度在弹性限度内。

3．对平衡位置的理解

(1)不振动时振子静止的位置：①水平弹簧振子的平衡位置在弹簧的原长位置；②竖直弹簧振子的平衡位置在弹力与重力平衡的位置。

(2)振动过程中振子经过平衡位置时速度最大而不是为零。

[例题1]　如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是(　　)

A．钢球运动所能达到的最低处为平衡位置

B．钢球原来静止时的位置为平衡位置

C．钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为－3  cm

D．钢球振动到距原静止位置上方2  cm处时位移为2  cm

[解析]　振子平衡位置的定义为振子原来静止时的位置，故A错误，B正确；振子的位移为从平衡位置指向某时刻所在位置的有向线段，根据题意可判断C、D错误。

[答案]　B

(1)简谐运动的位移都是以平衡位置为初位置、物体所在的即时位置为末位置。

(2)对于水平弹簧振子，振子的位移大小与弹簧的形变量大小一定相等；而对于竖直弹簧振子，要注意振子的位移与弹簧的形变量一定不相等。　　　　

[针对训练]

1．关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是(　　)

A．平衡位置就是物体振动范围的中心位置

B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移

C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也就越大

D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移

解析：选B　平衡位置是物体静止时所处的位置，所以应与受力有关、与是否为振动范围的中心位置无关，所以A错误；振动位移是以平衡位置为初始点，到振动物体所在位置的有向线段，振动位移随时间而变化，振动物体偏离平衡位置最远时，振动位移最大，选项B正确，D错误；振动物体的位移与运动的路程没有关系，C错误。

2．如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子离开O点，再从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是(　　)

A．大小为OC，方向向左

B．大小为OC，方向向右

C．大小为AC，方向向左

D．大小为AC，方向向右

解析：选B　振子离开平衡位置的位移是以O点为起点，C点为终点，所以位移大小为OC，方向向右，B正确。

[要点归纳]

1．简谐运动的运动性质

简谐运动是变加速往复直线运动，不是匀变速直线运动。

2．简谐运动的三个特点

[例题2]　如图所示的一弹簧振子，设向右为正方向，O为平衡位置，则下列过程中对于各量的描述正确的是(　　)

A．A→O时，位移为负，速度为正，加速度增大

B．O→B时，位移为正，加速度为负，加速度增大

C．B→O时，位移为负，速度为正，速度增大

D．O→A时，位移为负，加速度为正，速度增大

[解析]　位移方向是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段；加速度方向总是指向平衡位置；而速度方向要具体看弹簧振子的运动以及正方向的规定。规定向右为正方向，A→O或O→B速度为负，O→A或B→O速度为正；在A→O、B→O的过程中速度是增大的，加速度是减小的；在O→A、O→B的过程中速度是减小的，加速度是增大的。故选C。

[答案]　C

判断简谐运动中位移、速度、加速度的技巧

(1)判断正负：要看其方向与规定正方向的关系。

(2)判断大小变化：要看是处于远离平衡位置的过程中还是处于靠近平衡位置的过程中。

(3)注意简谐运动中位移与速度的矢量性。

①位移相同时，物体的速度大小相等，但方向可能相反，也可能相同。

②速度大小相同时，物体的位移大小相等，位移的方向可能相同，也可能相反。　　　　

[针对训练]

1．如图所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，当振子从平衡位置O向a运动过程中(　　)

A．加速度和速度均不断减小

B．加速度和速度均不断增大

C．加速度不断增大，速度不断减小

D．加速度不断减小，速度不断增大

解析：选C　当振子从平衡位置O向a运动的过程中，弹簧的弹力逐渐增大，根据牛顿第二定律知，加速度逐渐增大，加速度的方向与速度的方向相反，振子做减速运动，则振子速度减小，选项C正确，A、B、D错误。

2．以弹簧振子为例，振子做简谐运动的过程中，有两点A、A′关于平衡位置对称，则振子(　　)

A．在A点和A′点的位移相同

B．在A点和A′点的位移大小相同

C．在两点处的速度不可能相同

D．在两点处的速度一定相同

解析：选B　由于A、A′关于平衡位置对称，所以振子在A、A′点时位移大小相等，方向相反，速率一定相同，但速度方向可能相同、也可能相反，故选项B正确。

[要点归纳]

1．物理意义：表示振动质点离开平衡位置的位移随时间的变化规律。

2．利用图像获取的信息

(1)任意时刻质点位移的大小和方向。如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。

(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点此刻向上振动。图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故b此刻向上        振动。

(3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断：先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化。如图甲所示，在t1时刻到t0时刻这段时间内，质点的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；t2时刻到下一时刻，质点从负位移处远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大。

[例题3] 一质点做简谐运动的图像如图所示，则该质点(　　)

A．在t＝0.015 s时刻，速度和加速度都沿－x方向

B．在0.01～0.03 s时间内，速度与加速度先反方向后同方向，且速度是先减小后增大，加速度是先增大后减小

C．在第八个0.01 s时间内，速度与位移方向相同，且都在不断增大

D．在每1 s时间内，质点有100次经过平衡位置

[解析]　t＝0.015 s时刻速度方向沿x轴负方向，加速度方向沿x轴正方向，A错误；在0.01～0.03 s时间内，速度方向先沿x轴负方向再沿x轴正方向，且先减小后增大，加速度方向一直沿x轴正方向，且先增大后减小，B正确；第八个0.01 s时间内速度和位移的方向均沿x轴正方向，且速度不断减小，C错误；由图像可以看出每经过0.04 s，质点2次经过平衡位置，则每1 s内，质点有50次经过平衡位置，D错误。

[答案]　B

简谐运动的振动图像问题的分析方法

(1)理解x ­t图像的意义。

(2)充分利用图像的直观性，把图像与振动过程联系起来，图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)。

(3)理解图像上的一段图线对应振动的一个过程，判断好平衡位置、最大位移及振动方向。　　　　

[针对训练]

1.如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O点是平衡位置，以某时刻作为计时零点(t＝0)，经过周期，振子具有正方向的最大速度。那么下列四幅图像中能够正确反映振子的振动情况的是(　　)

解析：选D　由时刻振子具有最大速度可知，时刻振子的位移为0，故A、C均错误；由时刻振子具有正向的最大速度可知，B错误，D正确。

2．在水平方向上做简谐运动的质点其振动图像如图所示，假设向右为正方向，则质点速度向右且增大的时间是(　　)

A．0～1 s内 B．1～2 s内

C．2～3 s内 D．3～4 s内

解析：选D　x ­t图线的斜率等于速度，则3～4 s内图线的切线斜率为正且增大，即速度为正，向右且增大，故选D。

1．下列运动中不属于机械振动的是(　　)

A．树枝在风的作用下运动

B．竖直向上抛出的物体的运动

C．说话时声带的运动

D．爆炸声引起窗扇的运动

解析：选B　物体(或物体的某一部分)在某一位置附近的往复运动称为机械振动，树枝的运动、声带的运动以及窗扇的运动均是在其平衡位置附近的振动，只有竖直向上抛出的物体的运动不是在其平衡位置附近的振动，故选B。

2.如图所示，水平方向上有一弹簧振子，O点是其平衡位置，振子在a和b之间做简谐运动，关于振子的下列说法正确的是(　　)

A．在a点时位移最大，速度最大

B．在O点时速度最大，位移最大

C．在b点时位移最大，速度最小

D．在b点时位移最大，速度最大

解析：选C　O为弹簧振子振动的平衡位置，其位移为零，速度最大，B错误；振子在a、b两位置，振动的位移最大，速度为零，故A、D错误，C正确。

3．质点做简谐运动的图像如图所示。由此可知(　　)

A．t＝0时，质点位移、速度均为零

B．t＝1 s时，质点位移最大，速度最大

C．t＝2 s时，质点位移为零，速度为负向最大值

D．t＝4 s时，质点停止运动

解析：选C　t＝0时，质点速度最大，位移为零，A错误；t＝1 s 时，质点位移最大，速度为零，B错误；t＝2 s时，质点经过平衡位置，位移为零，速度沿负方向最大，C正确；           t＝4 s时，质点位移为零，速度最大，D错误。

4．弹簧振子在t＝0到t＝4 s内的振动图像如图所示，下列判断正确的是(　　)

A．在t＝2 s时刻振子的振动方向为正方向

B．在t＝0到t＝1 s时间内振子的位移增大、速度减小

C．在t＝1 s到t＝2 s时间内振子的位移和速度都增大

D．从t＝1 s到t＝3 s时间内振子的位移为零

解析：选B　由振动图像可知，t＝2 s时振子的振动方向为负方向，故A错误；在t＝0到t＝1 s时间内振子的位移增大，速度减小，故B正确；在t＝1 s到t＝2 s时间内振子的位移减小，速度增大，故C错误；从t＝1 s到t＝3 s时间内振子从正向最大位移运动到负向最大位移，位移不为零，故D错误。