(通用版)中考数学总复习5.2《特殊的平行四边形》精练卷（2份，教师版+原卷版）

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1.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有( C )
A.AC⊥BD B.AB＝BC C.AC＝BD D.∠1＝∠2
2.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为( C )
A.2 B.2.2 C.2.4 D.2.5
3.如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( A )
A.(2，7) B.(3，7) C.(3，8) D.(4，8)
,(第3题图)) ,(第4题图))
4.已知坐标平面上有一长方形ABCD，其坐标分别为A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1)，今固定B点并将此长方形依顺时针方向旋转，如图所示.若旋转后C点的坐标为(3，0)，则旋转后D点的坐标为( D )
A.(2，2) B.(2，3) C.(3，3) D.(3，2)
5.如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为( D )
A.eq \f(10,3) B.4 C.4.5 D.5
,(第5题图)) ,(第7题图))
6.菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24 cm，则菱形的面积为__18eq \r(3)__cm2.
7.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__3eq \r(2)__.
8.如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是__eq \r(2)__.
,(第8题图)) ,(第9题图))
9.如图，矩形ABCD被分成四部分，其中△ABE，△ECF，△ADF的面积分别为2，3，4，则△AEF的面积为__7__.
10.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形.
证明：(1)在△ADE与△CDE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝CD，,DE＝DE，,EA＝EC，))∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE＝∠CDE.
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，
∴BC＝CD.∵AD＝CD，
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵AD＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC.
∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，
∴∠CBE＝180°×eq \f(2,2＋3＋3)＝45°.
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°，
∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形.
11.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.
(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)
请根据该图完成这个推论的证明过程.
证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(__S△AEF__＋__S△FCM__).
易知，S△ADC＝S△ABC，__S△ANF__＝__S△AEF__，__S△FGC__＝__S△FMC__.
可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.
12.如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连结CE，CF.
(1)求证：△ABF≌△CBE；
(2)判断△CEF的形状，并说明理由.
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝90°.
∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，
∴BE＝BF，
∴∠ABC－∠CBF＝∠EBF－∠CBF，
∴∠ABF＝∠CBE.
在△ABF和△CBE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CB，,∠ABF＝∠CBE，,BF＝BE，))
∴△ABF≌△CBE()；
(2)△CEF是直角三角形.理由如下：
∵△EBF是等腰直角三角形，
∴∠BFE＝∠FEB＝45°，
∴∠AFB＝180°－∠BFE＝135°.
又∵△ABF≌△CBE，
∴∠CEB＝∠AFB＝135°，
∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°，
∴△CEF是直角三角形.
13.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE＝eq \r(5)，∠EAF＝135°，则下列结论正确的是( C )
A.DE＝1 B.tan∠AFO＝eq \f(1,3)
C.AF＝eq \f(\r(10),2) D.四边形AFCE的面积为eq \f(9,4)
14.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y＝eq \f(3,x)的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为__4eq \r(2)__.
15.如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连结AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E.若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为__eq \f(2\r(5),5)__.
16.已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
(1)如图①，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OE＝OG；
(2)如图②，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G.若OE＝OG.
①求证：∠ODG＝∠OCE；
②当AB＝1时，求HC的长.
解(1)如题图①中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OD＝OC，
∴∠DOG＝∠COE＝90°，∴∠OEC＋∠OCE＝90°.
∵DF⊥CE，∴∠OEC＋∠ODG＝90°，
∴∠ODG＝∠OCE，∴△DOG≌△COE()，
∴OE＝OG；
(2)①如题图②中，∵OG＝OE，
∠DOG＝∠COE＝90°，OD＝OC，
∴△ODG≌△OCE，∴∠ODG＝∠OCE；
②设CH＝x.
∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，
∴BH＝1－x，∠DBC＝∠BDC＝∠ACB＝45°.
∵EH⊥BC，∴∠BEH＝∠EBH＝45°，
∴EH＝BH＝1－x.∵∠ODG＝∠OCE，
∴∠BDC－∠ODG＝∠ACB－∠OCE，
∴∠HDC＝∠ECH.∵EH⊥BC，
∴∠EHC＝∠HCD＝90°，
∴△CHE∽△DCH，∴eq \f(EH,HC)＝eq \f(HC,CD)，
∴HC2＝EH·CD，∴x2＝(1－x)·1，
解得x＝eq \f(\r(5)－1,2)或eq \f(－\r(5)－1,2)(舍弃)，
∴HC＝eq \f(\r(5)－1,2).
17.已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连结CE，CF，OE，OF.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由.
解：(1)∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∠B＝∠D.
又∵E，F分别是AB，AD中点，
∴BE＝DF，
∴△BCE≌△DCF()；
(2)当AB⊥BC时，四边形AEOF为正方形.
理由如下：∵点E，O分别是AB，AC中点，
∴EO∥BC.
又∵BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF.
同理可证OF∥AE，
∴四边形AEOF为平行四边形.
由(1)可得AE＝AF，∴平行四边形AEOF为菱形.
∵BC⊥AB，OE∥BC，∴OE⊥AB，
∴∠AEO＝90°，∴菱形AEOF为正方形.
18.如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图②，过点D作DG∥BE交BC于点G，连结FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长.
解：(1)如图①，根据折叠，∠DBC＝∠DBE.
又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，
∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，
∴△BDF是等腰三角形；
(2)①四边形BFDG是菱形.
理由如下：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴FD∥BG.
又DG∥BE，∴四边形BGDF是平行四边形.
又∵DF＝BF，∴四边形BGDF是菱形；
②∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10.∴OB＝eq \f(1,2)BD＝5.
设DF＝BF＝x，则AF＝AD－DF＝8－x.
在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，
即62＋(8－x)2＝x2，
解得x＝eq \f(25,4)，即BF＝eq \f(25,4).
∴FO＝eq \r(BF2－OB2)＝eq \r(（\f(25,4)）2－52)＝eq \f(15,4)，
∴FG＝2FO＝eq \f(15,2).
19.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为__10eq \r(3)－10__cm.

20.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连结EF交OB于点G，则下列结论中正确的是__①②③⑤__.
①EF＝eq \r(2)OE；②S四边形OEBF∶S四边形ABCD＝1∶4；③BE＋BF＝eq \r(2)OA；④在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝eq \f(3,4)；⑤OG·BD＝AE2＋CF2.