14.函数与导数（Ｂ组） 2022版高考数学大题专项练含解析

  14．函数与导数(B组)大题专项练，练就慧眼和规范，筑牢高考满分根基！1.已知函数f(x)＝xex－ax.(1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)－x2，若g(x)有三个不同的零点，求a的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝ex＋xex－a，若f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0，即ex＋xex≥a.设h(x)＝ex＋xex，则h′(x)＝(x＋2)ex，令h′(x)＝0得x＝－2，当x<－2时，h′(x)<0，当x>－2时，h′(x)>0，所以h(x)≥h(－2)＝－，因此a的取值范围为.(2)由题意g(x)＝xex－ax－x2，则g′(x)＝ex＋xex－a－ax＝(ex－a)(x＋1).若a≤0，g′(x)，g(x)随x变化的情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，＋∞)g′(x)－0＋g(x)↘极小值↗此时g(x)不可能有三个零点．若a>0，令g′(x)＝0，得x＝ln a或x＝－1.①若ln a>－1，即a>，g′(x)，g(x)随x变化的情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，ln a)ln a(ln a，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)↗极大值↘极小值↗要使g(x)有三个不同的零点，需得a>且a≠1.②若ln a＝－1，即a＝，此时g′(x)≥0，g(x)单调递增，不可能有三个零点．③若ln a<－1，即0<a<，g′(x)，g(x)随x变化的情况如下表：x(－∞，ln a)(ln a，－1)(－1，ln a)－1(－1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)↗极大值↘极小值↗要使g(x)有三个不同的零点，需无解．综上所述：a的取值范围是∪(1，＋∞).2．已知函数f(x)＝a(x2－1)－2ln x，a∈R.(1)若a＝2时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)证明：当a≥1时，f(x)≥ax＋－(a＋1)在区间(1，＋∞)上恒成立．【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝2(x2－1)－2ln x，x>0，f′(x)＝4x－＝，f(1)＝0，f′(1)＝2，所以f(x)的图象在x＝1处的切线方程是y＝2(x－1).(2)f′(x)＝2ax－＝，(x>0).当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当a>0时，令f′(x)>0，解得：x>，令f′(x)<0，解得：0<x<，所以f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是(0，)，综上可知：a≤0时，函数的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间；a>0时，函数的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是.(3)要证明不等式当a≥1时，f(x)≥ax＋－(a＋1)在区间(1，＋∞)上恒成立，即证明a(x2－1)－2ln x≥ax＋－(a＋1)在区间(1，＋∞)上恒成立，即证ax2－2ln x－ax－＋1≥0恒成立，令g(x)＝ax2－2ln x－ax－＋1, g′(x)＝2ax－－a＋＝＝＝，因为a≥1，x>1，所以2x－1>0，ax2－1>0，即g′(x)>0，所以g(x)在区间(1，＋∞)单调递增，即g(x)>g(1)，而g(1)＝ax2－ax＝ax(x－1)＝0，所以g(x)>0，所以a≥1时，f(x)≥ax＋－(a＋1)在区间(1，＋∞)上恒成立．