2.2基本不等式求最值练习题——2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

这是一份2.2基本不等式求最值练习题——2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册，共12页。试卷主要包含了已知实数x，y满足等内容，欢迎下载使用。
利用均值不等式求最值练习题1．（2020春•嘉兴期末）已知a＞1，b＞0，且a+2b＝4，则ab的最大值为　  　；的最小值为　  　．    2．（2020春•宁波期末）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则的最小值为　  　；的最大值为　     　．    3．（2020•浙江模拟）设正数a，b满足，，则+的最大值是　     　．     4．（2020春•锡山区校级期中）已知实数x，y满足：xy﹣y＝1，且0＜x＜1．则的取值范围是　  　．    5．（2020•西湖区校级模拟）已知实数x，y满足2x＞y＞0，且，则x+y的最小值为　　．    6．（2020•徐州模拟）已知x，y∈R，且x＞1，若（x﹣1）（y﹣2）＝1，则xy+6x+y+6的最小值为　  　．    7．（2020•江苏模拟）已知正实数a，b满足a+2b＝2，则（a+）（b+）的最小值为　         　．     8．（2020•河东区校级模拟）已知实数若x、y满足x＞y≥0，则的最小值是　     　．    9．（2020•徐汇区校级模拟）已知x、y都是正数，则的最小值为　         　．    10．（2020春•台州期中）若实数a，b∈R且b≠0，则的最小值为　    　．   11．（2016秋•盐都区校级期中）已知x，y为正实数，则+的最小值为　              　．  12．（2015•南京三模）已知x，y为正实数，则+的最大值为　            　．     13．（2020•鹿城区校级模拟）已知a＞0，b＞﹣1，且a+b＝1，则最小值为　        　．     14．（2020•滨海新区模拟）设b＞0，a﹣b2＝1，则+的最小值为　              　．    15．（2020春•武侯区校级期中）已知正数x，y满足x+y＝2，若恒成立，则实数a的取值范围是　      　．  16．（2020•浙江模拟）若2a+3b＝12（a•b≥0），则的最小值为　1　；最大值为　　．     17．（2020春•丽水期中）已知实数x，y，z满足x2+y2+z2＝1，则xy﹣3yz的取值范围为　         ．    18．（2019秋•浦东新区校级期末）设a、b、c是三个正实数，且，则的最大值为　   　．     19．（2020•德阳模拟）已知x，y为正实数，则的最小值为（　　）A． B． C． D．3   20．（2019秋•山东月考）已知x，y为正实数，且满足x2+4y2+xy＝5，则x+2y的最大值是（　　）A． B．2 C． D．2           利用均值不等式求最值练习题解析版1．（2020春•嘉兴期末）已知a＞1，b＞0，且a+2b＝4，则ab的最大值为　2　；的最小值为　3　．解：因为a＞1，b＞0，且a+2b＝4，则ab＝（a•2b）＝2，当且仅当a＝2b＝2即a＝2，b＝1时取等号，＝（+）（a﹣1+2b）×＝（5++）＝3，当且仅当且a+2b＝4即a＝2，b＝1时取等号．故答案为：2，32．（2020春•宁波期末）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则的最小值为　3　；的最大值为　　．解：∵x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则＝（）（x+2y）＝3+，当且仅当且x+2y＝1即y＝，x＝1+时取等号，＝＝，故答案为：3+2，3．（2020•浙江模拟）设正数a，b满足，，则+的最大值是　18　．解：因为16＝（a+3b）+（）≥2＝2所以+≤18，当且仅当a+3b＝＝8时取等号．故答案为：18．4．（2020春•锡山区校级期中）已知实数x，y满足：xy﹣y＝1，且0＜x＜1．则的取值范围是　（1，+∞）　．解：由xy﹣y＝1可知，x＝，所以＝＝1+（）（﹣1﹣y+y﹣2）（﹣）＝1+（﹣）（1+1+），由0＜x＜1，可得y＜﹣1，所以令t＝＜﹣1，所以＜﹣2，所以1+（﹣）（1+1+）＞1，即的取值范围为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．5．（2020•西湖区校级模拟）已知实数x，y满足2x＞y＞0，且，则x+y的最小值为　　．解：设x+y＝m（2x﹣y）+n（x+2y），可得，解得；所以x+y＝＝[]（）＝≥，当且仅当x＝，y＝时等号成立；故答案为：．6．（2020•徐州模拟）已知x，y∈R，且x＞1，若（x﹣1）（y﹣2）＝1，则xy+6x+y+6的最小值为　25　．解：∵x＞1，（x﹣1）（y﹣2）＝1，∴y＞2．则xy+6x+y+6＝（x﹣1）（y﹣2）+8（x﹣1）+2（y﹣2）+16≥2+17＝25，当且仅当8（x﹣1）＝2（y﹣2），x＝，y＝4．∴xy+6x+y+6的最小值为25．故答案为：25．7．（2020•江苏模拟）已知正实数a，b满足a+2b＝2，则（a+）（b+）的最小值为　　．解：∵正实数a，b满足a+2b＝2，∴2＝a+2b≥2，可得，则（a+）（b+）＝＝， 令ab＝t，t∈（0，]．即有ab+，又函数f（t）＝t+﹣4在（0，）单调递减，∴f（t）．故答案为：．8．（2020•河东区校级模拟）已知实数若x、y满足x＞y≥0，则的最小值是　5　．解：∵+＝+，设t＝，（0≤t＜1），则原式＝+＝2++﹣1＝1+（+）[（1+t）+（1﹣t）]＝1+1+++1≥3+2＝5，∵＞0，∴当且仅当＝，即t＝0时，+有最小值5，即的最小值是5，故答案为：5．9．（2020•徐汇区校级模拟）已知x、y都是正数，则的最小值为　　．解：令x+y＝t，那么＝＝当且仅当3x＝y＝时取等号；所以的最小值为．10．（2020春•台州期中）若实数a，b∈R且b≠0，则的最小值为　2　．解：因为表示点A（a，a）与点B（b，﹣）距离的平方，点A（a，a）在直线y＝x上，点B（b，﹣）在曲线y＝﹣上，因此的最小值等价于直线y＝x与曲线y＝﹣之间的距离的平方的最小值，设与直线y＝x平行的直线与曲线y＝﹣相切于点P（x0，y0），y′＝，所以＝1，解得x0＝1或x0＝﹣1，所以P（1，﹣1）或（1，﹣1）所以点P到直线y＝x的距离d＝＝，所以的最小值为＝2．故答案为：2．11．（2016秋•盐都区校级期中）已知x，y为正实数，则+的最小值为　　．解：∵x、y为正实数，则+＝+，令＝t＞0，∴+＝+t＝+﹣≥﹣＝，当且仅当t＝时取等号．∴+的最小值为．12．（2015•南京三模）已知x，y为正实数，则+的最大值为　　．解：∵x，y为正实数，∴+＝+，令＝t＞0，则+＝+，令f（t）＝+＝1+＝1+≤1+＝，（当且仅当t＝，即t＝2时，等号成立）；故答案为：．13．（2020•鹿城区校级模拟）已知a＞0，b＞﹣1，且a+b＝1，则最小值为　　．解：已知a＞0，b＞﹣1，且a+b＝1，∴b＝1﹣a＞﹣1，∴2﹣a＞0．则＝a++＝+．令f（a）＝+＝•[a+（2﹣a）]•（+）＝•（3+++1）＝•（4++3•）≥（4+2）＝＝2+，即 ≥2+，当且仅当 ＝3•时，取等号，故 最小值为2+，故答案为：2+．14．（2020•滨海新区模拟）设b＞0，a﹣b2＝1，则+的最小值为　1　．解：设b＞0，a﹣b2＝1，则a＝1+b2，所以a2＝（1+b2）2所以，则＝＝，由于b＞0，所以，（当且仅当b＝1时，等号成立）当b＝1时，，故，所以+的最小值为2×．15．（2020春•武侯区校级期中）已知正数x，y满足x+y＝2，若恒成立，则实数a的取值范围是　（﹣　．解：已知正数x，y满足x+y＝2，所以（x+1）+（y+2）＝5，所以则：＝，＝，＝+，＝，＝（）（）﹣1，＝＝，要使恒成立，只需满足即可，故．故答案为：（﹣．16．（2020•浙江模拟）若2a+3b＝12（a•b≥0），则的最小值为　1　；最大值为　　．解：若2a+3b＝12（a•b≥0），则a≥0，b≥0，有基本不等式12＝2a+3b≥2，（当且仅当a＝3，b＝2时“＝”成立），得0≤ab≤6，又由（2a+3b）2＝122，得4a2+9b2＝144﹣12ab，令y＝，则y＝＝＝，令t＝18﹣ab，则，12≤18﹣ab≤18，y＝，（12≤t≤18），则y′＝，令y′＝0，得t＝12或t＝﹣12（舍去），∴当t∈[12，12）时，y′＞0，当t∈（12，18]，y′＜0∴函数y＝，在区间当[12，12）上单调递增，在区间当（12，18]上单调递减，∴当t＝12时，y有最大值，最大值是：，又因为，当t＝12时，y＝1，当t＝18时，y＝，∵1＜，所以，y的最小值为：1故答案为：1；．17．（2020春•丽水期中）已知实数x，y，z满足x2+y2+z2＝1，则xy﹣3yz的取值范围为　[﹣，]　．【分析】可得10x2+9y2+（y2+10z2）＝10，结合10x2+9y2+（y2+10z2）．及柯西不等式（10x2+9y2）（y2+10z2）≥（，即可求解．解：由x2+y2+z2＝1得10x2+9y2+（y2+10z2）＝10．∵10x2+9y2+（y2+10z2）．又由柯西不等式得（10x2+9y2）（y2+10z2）≥（∴10≥2|xy﹣3yz|．∴﹣≤xy﹣3yz，故答案为：[﹣，]18．（2019秋•浦东新区校级期末）设a、b、c是三个正实数，且，则的最大值为　3　．【分析】由题意可求出c的表达式，根据c＞0，把原式转化为关于的解析式，设＝x，构造函数，利用基本不等式求出函数的最小值，从而求出答案．解：∵a+b+2c＝，∴a2+ab+2ac＝bc，∴c＝，∵c＞0，∴b﹣2a＞0，解法一：设b﹣2a＝t，则t＞0，b＝t+2a；∴＝＝≤＝＝3，当且仅当t＝a时成立；∴的最大值为3．解法二：由b﹣2a＞0，得＞2，∴＝＝＝；设＝x，则x＞2，所以f（x）＝3x+＝3x++1＝3（x﹣2）++7≥2+7＝6+7＝13，当且仅当x＝3时取等号，∴≤＝3，即的最大值为319．（2020•德阳模拟）已知x，y为正实数，则的最小值为（　　）A． B． C． D．3解：∵x，y为正实数，∴＝+（1+）﹣1≥2﹣1＝4﹣1＝3，当且仅当即x＝3y时“＝”成立，故选：D．20．（2019秋•山东月考）已知x，y为正实数，且满足x2+4y2+xy＝5，则x+2y的最大值是（　　）A． B．2 C． D．2解：由基本不等式可知，xy＝x•2y，当且仅当x＝2y时取等号∵x，y为正实数，且满足x2+4y2+xy＝5，∴（x+2y）2﹣3xy＝5即3xy＝（x+2y）2﹣5×3，（当且仅当y＝，x＝时取等号）解可得，0＜x+2y，则x+2y的最大值是2．故选：B