2021届江西省宜春中学、高安二中、上高二中、樟树中学、丰城中学高三上学期五校联考数学（理）试题含解析

2021届江西省宜春中学、高安二中、上高二中、樟树中学、丰城中学高三上学期五校联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集为，集合，，则的子集个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合，可得出，再利用集合的子集个数公式可求得结果.

【详解】或，故，

因此，的子集个数为.

故选：C.

2．已知复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于第（    ）象限

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】A

【分析】先设，再根据复数相等列方程，解得，最后根据复数几何意义确定选项.

【详解】设，

,对应的点为，位于第一象限，

故选：A

【点睛】本题考查根据复数相等求复数、复数几何意义，考查基本分析求解与判断能力，属基础题.

3．平面向量与的夹角为，且，为单位向量，则（    ）

A． B． C．19 D．7

【答案】B

【分析】由，代入数据计算即可．

【详解】解：平面向量与的夹角为，且，为单位向量，即，

由

故选：B．

4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（）

A．新农村建设后，种植收入增加了

B．新农村建设后，养殖收入增加了

C．新农村建设后，其他收入增加了1%

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和接近经济收入的一半

【答案】C

【分析】设建设新农村前的经济收入为，则新农村建设后的经济收入为，然后根据统计图逐个分析

【详解】解：设建设新农村前的经济收入为，则新农村建设后的经济收入为，

对于A，由统计图可得新农村建设前的种植收入为，新农村建设后的种植收入为，所以新农村建设后，种植收入增加了，所以A正确；

对于B，由统计图可得新农村建设前的养殖收入为，新农村建设后的养殖收入为，所以新农村建设后，养殖收入增加了，所以B正确；

对于C，统计图可得新农村建设前的其他收入为，新农村建设后的其他收入为，所以增加了，所以C错误；

对于D，由统计图可知新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占总收入的，接近经济收入的一半，所以D正确，

故选：C

5．已知等比数列的公比为正数，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出等比数列的公比，从而可得出，即为所求.

【详解】设等比数列的公比为，则，则，，则，

因此，.

故选：A.

6．二项式展开式的第二项的系数为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得m的值，再求定积分得到结论.

【详解】二项式展开式的第二项的系数为，

解得

则

故选：A

7．皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学界做出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理，依此定理若在数集中任取两个数，以其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数不符合费马小定理的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先列举出所有的总数，根据费马小定理找出两个数符合费马小定理的个数，求出两个数符合费马小定理的概率，再对立事件的概率的关系可求得结果

【详解】解：数集中，质数的2，3，5，7，

当时，可以取3，5，7，共3种，

当时，可以取2，4，5，7，共4种，

当时，可以取2，3，4，6，7，共5种，

当时，可以取2，3，4，5，6，共5种，

所以符合费马小定理的情况共有种，

因为从中任取两个数，且有序，共有种，

所以所取两个数符合费马小定理的概率为，

所以所取两个数不符合费马小定理的概率为，

故选：B

8．已知函数的图象连续且在上单调，又函数为偶函数，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前2021项之和为（    ）

A．0 B．4040 C．4042 D．2021

【答案】D

【分析】由函数的图象关于轴对称，平移可得的图象关于对称，由题意可得，利用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求的和．

【详解】解：函数的图象关于轴对称，且函数的图象连续且在上单调，

的图象关于对称，

由数列是公差不为0的等差数列，且，

，又是等差数列，

，

的前2021项之和为．

故选：D．

9．在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知结合射影定理化简可得，然后对所求式子进行化简，结合基本不等式即可求解.

【详解】在中，由射影定理有，

即，整理可得，

由正弦定理有：，即，

所以：

，

当且仅当时取等号.

故选：C

10．若正四面体SABC的面ABC内有一动点P到平面SAB、平面SBC、平面SCA的距离依次成等差数列，则点P在平面ABC内的轨迹是

A．一条线段 B．一个点 C．一段圆弧 D．抛物线的一段

【答案】A

【详解】试题分析：设点到三个面的距离分别是.

因为正三棱锥的体积为定值，所以为定值，

因为.成等差数列，

所以.

∴为定值，

所以点的轨迹是平行的线段．

【解析】等差数列的性质；抛物线的定义．

点评：本题以等差数列为载体，考查正三棱锥中的轨迹问题，关键是分析得出P到侧面SBC的距离为定值．

11．已知点在椭圆上，是椭圆的左焦点，线段的中点在圆上．记直线的斜率为，若，则椭圆离心率的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设的中点为，由题意得，设，则，在中，利用余弦定理，即可求得椭圆离心率的取值范围.

【详解】

设的中点为，连接，

因为点在上， ，

所以，，

设，则，

所以，，

在中，由余弦定理得

，

所以，

所以，

离心率，

故选：D.

12．已知函数，且，满足，当时，设函数的最大值为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，利用导数求出，作出的图象，由，得，由讨论、、时的最小值，当时，三点中中至少有一个点满足，可得最小值.

【详解】设，则，

当时，，为减函数，

当时，，为增函数，所以，

作出的图象如下，

令，即，得，

且，显然，

在上，当时，，

当时，，当时取等号；

当时， ，所以，

此时点到直线的距离都是，

当时，三点中中至少有一个点满足

，所以，综上所述，，

故选：D.

二、填空题

13．已知x，y满足，则的最大值等于______________．

【答案】

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义进行求解即可．

【详解】解：作出，满足对应的平面区域如图：

，由可行域可知，即，得表示，斜率为纵截距为的一组平行直线，

平移直线，当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大，，解得

此时．

故答案为：．

14．已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限的点，满足（其中O为坐标原点），则______.

【答案】8

【分析】设直线方程为：，，与抛物线方程联立，利用根与系数关系求得，进而得到t的值，即可求出

【详解】解：由条件得，设，，直线方程为：，，

联立，则，且，，

由条件可知，解得，

，

所以，

故答案为：8.

【点睛】本题考查抛物线的简单性质以及抛物线与直线的位置关系，方程思想，属于中档题．

15．蹴鞠（如图所示），又名“蹴鞠” “蹴球” “蹴圆” “筑球” “踢圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，满足，，，则该“鞠”的体积为______________．

【答案】

【分析】扩展几何体为长方体，求解外接球的半径，然后求解该“鞠”的体积．

【详解】

因为AB＝CD，BD＝AC，AD＝BC，所以可以把A，B，C，D四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径．

设该长方体的长、宽、高分别为x，y，z，“鞠”的半径为R，则（2R）2＝x2+y2+z2．

即

因为x2+y2＝，y2+z2＝，x2+z2＝

所以

所以，即

该“鞠”的体积

故答案为：

16．已知，是函数相邻的两个零点．若函数在上的最大值为1，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】由，是函数相邻的两个零点，可得，从而可求出，再代入一个零点可求出的值，从而可得的解析式，作出的部分图像，结合图像可求得结果

【详解】由题意可得，则，所以，

所以，则．

令，则，，即，，

又，所以，所以．

作出的部分图像，如图所示，

因为．所以．

故答案为：

【点睛】此题考查正弦函数的图像和性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题

三、解答题

17．已知数列的前项和为，满足，.

（1）求的通项公式；

（2）记，求数列的前项和为

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据，知为公比为的等比数列，再由条件求出，求得的通项公式；

（2）由，求得，再用等差数列前项和公式求出

【详解】（1）由可知数列是公比为2的等比数列， 所以.

又因为，所以， 所以. 

所以数列的通项公式为.      

（2）由（1）知，

所以

【点睛】本题考查了等比数列的定义及通项公式，等差数列的前项和公式，属于容易题.

18．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）线段上是否存在一点，满足？若存在，试求出二面角的余弦值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析（2）存在，

【分析】（1）取的中点，连接和，过点作，垂足为点．推导出四边形为平行四边形，从而，，，推导出四边形为平行四边形，从而．由此能证明平面．

（2）由题意可得，，两两互相垂直，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

【详解】（1）证明：取的中点，连接和，过点作，垂足为点．

，，，

又，四边形为平行四边形，，，

在中，，

，而，分别为，的中点，

且，又，且，四边形为平行四边形，

．平面，平面，平面．

（2）由题意可得，，两两互相垂直，如图，以为原点，

，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，12，，，6，，，0，．

假设上存在一点使，

设点坐标为，，，则，，，，12，，

由得．又平面的一个法向量为，0，，

设平面的法向量，，，

则，6，，，，，

由，取，得，12，，

设二面角的平面角为，

则．

二面角的余弦值为．

【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

19．甲、乙两人进行一次象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分（无平局），约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束，设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，已知前3局中，甲得2分，乙得1分．

（1）求乙获得这次比赛胜利的概率；

（2）设X表示从第4局开始到比赛结束所进行的局数，求X的分布列及数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，.

【分析】（1）乙获得这次比赛胜利,则若再比赛三局，此时乙连胜三局；或再比赛四局，利用独立重复事件概率公式计算即可；（2）x可能的取值为：2，3，4，分别写出各自的概率和分布列，利用期望公式写出期望即可.

【详解】（1）解：记乙获胜为事件M，若再比赛三局，此时乙连胜三局；或再比赛四局，此时甲在从第4局开始的前三局中胜1局，其余的乙胜，所以

（2）x可能的取值为：2，3，4

时，只能是甲连胜两局最终甲高得比赛，故

时，可能是甲获胜或乙获胜，若甲获胜，则在前2局中乙胜1局；若乙获胜，则乙连胜3局.故

时，若甲获胜，则在前3局中乙胜2局；若乙获胜，则在前3局中甲胜1局，故

所以X的分布列为

.

20．设函数．

（1）求函数的最大值；

（2）对于任意，且，若恒为负数，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题意可得解析式，求导，令，解得，分别讨论和时，的正负，可得的单调性，即可得答案.

（2）所求等价于对任意恒成立，设，根据单调递减，可得恒成立，设，利用导数求得的单调性和极值，即可得答案.

【详解】解：（1），．

令，解得，

当时，，则在上单调递增，

当时，，则在单调递减，

.

（2）由题意得．对于任意，且恒成立，

等价于对任意恒成立.

设，

则当时，，即在单调递减，

则对恒成立.

恒成立，

设，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

，，

∴实数m的取值范围是．

【点睛】对于恒成立问题，若，则即可；若，则即可，

对于存在性问题，若，则即可，若，则即可.

21．在平面直角坐标系中，已知，动点满足.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若点M为（1）中轨迹上一动点，，直线MA与的另一个交点为N；记，若t值与点M位置无关，则称此时的点A为“稳定点”.是否存在 “稳定点”？若存在，求出该点；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）答案不唯一，答案见解析.

【分析】（1）设，运用向量的坐标运算并化简，求得动点的轨迹的方程；

（2）设，设直线的方程为，与轨迹联立，并表示出根与系数的关系，将化简得，分和去绝对值，看是否存在t值与点M位置无关.

【详解】解：（1）设，则

由可知：，化简得

即动点的轨迹的方程为：

（2）设，设直线的方程为，联立

得..

则

则

①当时，同号，

，

不论取何值，均与有关，即时，不是“稳定点”.

②当时，异号.

又

当且仅当,即时，与无关，此时的点为“稳定点”.

【点睛】本题考查了求动点的轨迹方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线中的定值问题，还考查了学生分析问题的能力，运算能力，属于中档题.

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．

求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P到坐标原点O的距离．

【答案】（1），（2）

【分析】（I）将代入，即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线C的直角坐标方程；

（II）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解点到原点的距离.

【详解】解：（I）将代入，整理得，

所以直线的普通方程为.

由得，

将，代入，

得，

即曲线的直角坐标方程为.

（II）设，的参数分别为，.

将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，

化简得，

由韦达定理得，

于是.

设，则

则.

所以点到原点的距离为.

【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

23．已知函数．

（1）若，求满足条件的x的范围；

（2）若的最小值为M，，求最小值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）易知，由求解；

（2）利用绝对值三角不等式可得，然后由，利用基本不等式求解.

【详解】（1）由题意，得，即，

所以或，

所以或，

所以满足条件的x的范围为．    

（2）因为，

所以，

所以，

，

，

当且仅当，即时等号成立.

所以最小值是.