类型5题型1新定义型-2022年中考数学二轮复习重难题型突破试卷（教师版+学生版）

这是一份类型5题型1新定义型-2022年中考数学二轮复习重难题型突破试卷（教师版+学生版），文件包含题型1新定义型教师版doc、题型1新定义型学生版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
类型一 新定义型
“新定义”型问题，指的是命题老师用下定义的方式，给出一个新的运算、符号、概念、图形或性质等，要求同学们“化生为熟”、“现学现用”，能结合已有知识、能力进行理解，进而进行运算、推理、迁移的一种题型，这类题型往往是教材中一些数学概念的拓展、变式，是近几年中考数学命题的热点。
“新定义”型试题主要考查同学们学习新知识的能力，具体而言，就是考查大家的阅读理解能力、数学规则的选择与运用能力、综合运用数学知识分析问题解决问题的能力，有较强的数学抽象，旨在引导、培养大家在平时的数学学习中，能养成自主学习、主动探究的学习方式。
“定义新运算”是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 解决这类问题的关键是理解新运算规定的规则，明白其中的算理算法． 运算时，要严格按照新定义的运算规则，转化为已学过的运算形式，然后按正确的运算顺序进行计算．
“定义新符号”试题是定义了一个新的数学符号，要求同学们要读懂符号，了解新符号所代表的意义，理解试题对新符号的规定，并将新符号与已学知识联系起来，将它转化成熟悉的知识，而后利用已有的知识经验来解决问题．
【典例1】对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a+b．例如3⊗4=2×3+4=10．
（1）求2⊗（-5）的值；
（2）若x⊗（-y）=2，且2y⊗x=-1，求x+y的值．
【解析】（1）依据关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，即可得到2⊗（﹣5）的值；
（2）依据x⊗（﹣y）=2，且2y⊗x=﹣1，可得方程组，即可得到x+y的值．
【典例2】对于实数x，规定表示不小于x的最小整数，例如，，，则
（1）填空：①　 　；
②若，则x的取值范围是　 ．
（2）已知x为正整数，且，求x的值．
【解析】（1）①[﹣π]＝﹣3；
②x的取值范围是﹣3＜x≤﹣2；
（2）由知2＜ ≤3，解得：3＜x≤5，
∵x取正整数，
∴x的值为4或5．
【典例3】在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”．
（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？
【解析】（1）设这一对“互换点”的坐标为M(m，n) 和N(n，m) ．
① 当mn=0时，它们不可能在反比例函数的图像上；
② 当mn≠0 时，M、N两点均在反比例函数的图像上．
于是得到结论“不一定”．
（2）M，N是一对“互换点”，若点M的坐标为(m，n)，求直线MN的表达式(用含m，n的代数式表示)；
【解析】（2）设直线 MN 的表达式为 y = kx + b( k≠0) ． 把 M( m,n) ，N( n，m) 代入 y = kx + b，解得 k=-1，b=m + n，∴ 直线 MN 的表达式为y=-x+m+n．
（3）在抛物线y＝x2＋bx＋c的图象上有一对“互换点”A，B，其中点A在反比例函数的图象上，直线AB经过点P，求此抛物线的表达式．
【解析】 ( 3）因为点A在反比例函数的图象上，
故设A(m，) ，则B(，m) ．
由（2）的结论可得，直线AB的表达式为y=-x+m．
将P点坐标代入可得 ， 解得m=2或-1．
【典例4】对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F(123)＝6．
（1）计算：F(243)，F(617);
（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k＝当F(s)＋F(t)＝18时，求k的最大值．
【解析】解：(1)F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9；
F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s＝100x＋32，t＝150＋y，
∴F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5，F(t)＝(510＋y＋100y＋51＋105＋10y)÷111＝y＋6．
∵F(t)＋F(s)＝18，
∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18，
∴x＋y＝7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴或或或或或．
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3．
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5．
∴或或，
∴或或，
∴k＝＝或k＝＝1或k＝＝
∴k的最大值为．
【典例5】我们规定：形如的函数叫做“奇特函数”.当时，“奇特函数”就是反比例函数.
（1） 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8 ，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；
（2） 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连结OB，CD交于点E，“奇特函数”的图象经过B，E两点.
①求这个“奇特函数”的解析式；
②把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移     个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，请直接写出点P的坐标．


【解析】
（1），是 “奇特函数”；（2）①；②或或或.
试题分析：（1）根据题意列式并化为，根据定义作出判断.
（2）①求出点B，D的坐标，应用待定系数法求出直线OB解析式和直线CD解析式，二者联立即可得点E 的坐标，将B（9，3），E（3，1）代入函数即可求得这个“奇特函数”的解析式.
②根据题意可知，以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP，据此求出点P的坐标.
试题解析：（1）根据题意，得，
∵，∴.∴.
根据定义，是 “奇特函数”.
（2）①由题意得，.
易得直线OB解析式为，直线CD解析式为，
由解得.∴点E（3，1）.
将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.∴这个“奇特函数”的解析式为.
②∵可化为，
∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.∴关于点（6，2）对称.
∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.
∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.
由勾股定理得，.
设点P到EB的距离为m，
∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，
∴.
∴点P在平行于EB的直线上.
∵点P在上，
∴或.
解得.
∴点P的坐标为或或或.

考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.
【典例6】定义[，，]为函数＝2+的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（）；
②当m＞0时，函数图象截轴所得的线段长度大于；
③当m＜0时，函数在＞时，随的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过同一个点．
其中正确的结论有___________
【解析】解：根据定义可得函数＝2m2+（1﹣m）+（﹣1﹣m），
①当m＝﹣3时，函数解析式为＝﹣62+4+2，
∴，
∴顶点坐标是（），正确；
②函数＝2m2+（1﹣m）+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣，0），
当m＞0时，1﹣（﹣）＝，正确；
③当m＜0时，函数＝2m2+（1﹣m）+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴，错误；
④当m≠0时，＝1代入解析式＝0，则函数一定经过点（1，0），正确．
故选：①②④
【典例7】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°= .
（2）对于0°