专题11 反比例函数的实际应用问题-2021-2022学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题11 反比例函数的实际应用问题
【典型例题】
1．为了预防新冠肺炎，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，己知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （mg）与时间x （min）成正比例，药物燃烧后，y（mg）与x （min）成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：

（1）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后y关于x的函数关系式；
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min 时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
【答案】（1）燃烧时，y=（0≤x≤8）；燃烧后，y=（x＞8）；（2）消毒有效，见解析．
【分析】
（1）当0≤x≤8时，设正比例函数的解析式，代入点（8，6）计算；当x＞8时，设反比例函数的解析式，代入点（8，6）计算；（2）当两个函数解析式的函数值为3时，求得对应时间，计算两个时间的时间差，比较即可．
【详解】
（1）当0≤x≤8时，设正比例函数的解析式为y=kx，
把点（8，6）代入解析式，得
8k=6，
解得　k=，
∴y关于x的函数关系式为y=（0≤x≤8）；

当x＞8时，设反比例函数的解析式为y=，把点（8，6）代入解析式，得
m=6×8=48，
∴y关于x的函数关系式为y=（x＞8）；
（2）当y=3时，
=3，
解得=4；
当y=3时，
=3，
解得=16；
∴持续时间为-=16-4=12＞10，
∴本次消毒有效．
【点睛】
本题考查了一次函数，反比例函数的解析式的确定和生活中的实际意义，熟练掌握待定系数法确定解析式，灵活求自变量值是解题的关键．





【专题训练】
一、 选择题
1．为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）

A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，与的函数表达式是
C．空气中含药量大于等于的时间为
D．若当空气中含药量降低到以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
【答案】D
【分析】
先求出反比例函数的解析式，再求出一次函数的解析式，结合图像，逐项判断即可
【详解】
根据题意：设药物释放完毕后与的函数关系式为，
结合图像可知经过点（，）

与的函数关系式为
设药物释放过程中与的函数关系式为
结合图像当时药物释放完毕代入到中，则，故选项A正确，
设正比例函数为，将（，1）代入得：，解得，则正比例函数解析式为，故选项B正确，
当空气中含药量大于等于时，有，解得，结合图像，即，故选项C正确，
当空气中含药量降低到时，即，解得，故选项D错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了函数，不等式的实际应用，以及识图和理解能力，解题关键是利用图像的信息求出函数解析式．
2．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（　　）

A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元
D．8月份该厂利润达到200万元
【答案】D
【分析】
直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【详解】
解：A、设反比例函数的解析式为y=，
把（1，200）代入得，k=200，
∴反比例函数的解析式为：y=，
当x=4时，y=50，
∴4月份的利润为50万元，故此选项正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意；
C、当y=100时，则100=，
解得：x=2，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项正确，不符合题意．
D、设一次函数解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：y=30x-70，
故y=200时，200=30x-70，
解得：x=9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项不正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．
3．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而得出动力关于动力臂的函数关系式，从而确定其图象即可．
【详解】
解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，
∴动力关于动力臂的函数解析式为：，
则，是反比例函数，A选项符合，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．
二、解答题
4．新冠疫情期间，口罩的需求量增大，某口罩加工厂承揽生产1600万个口罩的任务，每天生产的口罩数量相同，计划用x天（x＞4）完成．
（1）求每天生产口罩y（万个）与生产时间x（天）之间的函数表达式；
（2）由于疫情形势严峻，卫生管理部门要求厂家提前4天交货，那么加工厂每天要多做20万个口罩才能完成任务，求实际生产时间．
【答案】（1）y＝（x＞4）；（2）16天
【分析】
（1）由生产总量＝每天生产口罩y（万个）×生产时间x（天），即可求解；
（2）根据等量关系原计划每天生产口罩数+20=实际每天生产口罩数,列出方程，即可求解．
【详解】
解：（1）每天生产口罩y（万个）与生产时间x（天）之间的函数表达式为：y＝（x＞4）；
（2）由题意可得：，
去分母整理得：，
解得：x1＝20，x2＝﹣16，
经检验，x1＝20，x2＝﹣16是原分式方程的解，
但x＝﹣16不合题意舍去，
∴20﹣4＝16（天），
答：实际生产时间为16天．
【点睛】
本题考查反比例函数解析式，列分式方程解应用题，掌握求反比例函数解析式的方法，列分式方程解应用题方法与步骤，抓住原计划每天生产口罩数+20=实际每天生产口罩数构造方程是解题关键．
5．某地建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米．
（1）写出运输公司完成任务所需的时间（单位：天）与平均每天的工作量（单位：万米）之间的函数关系式；
（2）当运输公司平均每天的工作量是15万米时，完成任务所需的时间是多少？
【答案】（1）；（2）24天
【分析】
（1）根据题意直接写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式；
（2）根据题意把x＝15代入求出答案；
【详解】
解：（1）运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式为：，
故；
（2）当运输公司平均每天的工作量是15万米时，
完成任务所需的时间是：（天），
答：完成任务所需的时间是24天．
【点睛】
本题考查了反比例函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的相关知识解答．
6．实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条的粗细(横截面积) S（mm 2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出y（m）与s（mm2）的函数关系式；
（2）求当面条横截面积为2mm2时，面条的总长度是多少米？

【答案】（1）(s＞0)；（2）
【分析】
（1）设y与s的函数关系式为y=，然后再把P点坐标代入即可得到k的值，进而可得函数解析式；
（2）把s=2代入即可．
【详解】
解：（1）设y与s的函数关系式为y=，
∵P（4，32），
∴32=，解得k=128，
∴y与s的函数关系式是y=(s＞0)；
（2）x=2时，y==64，
∴当面条粗2 mm2时，面条长为64m．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确理解题意，设出函数解析式，掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．
7．收音机刻度盘上的波长和频率/的单位分别是米（m）和千赫兹（kM），
下面是波长和频率的一些对应值：
波长（m）
300
500
600
1000
1500
频率（kHz）
1000
600
500
300
200
（1）根据表中数据特征可判断频率是波长的 函数（填“正比例”或“反比例”或“一次”），其表达式为
（2）当频率不超过 400kHz时，求波长（米）的取值范围．
【答案】（1）反比例，；（2）
【分析】
（1）根据积一定可判断为反比例函数，用待定系数法求解析式即可；
（2）列不等式，求解即可．
【详解】
解：（1）观察表格可知，波长和频率的乘积为300000，故为反比例函数，
设，把（300,1000）代入得，
，
解得，，
∴解析式为：；
（2）根据题意，，
∵＞0，
，
解得，．
【点睛】
本题考查了反比例函数的应用，解题关键是抓住反比例函数的特征进行判断，熟练运用待定系数法求解析式．
8．环保局对某企业排污情况进行检测，当所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值1.0mg/l时，环保局要求该企业立即整改，必须在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/l）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前5天的变化规律，从第5天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．

（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）该企业能否按期将排污整改达标？为什么？
【答案】（1）y＝；（2）不能按期完成排污整改达标，理由见解析．
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）当时，，即可求解．
【详解】
（1）由图象知，点A、B的坐标分别为（0，14）、（4，5），
当0≤x≤5时，设AB的表达式为y=kx+b，
将点A、B的坐标代入上式得，解得，
故y=﹣2x+14；
当x＞5时，设函数的表达式为y=，
把点B的坐标（4，5）代入上式并解得：k=20，
故y=；
故函数的表达式为；
（2）不能，理由：
当x=15时，，
故不能按期完成排污整改达标．
【点睛】
本题考查了反比例函数的应用，涉及到一次函数的应用，解题的关键是确定函数的表达式．
9．疫情防控期间，某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间办公室和1间教室的喷酒共需；完成2间办公室和3教室的喷洒共需．


（1）该校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：）与时间x（单位：）的函数关系如图所示，校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为点．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，校医依次对（1）班至（11）班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当把最后一间教室药物喷洒完成后，（1）班学生能否进入教室？请通过计算说明．
【答案】（1）3min，5min；（2）能，见解析
【分析】
（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒分别需要xmin和ymin，根据数量关系：①完成1间办公室和1间教室的喷酒共需；②完成2间办公室和3教室的喷洒共需；则可列出方程组，解方程组即可；
（2）根据（1）所求知，完成一间教室药物喷洒要5min，完成11间教室喷洒则需要55min，根据函数关系式y=2x，可求得点A的坐标；设反比例函数关系式为（k≠0，把点A的坐标代入函数解析式中，则可求得k值，计算当x=55时，对应的函数值，并与1比较即可判断学生能否安全进入教室．
【详解】
（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒分别需要xmin和ymin
由题意，得：
解得：
故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒分别需要3min和5min．
（2）一班学生能安全进入教室．
由于完成一间教室药物喷洒要5min，所以完成11间教室药物喷洒需要5×11=55(min)
∵当x=5时，y=2x=2×5=10
∴A(5,10)
设反比例函数表达式为（k≠0）
把A(5，10)代入解析式得：
∴k=50
∴
.当x=55时，＜
∴一班学生能安全进入教室
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组和反比例函数的应用，（2）问的关键是求出点A的坐标，代入所设的反比例函数关系式中，求得反比例函数关系式．
10．受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第个月的利润为万元，其图象如图所示，试解决下列问题：

（1）分别写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，与的函数表达式．
（2）到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？
（3）当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？
【答案】（1）（，且为整数），（且为整数）；（2）第13个月；（3）5个月．
【分析】
（1）结合图像利用待定系数法求函数解析式；
（2）把y=100代入y=10x-30即可得到结论；
（3）对于，y=50时，得到x=2，得到x＜2时，y＜50，对于y=10x-30，当y=50时，得到x=8，于是得到结论．
【详解】
解：（1）由题意得，设前5个月中y=，
把x=1，y=100代入得，k=100，
∴y与x之间的函数关系式为y=（，且为整数），
把x=5代入，得y=20，
由题意设5月份以后y与x的函数关系式为y=10x+b，
把x=5，y=20代入得，20=10×5+b，解得：b=-30，
∴y与x之间的函数关系式为y=10x-30（且为整数）；
（2）在函数中，令，得
解得：
答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元．
（3）在函数中，当时，，
∵，随的增大而减小，
∴当时，
在函数中，当时，得
解得：
∴且为整数；∴可取3，4，5，6，7；共5个月．
答：该化工厂资金紧张期共有5个月．
【点睛】
本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
11．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，_______分钟时学生的注意力更集中．
（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式．
（3）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？

【答案】（1）5；（2）；．（3）教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．
【分析】
（1）（2）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，得出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；
（3）分别求出注意力指数为40时的两个时间，再将两时间之差和18比较，大于18则能讲完，否则不能．
【详解】
（1）（2）设线段AB所在的直线的解析式为y1＝k1x＋30，
把B（10，50）代入得，k1＝2，
∴AB解析式为：y1＝2x＋30（0≤x≤10）．
设C、D所在双曲线的解析式为y2＝，
把C（20，50）代入得，k2＝1000，
∴曲线CD的解析式为：y2＝（x≥20）；
当x1＝5时，y1＝2×5＋30＝40，
当x2＝30时，y2＝，
∴y1＞y2
∴第5分钟注意力更集中．
故答案为：5；
（3）当时，．
．
∴．
∴教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
12．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120
（1）求v与t的函数关系式及t值的取值范围；
（2）客车上午8点从甲地出发．
①客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间到达乙地，求客车行驶速度v的范围；
②客车能否在当天12点30分前到达乙地？说明理由．

【答案】（1）v＝（5≤t≤10）；（2）①80千米/小时≤v≤90千米/小时；②不能，见解析
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）①分别求出t＝（8点到下午14点40分）与t＝时对应的速度，即可求解；
②当天12点30分到达时，t＝4.5小时＜5，而5≤v≤10，即可求解．
【详解】
解：（1）设v与t的函数关系式为v＝，

将（5，120）代入v＝，
得：120＝，
解得：t＝600，
∴v与t的函数关系式为v＝（5≤t≤10）；
（2）①当t＝（8点到下午14点40分）时，v＝＝600÷＝90（千米/小时），当t＝时，v＝＝600÷＝80（千米/小时），
∴客车行驶速度的范围为80千米/小时≤v≤90千米/小时；
②当天12点30分到达时，t＝4.5小时＜5，而5≤t≤10，
故客车不能在当天12点30分前到达乙地．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图像，解析式和实际意义，熟练掌握解析式的确定方法是解题的关键．
13．某品牌热水器中原有水的温度为20℃，开机通电，热水器启动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到70℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此时水温y℃与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至35℃时，热水器又自动以相同的功率加热至70℃，…，重复上述过程．如图，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）当0≤x≤25时，求水温y℃开机时间x分钟的函数表达式；
（2）求图中t的值；
（3）开机通电60分钟时，热水器中水的温度y约为多少摄氏度？

【答案】（1）水温y℃开机时间x分钟的函数表达式为y＝2x+20；（2）t的值是50；（3）热水器中水的温度y约为55摄氏度
【分析】
（1）将（0，20），（25，70）代入函数表达式y=kx+b，即可解得答案；
（2）当25≤x≤t时，求得反比例的解析式，即可得出答案；
（3）求得对应时间的函数解析式即可．
【详解】
解：（1）当0≤x≤25时，设水温y℃开机时间x分钟的函数表达式为y＝kx+b，
将（0，20），（25，70）代入得，
，
解得，，
∴水温y℃开机时间x分钟的函数表达式为y＝2x+20；
（2）当25≤x≤t时，设水温y℃开机时间x分钟的函数表达式为y＝，
由题意得，70＝，
∴m＝1750，
∴y＝，
∴当y＝35时，t＝50，
∴t的值是50；
（3）∵AB∥CD，
∴设AB的解析式为y＝2x+n，
将（50，35）代入，得n＝﹣65，
∴AB的解析式为y＝2x﹣65，

当y＝70时，x＝67.5，
∵50＜60＜67.5，
∴把x＝60代入y＝2x﹣65，
则y＝2×60﹣65＝55，
∴开机通电60分钟时，热水器中水的温度y约为55摄氏度．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的应用，观察图像并正确理解题意是解题的关键．