专题07 排列组合与二项式定理（解析版）

这是一份专题07 排列组合与二项式定理（解析版），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。
专题07 排列组合与二项式定理
一、单选题
1．（2022·河北唐山·高三期末）六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有（ ）
A．15种 B．90种 C．540种 D．720种
【答案】B
【解析】
【分析】
利用乘法分步原理结合组合知识求解即可.
【详解】
解：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有种方法，再从剩下的4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有种方法.由乘法分步原理得共有种方法.
故选：B
2．（2022·河北深州市中学高三期末）展开式中的系数为
A．1 B．-9 C．31 D．-19
【答案】B
【解析】
【分析】
写出二项展开式的通项，求得的系数，常数项及的系数，与对应相乘，则答案可求．
【详解】
的展开式中第项为，其的系数，常数项，的系数分别为，，，故展开式中的系数为.
故选B.
【点睛】
本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
3．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）的展开式中的系数为，则该二项式展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，再令的指数为零，求出参数后代入展开式通项即可得解.
【详解】
的展开式通项为，
则，因为，则，
，令，可得，则，得，
因为，在中，令，可得，
因此，展开式中的常数项为.
故选：D.
4．（2022·山东临沂·高三期末）若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ）
A．90 B．-90 C．180 D．-180
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知可知项数n=10，再表示通项并令其中x的指数为零，求得指定项的系数即可.
【详解】
解：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数n=10，即，
则通项为，
令，则.
故选：C.
5．（2022·山东日照·高三期末）某市从6名优秀教师中选派3名同时去3个灾区支教 (每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案的种数为（ ）
A．48 B．60 C．96 D．168
【答案】C
【解析】
【分析】
用6人中任选派3人的方法数减去甲和乙同去的方法可得．
【详解】
由题意所求方法数为6人中任选派3人的方法数减去甲和乙同去的方法：．
故选：C.
6．（2022·山东青岛·高三期末）的展开式中的系数为（ ）
A．16 B．6 C．4 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先分别计算，展开式中的系数，再求和即可.
【详解】
解：因为展开式的通项公式为，故展开式中的系数为
展开式的通项公式为，故展开式中的系数为
所以的展开式中的系数为
故选：B
7．（2022·山东日照·高三期末）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大.
【详解】
因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.
故选：B
8．（2022·山东济南·高三期末）的展开式中，的系数为（ ）
A．40 B． C．80 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出的展开式为，在令，即可求出结果.
【详解】
因为的展开式为
令，所以的系数为.
故选：D.
9．（2022·山东临沂·高三期末）为了支援山区教育，现在安排名大学生到个学校进行支教活动，每个学校至少安排人，其中甲校至少要安排名大学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对甲校分配的大学生人数进行分类讨论，利用排列、组合计数原理结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】
若甲校分名大学生，此时有种分配方法；
若甲校分名大学生，此时有种分配方法.
综上所述，共有种分配方法.
故选：C.
10．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在2021中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰，5架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（ ）
A．51种 B．168种 C．224种 D．336种
【答案】B
【解析】
【分析】
按飞机的来源分两类，再计算出每一类的选法种数结合分类加法计数原理计算作答.
【详解】
计算选出的四个单位中恰有一架飞机的方法数有两类办法：
飞机来自中方，有种方法，飞机来自俄方，有种方法，
由分类加法计数原理得：(种)，
所以选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有168种.
故选：B
11．（2022·湖北·高三期末）假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（ ）
A．20种 B．14种 C．12种 D．10种
【答案】B
【解析】
【分析】
先将4名同学分为两组，两组人数为可能为1,3人或2,2人，共有种方案，再将两组同学分配到两个文明实践站有种，最后结合乘法原理求解即可.
【详解】
解：先将4名同学分为两组，两组人数为可能为1,3人或2,2人，
当两组人数为1,3时，有种方案，
当两组人数为2,2时，有种方案，
所以将4名同学分为两组，共有种方案，
再将两组同学分配到两个文明实践站，有种，
所以根据乘法原理得共有种不同的方法.
故选：B
12．（2022·湖南娄底·高三期末）若，则（ ）．
A．9 B． C．405 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
写出二项式展开式的通项公式，根据为第三项的系数，即可求得答案.
【详解】
因为，
所以,
故选：C.
13．（2022·湖南郴州·高三期末）国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．65 B．125 C．780 D．1560
【答案】D
【解析】
【分析】
6个人先分成4组，再进行排列，最后用乘法原理得解.
【详解】
6人分成4组有两种方案：“”、“”共有种方法，
4组分配到4个大门有种方法；
根据乘法原理不同的分配方法数为：.
故选:D.
14．（2022·广东潮州·高三期末）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ）
A．30种 B．36种 C．42种 D．64种
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得，分两个地区各分2人，另一个地区分1人和两个地区各分1人，另一个地区分3人两种情况，对两种情况的种数求和，即可求解．
【详解】
解：①当两个地区各分2人，另一个地区分1人时，总数有种；
②当两个地区各分1人，另一个地区分3人时，总数有种．
故满足条件的分法共有种．
故选：A
15．（2022·广东东莞·高三期末）的展开式中项的系数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二项式定理求得中项的系数，进而可求得的展开式中含项的系数.
【详解】
当且，的展开式通项为，
所以，的展开式中含的系数为，
的展开式中，含项的系数是.
故选：B.
16．（2022·广东罗湖·高三期末）的各项系数和为（ ）
A． B．27 C．16 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
使用二项式定理将式子展开即可求解.
【详解】
，各项系数和为.
故选：A.
17．（2022·广东汕尾·高三期末）已知的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则的展开式中的常数项为（ ）
A．-240 B．240 C．-60 D．60
【答案】D
【解析】
【分析】
根据第2项和第6项的二项式系数相等，可求得n值，根据展开式的通项公式，令，求得r值，代入即可得答案.
【详解】
由题意得，所以，
则的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以常数项为，
故选：D．
18．（2022·广东佛山·高三期末）的展开式中，的系数为（ ）
A．80 B．40 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】
的展开式中含的项为，
的展开式中含的项为，
所以的展开式中，的系数为，
故选：D
19．（2022·江苏通州·高三期末）若二项式的展开式中常数项为160，则a的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出二项式展开式的常数项，再列式计算作答.
【详解】
二项式的展开式的常数项为，
依题意，，解得，
所以a的值为.
故选：B
20．（2022·江苏扬州·高三期末）的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【解析】
【分析】
由二项展开式的通项公式代入即可解决.
【详解】
二项式展开式的通式为，
由，得r＝2，此时
即的展开式中的系数为40
故选：C
21．（2022·江苏海安·高三期末）展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出的展开式的通项，可得的项相应的的值，即可求解.
【详解】
的展开式的通项为，
所以展开式中含的项为，
所以展开式中的系数为，
故选：B.
22．（2022·江苏宿迁·高三期末）某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．72种 D．120种
【答案】A
【解析】
【分析】
先排列2名男生共有种排法，再将3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有种排法，分步乘法原理可求得答案.
【详解】
解：先排列2名男生共有种排法，再将3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有种排法，
所以舞台站位时男女间隔的不同排法共有种排法，
故选：A.
23．（2022·江苏常州·高三期末）已知，则系数中最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二项式定理得到通项公式，结合的奇偶性得到系数的正负，排除AB选项，CD选项进行比较得到结果.
【详解】
展开式第项，
为奇数时，；为偶数时，．AB排除
，．
故选：C
二、多选题
24．（2022·山东青岛·高三期末）的展开式中各项系数之和为2，则其中正确的是（ ）
A．a=1
B．展开式中含项的系数是
C．展开式中含项
D．展开式中常数项为40
【答案】AC
【解析】
【分析】
由题意得到，在逐个验证选项即可求出答案.
【详解】
令，，故A正确；
的展开式中含项的系数为，故B错误；
的展开式中为项 ，故C正确；
的展开式中常数项为，故D错误.
故选：AC.
25．（2022·山东德州·高三期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的展开式中常数项是15 B．的展开式中各项系数之和是0
C．的展开式中的二项式系数最大值是15 D．的展开式中不含的项
【答案】ABD
【解析】
【分析】
写出二项展开式通项公式，由x的指数为0可得常数项，判断A，在原式中令x=1可得所有项系数和，判断B，根据二项式系数的性质得最大值，判断C，由，可判断D．
【详解】
的通项为，令,
常数项为，A正确;
中令可得展开式中各项系数之和是0，B正确;
二项式系数最大值为中间项的二项式系数，C不正确;
令，不是整数，即不含的项，D正确.
故选：ABD.
26．（2022·广东揭阳·高三期末）已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为1
B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第四项
D．展开式中的指数均为偶数
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用赋值法计算的值，再利用展开的通项公式对选项进行分析获得答案.
【详解】
令代入二项式可得各项的系数和为，即可得正确；
对于，设展开式的通项为，
当为常数项时，则有，则可得.
代入二项式，可得展开式的常数项为，故错误；
对于，因为，可得展开式中二项式系数最大的项仅有一项为第四项，故正确；
对于，该展开式的通项为，可得展开式中的指数均为偶数.故D成立.
故选：BCD.
27．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知的展开式中共有7项，则（ ）
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项
D．有理项共4项
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由题意可得，对于A，所有项的二项式系数和为，对于B，令可求出所有项的系数和，对于C，由二项式展开式的系数特征求解即可，对于D，求出二项式展开式的通项公式，可求出所有的有理项
【详解】
因为的展开式中共有7项，
所以，
对于A，所有项的二项式系数和为，所以A正确，
对于B，令，则所有项的系数和为，所以B错误，
对于C，由于二项式的展开项共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C正确，
对于D，的展开式的通项公式为，当时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，所以D正确，
故选：ACD
28．（2022·江苏常州·高三期末）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
选项ACD均可以对其每一步的方法数进行合理解释，而选项B方法总数错误，不能对其每一步的方法数进行合理解释.
【详解】
选项A：表示先着色中间两格下面一格.从4种颜色取3种，有个方法，上面一格，从与中间两格不同的颜色中取出一个，有个方法，故共有个不同方法.正确；
选项B：,方法总数不对.错误；
选项C：表示先对中间两格涂颜色. 从4种颜色取2种，共有个方法，上下两格都是从与中间两格不同的颜色中取出一个，有个方法.故共有个不同方法.正确；
选项D：表示两种情况：①上下两格颜色相同，中间两格从3个剩下的颜色取2种，共有个不同方法；②上下两格颜色不同，中间两格从2个剩下的颜色取2种，共有个不同方法. 综合①②可知方法总数为：个不同方法.正确.
故选：ACD
三、填空题
29．（2022·山东莱西·高三期末）在的展开式中，的系数为___________；
【答案】
【解析】
【分析】
先求出二项展开式的通项公式，令的幂指数等于，求出的值，即可求出展开式中项的系数.
【详解】
由二项展开式的通项公式得
，其中令，即，
故展开式中的系数为.
故答案为：.
30．（2022·山东青岛·高三期末）某班级周三上午共有4节课，只能安排语文､数学､英语､体育和物理，若数学必须安排，且连续上两节，但不能安排二三节，除数学外的其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共___________种（用数字作答）.
【答案】21
【解析】
【分析】
分数学排一二节和数学排三四节两种情况分析计算即可
【详解】
当数学排在一二节时，则从语文、英语、体育和物理中任选2科，排在三四节，则种排法，
当数学排在三四节时，先从语文、英语和物理中任选1科，排在第一节，再从剩下的3科中任选1科，排在第二节，则有种排法，
由分步加法原理可得共有种排法，
故答案为：21
31．（2022·山东德州·高三期末）某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为：高铁､移动支付､网购､共享单车､一带一路､无人机､大熊猫､广场舞､中华美食､长城､京剧､美丽乡村.其中使用频率排前四的关键词“高铁､移动支付､网购､共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”.从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的选法种数为___________（用数字作答）.
【答案】164
【解析】
【分析】
从这12个关键词中选择3个不同的关键词，分为包含一个、二个、三个“新四大发明”关键词的情况计算可得答案.
【详解】
把12个的关键词分为两组：高铁、移动支付、网购、共享单车一组，余下的为一组，
从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的情况有
种.
故答案为：.
32．（2022·山东淄博·高三期末）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意，可得，进而可得其二项式展开式的通项，令x的指数为3，可得r的值，最后将r的值代入通项可得其展开式中的项，即可得答案．
【详解】
由题知，则，
令，得，
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
33．（2022·湖北武昌·高三期末）展开式中的系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由于，根据二项式定理，可得其展开式的通项为，其中，由此可知，再结合的范围，即可求出结果.
【详解】
由于，
所以其展开式的通项为，其中，
为得到展开式中的系数，则，
当时，的系数为；
当时，的系数为；
当时，的系数为；
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
34．（2022·湖北襄阳·高三期末）二项式展开式中常数项为______．
【答案】45
【解析】
【分析】
求得二项展开式的通项，令，即可求解展开式的常数项，得到答案.
【详解】
由题意，二项式的展开式的通项为，
令，得，
可得，即展开式的常数项是.
故答案为：.
35．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有______种.（用数字作答）
【答案】36
【解析】
【分析】
先将4名同学按2,1,1分成3组，再将这3组分配到3个比赛场馆可得答案.
【详解】
将4名同学按2,1,1分成3组有种方法.
再将这3组分配到3个比赛场馆，共有种
则所有分配方案共有种
故答案为：36
36．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）展开式中的系数为___________.
【答案】60
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式，可知展开式中含的项，以及展开式中含的项，再根据组合数的运算即可求出结果.
【详解】
解：由题意可得，展开式中含的项为，
而展开式中含的项为，
所以的系数为60.
故答案为：60.
37．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若，则展开式中的系数为_______．
【答案】150
【解析】
【分析】
利用赋值法及二项式系数和公式求出、列出方程求得，利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为3得进而得系数．
【详解】
中，令得展开式的各项系数之和，
根据二项式系数和公式得二项式系数之和，
∵，∴解得，
∴的展开式的通项为，
令得，故展开式中的系数为，
故答案为150.
【点睛】
本题主要考查赋值法是求二项展开式系数和的方法，利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题.
38．（2022·湖南常德·高三期末）展开式中的常数项是______．
【答案】
【解析】
【分析】
写出展开式通项，令的指数为零，求出对应的参数，代入通项计算即可得解.
【详解】
的展开式通项为，
因为，
在的展开式通项，由，可得，
在的展开式通项，由，可得.
因此，展开式中的常数项是.
故答案为：.
39．（2022·湖南郴州·高三期末）的展开式中项的系数为___________．
【答案】10
【解析】
【详解】
的展开式中含的项为：，
的展开式中项的系数为10，
故答案为：10
40．（2022·广东潮州·高三期末）的展开式中常数项是_________．
【答案】15
【解析】
【分析】
先写出二项展开式的通项公式，令指数为0，再利用组合数公式求常数项.
【详解】
的展开式的通项公式为
，
令，解得，
所以展开式中常数项是.
故答案为：15.
41．（2022·广东清远·高三期末）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护土，则不同的分配方法共有_______种．
【答案】540
【解析】
【分析】
先平均分组，再将三个小组分配到3所学校，运用排列组合知识进行求解.
【详解】
第一步，将6名护士平均分给3名医生组成三个小组，有种不同的分法；第二步，将三个小组分配到3所学校，有种不同的分法．故不同的分配方法共有种．
故答案为：540
42．（2022·广东·铁一中学高三期末）高三一班周一上午有四节课，分别安排语文､数学､英语和体育.其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有______种.
【答案】9
【解析】
【分析】
分三类考虑，语文安排在第二节, 语文安排在第三节，语文安排在第四节，分别求出各类的安排方法，相加即可.
【详解】
第一类：语文安排在第二节,
若数学安排在第一节,则英语安排在第四节,体育安排在第三节;
若数学安排在第三节，则英语安排在第四节,体育安排在第一节;
若数学安排在第四节,则英语安排在第一节,体育安排在第三节;
第二类：语文安排在第三节，
若英语安排在第一节,则数学安排在第四节,体育安排在第二节;
若英语安排在第二节，则数学安排在第四节，体育安排在第一节;
若英语安排在第四节,则数学安排在第一节,体育安排在第二节;
第三类：语文安排在第四节，
若体育安排在第一节,则英语安排在第二节,数学安排在第三节;
若体育安排在第二节，则英语安排在第一节，数学安排在第三节;
若体育安排在第三节，则英语安排在第二节，数学安排在第一节;
所以共有9种方案.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查有限制的元素排列问题，属于基础题.
43．（2022·江苏如东·高三期末）已知的展开式中第3项为常数项，则这个展开式中各项系数之和为_________.
【答案】64
【解析】
【分析】
先得出展开式的通项公式，根据条件先求出的值，然后再求各项系数的和.
【详解】
的展开式的通项公式为
由为常数，则，所以
展开式中各项系数之和为
故答案为：64
44．（2022·江苏如皋·高三期末）展开式中的常数项为_________.
【答案】40
【解析】
【分析】
时，，求出展开式的通项公式，令次数为0即为常数项；
当时，求出展开式的通项，令次数为0即为常数项，再求和即可.
【详解】
当时，，
展开式的通项公式为
，
令得，常数项为，
当时，，
展开式的通项公式为，
令得，常数项为，
所以展开式的常数项为.
故答案为：.
45．（2022·江苏无锡·高三期末）若的展开式中的系数为，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
法一：可使用二项式展开式的通项公式，通过已知条件，使用待定系数法，求解出参数的值；
法二：可以将此二项式看成6个这样的式子乘在一起，两项和看看怎样组合，能得到，即可完成等量关系的建立，从而完成参数的求解.
【详解】
法一：展开式第项

时，，，，.
故答案为：2.
法二：展开式中，要想凑出，必须取三次方，也取三次方，于是算下系数就有，.
故答案为：2.
四、双空题
46．（2022·河北保定·高三期末）某体育赛事组织者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，体育馆共有三个入口，每个入口需要分配不少于2个且不多于3个志愿者，每名志愿者都要被分配，则3名女志愿者被分在同一个入口的概率为___________，每个入口都有女志愿者的分配方案共有___________种.
【答案】 540
【解析】
【分析】
先由排列组合知识得出分配方案的种数、每个入口都有女志愿者的分配方案种数，结合古典概型概率公式求解即可.
【详解】
由题意可知，有一个入口有2名志愿者，两个入口有3名志愿者，分配方案共有种，3名女志愿者在同一个入口的分配方案共有种，故3名女志愿者被分在同一个入口的概率为，每个入口都有女志愿者的分配方案共有种.
故答案为：；