2021年广东省河源市紫金县正德中学中考数学二模试卷(含答案解析)

2021年广东省河源市紫金县正德中学中考数学二模试卷

1. 2021的相反数是

A.  B.  C. 2021 D.

2. 据国家邮政局统计，2021年农历除夕和初一两天，全国快递处理超130 000 000件，与去年同期相比增长，快递的春节“不打烊”服务确保了广大用户能够顺利收到年货，欢度佳节.将130 000 000用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示的几何体的左视图为

A.
B.
C.
D.
 

4. 下列代数式：，，，中，值一定为正的有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

5. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，延长CB至点M，使得，连接AM，则AM的长为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，将一块含的三角板叠放在直尺上．若，则
    

A.  B.  C.  D.

7. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是

A.  B. 且 C.  D. 且

8. 不等式组的解集在数轴上表示为

A.  B.
C.  D.

9. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为

A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022

10. 如图，抛物线的图象经过点，与x轴交点的横坐标分别为，，其中，，则下列结论：①；②；③关于x的方程为任意实数没有实数根.
    其中正确的有
     

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

11. 分解因式：______.
12. 已知关于a的多项式的值恒为0，则______ .
13. 一个n边形，它的内角和比外角和的4倍多，则这个多边形的边数______.
14. 如图，矩形ABCD的顶点A、B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，交BC于点若，，，则k的值______.

15. 如果∽，，，，，则______.
16. 已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面展开图的面积为______.

17. 如图，，点P是内的定点且，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则周长的最小值是______ .
    
     

18. 先化简，再求值：，其中
    
    
    
    
    
    
     
19. 行业景气指数是综合反映某一特定调查群体或某一社会经济现象所处的状态或发展趋势的一种指标景气指数，处于景气状态；景气指数，处于不景气状态年第四季度对千余家战略性新兴产业典型企业的调查结果显示，在一系列稳增长政策作用下，第四季度战略性新兴产业已经基本摆脱疫情带来的不良影响，各项指标全线上升.如图1是2020年第四季度部分新兴产业的行业景气指数及环比增速统计图环比增速
    请根据统计图解答下列问题：
    ①图中统计的七个行业中，环比增速的中位数是______ .
    ②请你根据上面统计图中的数据，对统计的七个行业进行简单评价写出一条即可
    小明对上述七个行业中的新能源汽车行业最感兴趣，他上网查阅了相关资料，找到四个新能源汽车的图标如图，并将其制成A，B，C，D四张卡片除编号和内容外，其余完全相同他将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法求抽到两张卡片恰好是“几何汽车”和“蔚来”的概率.

20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，，，垂足分别为E，F，且
    求证：四边形ABCD是菱形；
    连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若，，求EG的长．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接AO并延长AO交反比例函数图象于点C，直线AB交y轴于点
    求一次函数与反比例函数的解析式；
    若点P是x轴上一点，当时，求点P的坐标.

22. 某校积极筹备“爱成都迎大运”体育节活动决定购买一批篮球和足球共60个.已知在线下商店购买50个篮球和10个足球共需4600元，购买30个篮球和30个足球共需4200元.
    分别求在线下商店购买篮球和足球的单价；
    经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店篮球的单价和线下商店一样，但线上商店足球有优惠活动，足球的单价是线下的八折.若学校要求购买篮球的个数不得少于足球的个数的2倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的篮球和足球才能使得所花费用最少？并求出该费用的最小值？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，已知为的外接圆，BC为的直径，作射线BF，使得BA平分，过点A作于点
    求证：DA为的切线；
    若，，求的半径.
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为
    
    求k的值；
    若双曲线上点C的纵坐标为3，求的面积；
    在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知，如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点不与点B重合，于点N，连接
    求抛物线的解析式；
    当时，求点N的坐标；
    是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
     

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：2021的相反数是：
故选：
利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：从物体左面看，是一个正方形，正方形内部有一条纵向的虚线．
故选：
左视图是从物体左面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：当时，，所以的值不一定是正数；
当时，，所以的值不一定是正数；
因为，所以，故的值一定是正数；
当时，，故的值不一定是正数；
综上所述，值一定是正数的代数式有1个．
故选：
根据平方的非负性和绝对值的非负性对各小题分析判断即可得解．
本题考查了偶次方非负数和绝对值非负数的性质，此类题目，也可以利用举特殊例子排除法求解．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：作于N，如图所示：

则，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
；
故选：
作于N，求出，由含角的直角三角形的性质得出，，求出，由勾股定理即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：如图，直尺的两边互相平行，
，
，

故选：
先根据两直线平行，同位角相等求出，再根据对顶角相等求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解即可．
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
 

7.【答案】A
 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，分母不等于0，列不等式组，即可求出x的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件，难度不大，解答本题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：不等式组，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为，
表示在数轴上，如图所示：
，
故选：
求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：，b是方程的两个实数根，
，，

故选：
根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、是解题的关键．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：，，
，即所以①错误；
当时，①．
②，③，
由①+②得到，
由③-①得到，即，
上面两个相加得到，
故②是正确；
由图象可知抛物线与直线一定有两个交点，
关于x的方程一定有两个不相等的实数根，所以③错误；
故选：
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查二次函数系数符号的是由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等确定．
 

11.【答案】
 

【解析】解：原式
故答案为：
原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：关于a的多项式的值恒为0，
与是同类项，且系数互为相反数，
，，
，，
，
故答案为：
根据关于a的多项式的值恒为0，可得与是同类项，求得m，n，易得结果．
本题主要考查了同类二次根式的相关知识，解答此题的关键是由关于a的多项式的值恒为0，可得与是同类项．
 

13.【答案】11
 

【解析】解：，
解得，
故答案为：
根据多边形的内角和公式，与多边形的外角和等于列方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式，列出方程是解题的关键．
 

14.【答案】3
 

【解析】解：，
设、，
则，点D坐标为，
，
，
，
点，
反比例函数经过点D、E，
，
解得：或舍，

则，
故答案为
由，可设、，再表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数
 

15.【答案】12
 

【解析】解：在中，，，，

∽，
，即，

故答案为：
先在中利用勾股定理求出AC，再根据相似三角形的性质即可求出
本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．也考查了勾股定理．
 

16.【答案】
 

【解析】解：依题意知高线，底面半径，
由勾股定理求得母线长为：13cm，
则由圆锥的侧面积公式得
故答案为：
由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥，结合图形可得出母线及底面半径，继而可求出圆锥侧面积．
本题主要考查三视图的知识和圆锥侧面面积的计算，学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误．
 

17.【答案】
 

【解析】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则，，，，，
，，
此时周长最小，
作于H，则，
，
，

周长的最小值是，
故答案为：
作点P关于OB的对称点D，点P关于OA的对称点C，连接CD与OA，OB分别交于点M与N则CD的长即为周长的最小值；连接OC，OD，过点O作，在中求出HC即可求出
本题考查利用轴对称求最短距离问题；通过轴对称将周长转化为CD的长是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式


，
当时，
原式
 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】解：①把这些数从小大排列在，最中间的数是，
则中位数是
故答案为：
②答案不唯一，如：2020年第四季度高端设备行业的景气指数较高，处于景气状态；
2020年第四季度节能环保行业的景气指数低于其他行业等．

根据题意画图如下：

共有12种等可能的情况数，其中抽到两张卡片恰好是“几何汽车”和“蔚来”的有2种，
则抽到两张卡片恰好是“几何汽车”和“蔚来”的概率是
 

【解析】本题主要考查了条形统计图，折线统计图，树状图或列表法求事件的概率.
①根据中位数的定义解答即可；
②根据景气指数的高低来分析即可，答案不唯一；
根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出抽到两张卡片恰好是“几何汽车”和“蔚来”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，，
，且，，
≌，
，
四边形ABCD是菱形；
如图，

，
，
，，
，且，

 

【解析】利用全等三角形的性质证明即可解决问题；
由直角三角形的性质可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

21.【答案】解：将，代入得，
解得，
一次函数为，
将代入得，
反比例函数的解析式为；

由题意可知，
，
把代入，
，
，
，
，
，即，
，
或
 

【解析】由待定系数法即可得到结论；
先求得D的坐标，求得的面积，即可求得，根据中心对称的性质得出，即可得到，从而得到，求得OP，即可求得P的坐标．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键．
 

22.【答案】解：设在线下商店购买篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
依题意得：，
解得：
答：在线下商店购买篮球的单价为80元，足球的单价为60元．
设学校在线上商店购买m个篮球，则购买个足球，
依题意得：，
解得：
设学校在线上商店购买这些篮球和足球共花费w元，则
，
随m的增大而增大，
当时，w取得最小值，最小值元
答：学校在线上商店购买40个篮球，20个足球时，所花费用最少，最少费用为4160元．
 

【解析】设在线下商店购买篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据“在线下商店购买50个篮球和10个足球共需4600元，购买30个篮球和30个足球共需4200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设学校在线上商店购买m个篮球，则购买个足球，根据购买篮球的个数不得少于足球的个数的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设学校在线上商店购买这些篮球和足球共花费w元，根据总价=单价数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
 

23.【答案】证明：连接OA；
为的直径，BA平分，，
，；
，
，
为的切线．

解：，，
，
，
；
，

的半径为
 

【解析】要证AD是的切线，连接OA，只证即可．
根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出的半径．
本题考查了切线的判定和性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识．
 

24.【答案】解：把点A的横坐标为代入，
其纵坐标为1，
把点代入，解得：

双曲线上点C的纵坐标为3，
横坐标为，
过A，C两点的直线方程为：，把点，，
代入得：，
解得：，
，设与x轴交点为D，
则D点坐标为，
的面积

设P点坐标，由直线AB解析式可知，直线AB与y轴正半轴夹角为，
以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为的菱形，P在直线上，
当点M只能在y轴上时，点的横坐标为a，代入，解得纵坐标为：，
根据，即得：，
解得：
故P点坐标为：或
 

【解析】把点A的横坐标为代入求出其纵坐标，然后把A点的坐标代入求出k即可．
根据纵坐标为3，求出横坐标，再求出过A，C两点的直线方程，然后根据的面积求解即可．
设P点坐标，根据题意，得点M只能在y轴上，进而结合菱形的性质即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点及反比例函数图象上坐标的特征，难度较大，关键掌握用待定系数法解函数的解析式．
 

25.【答案】解：抛物线与x轴交于，两点，
得，
解得：，
，

当时，，
，
，
，
，
，
，，
在中，，
过点N作轴于点H，

，，
当点M在点A左侧时，N的坐标为，
当点M在点A右侧时，N的坐标为，
综上，点N的坐标为或，
设M点为，
则由可得，
，，
，
是直角三角形，，
又由得：
，
若以点C，M，N为顶点的三角形与相似，
则：，即，
即，
所以，
此时M为；
，即，
即，
解之可得：或，
为或，
综上所述，存在以点C，M，N为顶点的三角形与相似，且M的坐标为或或
 

【解析】把A、B两点坐标代入解析式求出a、b后可以得解；
过点N作轴于点H，则根据题意可以得到NH及AH的值，再分点M在点A左侧和点M在点A右侧两种情况分别写出点N坐标即可；
由题意可得为直角三角形，所以若以点C，M，N为顶点的三角形与相似，则或，由这两种情况分别求出M的坐标即可．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数解析式的求法、直角三角形的性质、三角形相似的判定与性质是解题关键．