大冶市聚龙外国语学校摸底考试数学试卷-教师用卷

大冶市聚龙外国语学校摸底考试数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有

A. 条
B. 条
C. 条
D. 条

【答案】B

【解析】解：如图，

因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，
所以此图形的对称轴有条．
故选：．
根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数．
本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
 

2. 如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．
首先利用等腰三角形的性质证得，然后根据题意证得，即是等腰三角形，根据等腰三角形的性质证得，通过等量代换证得，即可求解．
【解答】
解：，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，
，
，
，
．
故选：．  

3. 如图，点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是

A.
B.
C. 与互余的角有个
D. 点是的中点
 

【答案】C

【解析】解：点，分别是，平分线上的点，
，，
，
，故A选项结论正确；
在和中，
，
≌，
，，
同理可得，，
，故B选项结论正确；
与互余的角有，，，共个，故C选项结论错误；
，
点是的中点，故D选项结论正确．
故选：．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，同理可得，，然后求出，然后对各选项分析判断即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
 

4. 如图，关于，给出下列四组条件：
   中，；
   中，，；
   中，，平分；
   中，，平分边．
   其中，能判定是等腰三角形的条件共有

A. 组 B. 组 C. 组 D. 组

【答案】D

【解析】

【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】
解：、中，，
是等腰三角形，故正确；
、中，，，
，
，
是等腰三角形，故正确；
中，，平分，
，，
，，
，
是等腰三角形，故正确；
、中，，平分边，
，
是等腰三角形，故正确；
即正确的个数是，
故选D．  

5. 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如，，故，都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】
本题考查了平方差公式在新定义类计算中的简单应用，正确将所给的数字拆成平方差的形式是解题的关键．
根据数字的特点，分别将、和写成两个正整数的平方差的形式，而不能写成两个正整数的平方差的形式，则问题得解．
【解答】
解：因为，
，
，
不能表示成两个正整数的平方差．
所以、和是“创新数”，而不是“创新数”．  

6. 八年级学生去距学校千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是骑车同学速度的倍，则骑车同学的速度为

A. 千米时 B. 千米时 C. 千米时 D. 千米时

【答案】B

【解析】解：设骑车同学的速度为千米时，则汽车速度为千米时．
列方程为：．
解这个方程得：．
经检验，是原方程的解．
答：骑车同学的速度千米小时．
故选：．
等量关系为：骑车同学用的时间汽车用的时间，根据等量关系列出方程．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．解分式方程注意检验．
 

7. 下面是一名学生所做的道练习题：，他做对的个数

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】
本题考查了有理数的乘方，合并同类项法则，负整数指数次幂的运算，幂的乘方与积的乘方，是基础题，熟记各性质是解题的关键．根据有理数的乘方，合并同类项法则，负整数指数次幂等于正整数指数幂的倒数，幂的乘方与积的乘方的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】
解：，故本小题错误；
，故本小题错误；
，故本小题错误；
，故本小题正确；
综上所述，做对的个数是．
故选：．  

8. 如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且有下列结论：；为等边三角形；；其中正确的结论是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】解：如图，连接，

，，点是的中点，
，，，，
是的中垂线，
，且，

，，
，
，
故正确；
，
，
，
，
是等边三角形，
故正确；
如图，作点关于的对称点，连接，，
，，

是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
点、关于对称，即，且，
，
、、、共线，
，
．
故正确；
过点作，在上截取，
，，
是等边三角形，
，
，且，，
≌，
，
，

，，
，
，
故正确．
所以其中正确的结论是．
故选：．
连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断；由三角形内角和定理可求，可判断；过点作，在上截取，由“”可证≌，作点关于的对称点，连接，，根据对称性质即可判断；过点作，在上截取，由三角形的面积的和差关系可判断．
本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
 

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 已知，，则的值等于________．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．此题比较简单，易于掌握．先把分式通分，并化为最简，然后再把，代入即可解答． 

【解答】

解：，
，，
，
故答案为．

 

10. 如图，是等边三角形外一点．若，，连接，则的最大值与最小值的差为______．
    
    
    
     

【答案】

【解析】解：如图，以为边向外作等边，连接，

和是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
≌，
，
，，
在中，，
即，
，
．
则的最大值与最小值的差为．
故答案为：．
以为边向外作等边，连接，可证得≌从而得到，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把转化为从而求解，是一道较好的中考题．
 

11. 点关于轴对称的点的坐标为          ．

【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的轴对称中的坐标变化，若两个点关于轴对称，可知两点的纵坐标不变、横坐标互为相反数，结合点的坐标，即可求出点关于轴对称的点的坐标．

【解答】
解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为．

12. 定义，例如，则的结果为________．

【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了新定义运算，平方差公式，解题的关键是理解新定义的运用．根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
【解答】
解：根据题意得：
．
故答案为．  

13. 如图，，平分交于点，若，，则到的距离为______．
    
    
     

【答案】

【解析】解：过作于，

，
，
平分交于点，，
，
，，
，
，
即到的距离为，
故答案为：．
过作于，根据角平分线的性质得出，求出即可．
本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线的性质得出是解此题的关键．
 

14. 若，则          ．

【答案】

【解析】解法一
 

 ，
 ，，，，，，
 ．

解法二：取时，
 

15. 如图，、分别是线段、的垂直平分线，，，，一只小蚂蚁从点出发爬到边上任意一点，再爬到边上任意一点，然后爬回点处，则小蚂蚁爬行的路径最短为          ．
     

【答案】

【解析】当与的交点为，与的交点为时，小蚂蚁爬行的路径最短．
、分别是线段、的垂直平分线，
，，
小蚂蚁爬行的路径最短为．
 

16. 若关于的分式方程无解，则的值为__________．

【答案】或或

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的解和解分式方程，掌握分式方程无解的条件是解决问题的关键先求解分式方程，一种情况是整式方程无解此时求出的值，另一种情况是将代入最简公分母后，令其为，求出的值即可．
【解答】
解：



则，
则时，，
原方程无解，
或，
解得：或或，
当或时，，
的值为，，．
故答案为或或．  

三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）

17. 分解因式：．

【答案】解：原式
．

【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解可得．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

18. 解分式方程：
    
    ．

【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．

【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

四、解答题（本大题共6小题，共54.0分）

19. 先化简，再求值：，其中，满足

【答案】解：原式
  






，

得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
 
原式．

【解析】本题考查的是分式的化简求值，二元一次方程组的解法，首先对该分式化简，然后解二元一次方程组求出、的值，最后再代入计算即可解答．
 

20. 如图，已知，，，且，，三点共线，求证：．
    
    
     

【答案】证明：在和中，
，
≌，
，，
，
．

【解析】由≌，可得，，由，可得．
本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

21. 如图，在边长为的小正方形网格中，的顶点均在格点上．
    
     

点关于轴的对称点坐标为          

作出将向左平移个单位长度后关于轴对称的

求的面积．

【答案】解：

如图，即为所求．

．

【解析】见答案．
 

22. 某学校年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费元，购买乙种足球共花费元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花元；
    求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
    年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了，乙种足球售价比第一次购买时降低了如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？

【答案】解：设购买一个甲种足球需要元，则购买一个乙种篮球需要元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个甲种足球需要元，购买一个乙种篮球需要元．
设可购买个乙种足球，则购买个甲种足球，
根据题意得：，
解得：．
答：这所学校最多可购买个乙种足球．

【解析】【试题解析】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设购买一个甲种足球需要元，则购买一个乙种篮球需要元，根据数量总价单价结合购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设可购买个乙种足球，则购买个甲种足球，根据总价单价数量结合此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
 

23. 如图，点是等边内一点，，，以为一边作等边三角形，连接．
    
    当时，试判断的形状，并说明理由
    当为多少度时，是等腰三角形

【答案】解析：   是直角三角形理由：

是等边三角形，

，，

又是等边三角形，

，，

，

．

在与中，

，

，

，

是直角三角形．

由得，，

结合题图易知，

．

要使，需，

，
．

要使，需，

，
．

要使，需，

，
．

综上，当为或或时，是等腰三角形．

【解析】略
 

24. 探索发现：如图，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、求证：，．
    
     

迁移应用：如图，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，直接写出点的坐标．_______________

拓展应用：如图，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点求点的坐标．

【答案】证明：，

，
，
在和中，
，
≌，
，，

解：如图，过点作轴，垂足为，过点作，交的延长线于，
由已知得，且
由得，，

，
，
，
，
点的坐标为，

如图，过点作，交于，过点作轴于，
对于直线，由得
，

由得，
，，



由得，
，
，
设直线为，将点、代入，
则，解得
直线为
由得，
．

【解析】先判断出，再判断出，进而判断出≌，即可得出结论；
先判断出，，进而得出，，即可求出，即可得出结论；
先求出，由得，进而得出，，再判断出，即可判断出，，进而求出直线的解析式，即可得出结论．
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．