高考数学(理数)一轮精品复习：第6章《不等式》讲与练(32页学生版)

这是一份高考数学(理数)一轮精品复习：第6章《不等式》讲与练(32页学生版)，共30页。试卷主要包含了不等式的性质；　2，不等式的一些常用性质，))等内容，欢迎下载使用。
本节主要包括2个知识点： 1.不等式的性质； 2.一元二次不等式.
突破点(一) 不等式的性质
eq \a\vs4\al([基本知识])
1．比较两个实数大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>ba，b∈R，,a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，,a－bba∈R，b>0，,\f(a,b)＝1⇔a＝ba∈R，b>0，,\f(a,b)b，ab>0⇒eq \f(1,a)eq \f(b,c)，则a>b.( )
(3)若a>b，c>d，则ac>bd.( )
2．填空题
(1)若ab>0，且a>b，则eq \f(1,a)与eq \f(1,b)的大小关系是________．
(2)a，b∈R，a＜b和eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)同时成立的条件是________．
(3)已知a＋b>0，则eq \f(a,b2)＋eq \f(b,a2)与eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的大小关系是________________．
(4)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则M与N的大小关系为M________N.
eq \a\vs4\al([全析考法])
[例1] (1)已知x∈R，m＝(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(x,2)＋1))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))(x2＋x＋1)，则m，n的大小关系为( )
A．m≥nB．m＞n
C．m≤nD．m＜n
(2)若a＝eq \f(ln 2,2)，b＝eq \f(ln 3,3)，则a____b(填“＞”或“＜”)．
(3)已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则eq \f(S3,a3)与eq \f(S5,a5)的大小关系为________．
[方法技巧] 比较大小的常用方法
[例2] (1)若eq \f(1,a)b2 D．若a>b，则eq \f(1,a)eq \f(1,a)>eq \f(1,b).
其中正确的个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
3.eq \a\vs4\al([考点一])若x>y>1,0y2
C.eq \r(x)>eq \r(y)D．x3>y3
突破点(二) 一元二次不等式
eq \a\vs4\al([基本知识])
1．三个“二次”之间的关系
2.不等式ax2＋bx＋c>0(0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ0的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))∪(2，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,3)))∪(2，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2))
(3)求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
[方法技巧]
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
考法(一) 在实数集R上恒成立
[例2] (1)(若不等式－x2＋2ax0的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,α)，\f(1,β)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,α)，－\f(1,β)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,β)，\f(1,α)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,β)，－\f(1,α)))
2.eq \a\vs4\al([考点二·考法一])已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．[0,1]
B．(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
3.eq \a\vs4\al([考点一])不等式eq \f(4,x－2)≤x－2的解集是( )
A．(－∞，0]∪(2,4]B．[0,2)∪[4，＋∞)
C．[2,4)D．(－∞，2)∪(4，＋∞)
4.eq \a\vs4\al([考点二·考法二])若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1]B．[－4,3]
C．[1,3]D．[－1,3]
5.eq \a\vs4\al([考点二·考法三])要使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立，则x的取值范围为________．
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( )
A．[－2，－1]B．[－1,2)
C．[－1,1]D．[1,2)
2．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )
A．{1}B．{2} C．{0,1}D．{1,2}
3．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－eq \r(5)＜x＜eq \r(5)}，则( )
A．A∩B＝∅B．A∪B＝R
C．B⊆AD．A⊆B
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 不等式的性质
1．下列三个不等式：①x＋eq \f(1,x)≥2(x≠0)；②eq \f(c,a)b>c>0)；③eq \f(a＋m,b＋m)>eq \f(a,b)(a，b，m>0且ab>0，c0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
eq \a\vs4\al([基本能力])
1．判断题
(1)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.( )
(2)函数f(x)＝cs x＋eq \f(4,cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最小值等于4.( )
(3)x>0，y>0是eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2的充要条件．( )
(4)若a>0，则a3＋eq \f(1,a2)的最小值为2eq \r(a).( )
2．填空题
(1)设x，y∈R＋，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．
(2)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
(3)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为________．
eq \a\vs4\al([全析考法])
利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
[例1] (1)已知0b>0，f(a)＝f(b)，则eq \f(a2＋b2,a－b)的最小值等于________．
[方法技巧]
通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．对于一些多元函数求最值的问题，解决方法是消元拼凑后利用基本不等式求解．
eq \a\vs4\al([全练题点])
1.eq \a\vs4\al([考点一])已知函数y＝x－4＋eq \f(9,x＋1)(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3B．2
C．3D．8
2.eq \a\vs4\al([考点二])已知m>0，n>0,2m＋n＝1，则eq \f(1,4m)＋eq \f(2,n)的最小值为( )
A．4B．2eq \r(2)
C.eq \f(9,2)D．16
3.eq \a\vs4\al([考点一])若实数x，y满足xy>0，则eq \f(x,x＋y)＋eq \f(2y,x＋2y)的最大值为( )
A．2－eq \r(2)B．2＋eq \r(2)
C．4＋2eq \r(2)D．4－2eq \r(2)
4.eq \a\vs4\al([考点三])已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为( )
A．5＋2eq \r(2)B．8eq \r(2)
C．5D．9
突破点(二) 基本不等式的综合问题
关于基本不等式的考题，涉及的知识点较多，常融合于函数、数列、解析几何及实际问题中，此类问题一般难度较大，需要较强的分析问题、解决问题的能力.
eq \a\vs4\al([全析考法])
[例1] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比eq \f(|A1B1|,|B1C1|)＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
[方法技巧]
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
考法(一) 基本不等式与线性规划的交汇问题
[例2]已知x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y≤1，))z＝2x＋y的最大值为m，若正数a，b满足a＋b＝m，则eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为( )
A．9B．eq \f(3,2)
C.eq \f(4,3)D．eq \f(5,2)
考法(二) 基本不等式与函数的交汇问题
[例3]已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，2eq \r(2)－1)
C．(－1,2eq \r(2)－1)
D．(－2eq \r(2)－1,2eq \r(2)－1)
考法(三) 基本不等式与数列的交汇问题
[例4] 正项等比数列{an}中，a2 018＝a2 017＋2a2 016，若aman＝16aeq \\al(2,1)，则eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)的最小值等于( )
A．1B．eq \f(3,2)
C.eq \f(5,3)D．eq \f(13,6)
考法(四) 基本不等式与解析几何的交汇问题
[例5]若直线2ax＋by－2＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的最小值是( )
A．2－eq \r(2)B．eq \r(2)－1
C．3＋2eq \r(2)D．3－2eq \r(2)
[方法技巧]
求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
eq \a\vs4\al([全练题点])
1.eq \a\vs4\al([考点二·考法三])已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋eq \f(1,a)，n＝a＋eq \f(1,b)，则m＋n的最小值是( )
A．3B．4
C．5D．6
2.eq \a\vs4\al([考点二·考法四])若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2eq \r(3)，则t＝aeq \r(1＋2b2)取得最大值时a的值为( )
A.eq \f(1,2)B．eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4)D．eq \f(3,4)
3.eq \a\vs4\al([考点二·考法一])已知变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥2，,3x－y≥1，,y≥x＋1，))若z＝ax＋by(a>0，b>0)的最小值为2，则ab的最大值为( )
A．1B．eq \f(1,2)
C.eq \f(1,4)D．eq \f(1,6)
4.eq \a\vs4\al([考点二·考法二])已知函数f(x)＝ln(x＋eq \r(x2＋1))，若正实数a，b满足f(2a)＋f(b－1)＝0，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值是________．
5.eq \a\vs4\al([考点一])某品牌电脑体验店预计全年可以销售360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金，经理决定分批购入，若每批都购入x台(x为正整数)，则每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比，且每批购入20台时，全年需用去运费和保管费7 800元．
(1)求全年所付运费和保管费之和y关于x的函数关系式；
(2)若全年只有8 000元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量；如果不够用，最少还需多少？
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 利用基本不等式求最值
1.若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A．8B．6
C．4D．2
2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2]B．[－2,0]
C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]
3．若正实数x，y满足(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，则x＋eq \f(1,2y)的最大值为( )
A．－1＋eq \f(3\r(2),2)B．1
C．1＋eq \f(3\r(3),2)D．eq \f(3\r(2),2)
4．设x>0，y>0，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,y)))2＝eq \f(16y,x)，则当x＋eq \f(1,y)取最小值时，x2＋eq \f(1,y2)＝________.
5．已知x，y为正实数，则eq \f(2x,x＋2y)＋eq \f(x＋y,x)的最小值为________．
对点练(二) 基本不等式的综合问题
1．函数y＝lga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为( )
A．2B．4
C．8D．16
2．当0c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>0))⇒ac>bc
注意c的符号
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,cd))⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd>0
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)(n∈N，n≥2)
比较大小
差值比较
商值比较
原理
设a，b∈R，则
a>b⇔a－b>0，
a＝b⇔a－b＝0，
a0，则
eq \f(a,b)>1⇔a>b，
eq \f(a,b)＝1⇔a＝b，
eq \f(a,b)