专题05 阿氏圆求最小值-备战2022年中考数学压轴题之二次函数篇（全国通用）

中考数学压轴题--二次函数

第5节  阿氏圆求最小值

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方法点拨

点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点 A、B，则所有满 足 PA=k·PB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

如图 1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知 r=k·OB，

连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？

如图2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k·r，则可说 明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与 A 与 C 为定点,P 为动点，故当 A、P、C 三点共线时， “PA+PC”值最小。如图3所示：

【破解策略详细步骤解析】

       例题演练

例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x的顶点为点A

（1）求点A的坐标；

（2）点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，点M为线段OB的中点，点P为直线OB下方抛物线上的一动点．当△POM的面积最大时，过点P作PC⊥y轴于点C，若在坐标平面内有一动点Q满足PQ＝，求OQ+QC的最小值；

【解答】解：（1）∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，

∴A（﹣2，﹣4）；

（2）如图1，过P作PH⊥x轴交OB于H，作PG⊥BC于G，过M作MD⊥y轴交y轴于D，

∵点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，∴B（﹣6，12），

∴直线AB解析式为y＝﹣2x

设P（m，m2+4m），则H（m，﹣2m），PH＝﹣2m﹣（m2+4m）＝﹣m2﹣6m

∵点M为线段OB的中点，∴M（﹣3，6），∴MD＝3

∵PH∥y轴∴∠PHG＝∠MOD

∵PG⊥BC   MD⊥y轴

∴∠PGH＝∠MDO∴△PGH∽△MDO

∴＝，即 PG•MO＝PH•MD＝3（﹣m2﹣6m）＝﹣3m2﹣18m，

∴S△POM＝PG•MO＝﹣9m＝﹣（m+3）2+

∵﹣＜0，∴当m＝﹣3时，S△POM的值最大，此时P（﹣3，﹣3），

在PC上取点T，使得PT＝，连接QT，OT，

∵PC＝3，PQ＝∴＝＝

∵∠QPT＝∠CPQ∴△QPT∽△CPQ∴＝＝，即TQ＝QC，

∴OQ+QC＝OQ+TQ≥OT

∵OT＝＝＝

∴OQ+QC的最小值为；

练1.1如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；

（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．

【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，

∴（x+1）（ax+3）＝0，

∴x＝﹣1或﹣，

∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），

∴﹣＝4，

∴a＝﹣．

∵A（4，0），B（0，3），

设直线AB解析式为y＝kx+b，则，

解得，

∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．

（2）如图1中，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，

∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，

∴△PNM∽△ANE，

∴＝，

∵NE∥OB，

∴＝，

∴AN＝（4﹣m），

∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，

∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，

∴＝，

解得m＝2或4，

经检验x＝4是分式方程的增根，

∴m＝2．

（3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．

∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，

∴OE′2＝OM′•OB，

∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，

∴△M′OE′∽△E′OB，

∴＝＝，

∴M′E′＝BE′，

∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），

最小值＝AM′＝＝．

练1.2如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．

（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．

（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B．①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q点的坐标．

②求BE′+AE′的最小值．

【解答】解：（1）把点A（8，0）代入抛物线y＝ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6＝0，

∴16a＝﹣6，a＝﹣，

∴y＝﹣x2+x+6与y轴交点，令x＝0，得y＝6，

∴B（0，6）．

设AB为y＝kx+b过A（8，0），B（0，6），

∴，解得：，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6．

（2）∵E（m，0），

∴N（m，﹣m+6），P（m，﹣m2+m+6）．

∵PE∥OB，

∴△ANE∽△ABO，

∴＝，

∴＝，解得：AN＝．

∵PM⊥AB，

∴∠PMN＝∠NEA＝90°．

又∵∠PNM＝∠ANE，

∴△NMP∽△NEA．

∵＝，

∴，

∴PM＝AN＝×＝12﹣m．

又∵PM＝﹣m2+m+6﹣6+m＝﹣m2+3m，

∴12﹣m＝﹣m2+3m，整理得：m2﹣12m+32＝0，解得：m＝4或m＝8．

∵0＜m＜8，

∴m＝4．

（3）①在（2）的条件下，m＝4，

∴E（4，0），

设Q（d，0）．

由旋转的性质可知OE′＝OE＝4，

若△OQE′∽△OE′A．

∴＝．

∵0°＜α＜90°，

∴d＞0，

∴＝，解得：d＝2，

∴Q（2，0）．

②由①可知，当Q为（2，0）时，

△OQE′∽△OE′A，且相似比为＝＝＝，

∴AE′＝QE′，

∴BE′+AE′＝BE′+QE′，

∴当E′旋转到BQ所在直线上时，BE′+QE′最小，即为BQ长度，

∵B（0，6），Q（2，0），

∴BQ＝＝2，

∴BE′+AE′的最小值为2．

练1.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P．连接AC．

（1）求点P的坐标及直线AC的解析式；

（2）如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接FA、FC．求AF+CF的最小值；

【解答】解：（1）在抛物线y＝x2+x+3中，

当x＝0时，y＝3，

∴C（0，3），

当y＝3时，x1＝0，x2＝2，

∴P（2，3），

当y＝0时，x1＝﹣4，x2＝6，

B（﹣4，0），A（6，0），

设直线AC的解析式为y＝kx+3，

将A（6，0）代入，

得，k＝﹣，

∴yAC＝﹣x+3，

∴点P坐标为P（2，3），直线AC的解析式为yAC＝﹣x+3；

（2）在OC上取点H（0，），连接HF，AH，

则OH＝，AH＝＝＝，

∵＝＝，＝，且∠HOF＝∠FOC，

∴△HOF∽△FOC，

∴＝，

∴HF＝CF，

∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，

∴AF+CF的最小值为；

练1.4如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

【解答】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5

∴C（0，5）

y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1

∴A（1，0）

∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点

∴   解得：

∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5

当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5

∴B（5，0）

（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H

∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）

∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5

∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10

∵点M为x轴下方抛物线上的点

∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）

∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5

∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8

∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18

∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18

（可以直接利用点M是抛物线的顶点时，面积最大求解）

（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD

∴BD＝5﹣4＝1

∵AB＝4，BP＝2

∴

∵∠PBD＝∠ABP

∴△PBD∽△ABP

∴＝＝，

∴PD＝AP

∴PC+PA＝PC+PD

∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小

∵CD＝

∴PC+PA的最小值为

练1.5如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（，0），B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；

（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ+EQ的最小值．

【解答】解：（1）由题意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），

设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣），

把C（0，﹣3）代入得到a＝．

故抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．

（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，

∴∠OAC＝60°，

∵AD平分∠OAC，

∴∠OAD＝30°，

∴OD＝OA•tan30°＝1，

∴D（0，﹣1），

∴直线AD的解析式为y＝x﹣1，

由题意P（m，m2+m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0），

∵FH＝PH，

∴1﹣m＝m﹣1﹣（m2+m﹣3）

解得m＝﹣或（舍弃），

∴当FH＝HP时，m的值为﹣．

（3）如图，∵PF是对称轴，

∴F（﹣，0），H（﹣，﹣2），

∵AH⊥AE，

∴∠EAO＝60°，

∴EO＝OA＝3，

∴E（0，3），

∵C（0，﹣3），

∴HC＝＝2，AH＝2FH＝4，

∴QH＝CH＝1，

在HA上取一点K，使得HK＝，此时K（﹣，﹣），

∵HQ2＝1，HK•HA＝1，

∴HQ2＝HK•HA，

∴＝，

∵∠QHK＝∠AHQ，

∴△QHK∽△AHQ，

∴＝＝，

∴KQ＝AQ，

∴AQ+QE＝KQ+EQ，

∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值＝＝．