专题11 动点最值（原卷版）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

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专题11 动点最值之将军饮马模型
模型一、两定一动模型

例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为　　．

【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2，
即PA+PB的最小值为2．故答案为：2．
【变式训练1】如图，正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一点P，使PC＋PE最小，则这个最小值的平方为（ ）
A. B. C. 12 D.

【答案】B
【解析】连接AC、AE，过点C作CG⊥AB，如图所示：

∵正方形ABEF，∴AE⊥BF,OA＝OE，
即可得：E关于BF的对称点是A，连接AC交BF于P，则此时EP＋CP的值最小，EP＋CP＝AC，
∵正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，∴AB＝BE＝2，BE＝BC＝2，
在Rt△BCG中，∠CBG＝90º－60º＝30º，BC＝2，∴CG＝1，，
，
，即这个最小值的平方为.
【变式训练2】如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥
AB，过点D作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC
的周长取得最小值时，DP的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：连接PB、PC、PA，要使得△PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可，
∵PB+PC＝PA+PB≥AB，∴当P与E重合时，PA+PB最小，
∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AF＝CF，
∵∠ACB＝90°，∴EF∥BC，∴AE＝BE＝AB＝2.5，∴EF＝BC＝1.5，
∵AD⊥AB，∴△AEF∽△DEA，∴＝，
∴DE＝＝，故选：B．

【变式训练3】如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？

【答案】∠ECF＝30º
【解析】过E作EM∥BC，交AD于N，如图所示：
∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF＋CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60º，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30º.
模型二、一定两动

例.如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M′、N′，连接OC、
OD、PM′、PN′．∵点P关于OA的对称点为C，∴PM′＝CM′，OP＝OC，∠COB＝∠POB；
∵点P关于OB的对称点为D，∴PN′＝DN′，OP＝OD，∠DOA＝∠POA，
∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝4．∴当M、N与M′、N′重合时，
△PMN周长最小＝PM′+M′N′+PN′＝DN′+M′N′+CM′＝CD＝4，选B．
【变式训练1】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB
上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）

A．140° B．100° C．50° D．40°
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，
连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．
【变式训练2】如图，在菱形ABCD中，AB＝，∠A＝120º，点P,Q,K分别为线段BC,CD，BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为 .

【解答】
【解析】过点C作CE⊥AB，如图所示：
∵菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120º，∴∠ABC＝60º，BC＝2，BD平分∠ABD，
∴BE＝，CE＝BE＝，
∵BD平分∠ABD，∴在AB上作点P关于BD的对称点P'，∴PK＋QK＝P'K＋KQ，
当P',K,Q三点共线且P'Q⊥AB时，PK＋QK有最小值，
即最小值为平行线AB,CD的距离，则最小值为.
【变式训练3】如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（ ）
A. B. C. 6 D. 3

【答案】C
【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：
∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'， B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，
又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，
∴NB＋NM ＋BM＜ BM'＋M’N'＋BN'，＝NB＋NM＋BM时周长最小；

连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：
在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，
∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，
∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB＝，
又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，
在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，
∴＝NB＋NM＋BM＝6，故选C.
【变式训练4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分
别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是　2　．

【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接CP′交AD于点Q，则
CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q，∴∠PAQ＝∠P′AQ．
又∵AD是∠A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，
∴∠PAQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴点P′在边AB上．
∵当CP′⊥AB时，线段CP′最短．∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，
∴AB＝4，且当点P′是斜边AB的中点时，CP′⊥AB，
此时CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．故填：2．
模型三、两段之差模型
例.如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（ ）
A. 12 B. 8 C. 6 D. 2

【解答】B
【解析】∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC，
又∵＝BM＋MC＋BC＝20，BM＋MA＝AB＝12，∴BC＝20－12＝8，
在MN上取点P，∵MN垂直平分AC，如图所示，连接PA、PB、PC，∴PA＝PC，

∴PA－PB＝PC－PB，
在△PBC中PC－PB＜BC
当P、B、C共线时（PC－PB）有最大值，此时PC－PB＝BC＝8，故选B.
【变式训练1】如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC,P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为 .

【解答】2
【解析】如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN',MN'，
根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM－PN＝PM－PN'≤MN'，
当P,M,N'三点共线时，取“＝”,
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，∴AC＝6，
∵O为AC中点，∴AO＝OC＝3，
∵AN＝2，∴ON＝1，∴ON'＝1，CN'＝2，∴AN'＝4，
，∴CM＝AB－BM＝6－4＝2，
，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝60º，
∵∠N'CM＝60º，∴△N'CM为等边三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM－PN的最大值为2.
【变式训练2】如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于　10　．

【答案】10
【解答】解：延长AB交MN于点P′，
∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大，
∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，
过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，
∴AB＝＝＝10，∴|PA﹣PB|的最大值等于10，
故答案为：10．
模型四、特殊型
例1.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝　　时，四边形APQE的周长最小．

【解答】解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，
此时MQ+EQ最小，∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，
∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，
∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，
∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，解得：x＝，则CQ＝
故答案为：．
【变式训练】如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P
的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（　　）

A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）
【解答】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y＝x，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0），连接A'B'交直线y＝x于点Q，如图
理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ，∴四边形APQA'是平行四边形，∴AP＝A'Q
∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝，∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小
根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小
∵B'（0，1），A'（2，0），∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1
∴x＝﹣x+1，即x＝，∴Q点坐标（，），故选：A．
课后训练
1.如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解析】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
选D．

2.如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150º，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP＋PQ最小值是( )
A. 12 B. 15 C. 16 D. 18

【答案】D
【解析】如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则EB＝EF，
∵∠B＋∠C＝150º，∴∠BEC＝30º，∴∠BEF＝60º，∴△BEF是等边三角形，
连接BP，PF，PQ，则BP＝FP，∴BP＋QP＝FP＋PQ，
当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，BP＋PQ的最小值为FQ的长，
此时，Q为EB的中点，故与A重合，
∵DA⊥AB.DA＝6，∴AE ＝，
∴Rt△QEF中，FQ＝AE＝18，
∴BP＋PQ最小值值为18，故选D.
3.如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（　　）

A．3 B．2 C． D．4
【解答】解：如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR＝ER，
当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR+QR的最小值是PE的长，
设等边△ABC的边长为x，则高为x，
∵等边△ABC的面积为4，
∴x×x＝4，解得x＝4，
∴等边△ABC的高为x＝2，
即PE＝2，故选：B．
4.如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N
分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（　　）

A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2 D．
【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，
则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），
∵点B（3，4），∴A′B＝＝5，
∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．故选：A．
5.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且，则PC＋PD的最小值为 .

【答案】
【解析】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC.设AM＝，
∵四边形ABC都是矩形，AB//CD， AB＝ CD＝4， BC＝AD＝6，
，∴，∴＝2，
∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，，
∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC＋PD＝PC＋PE≥EC，∴PD＋PC≥，
∴PD＋PC的最小值为.
6.如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），
点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM
的周长最小时，点N的坐标为　（4，6）　．

【解答】解：如图所示：作点F关于AB的对称点F′，作点E关于y轴的对称点E′，
连接E′F′交AB与点N．
∵C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，
∴OE＝OE′＝4，FB＝CF＝3，∴E′C＝12，CF′＝9．∵AB∥CE′，
∴△F′NB∽△F′E′C．∴＝＝，即＝，解得BN＝4，
∴AN＝4．∴N（4，6）．故答案为：（4，6）．
7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE
（1）说明：AE＝CE＝BE；
（2）若DA⊥AB,BC＝6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB＋PC最小，并求出此时PB＋PC的值.

【答案】（1）见解析；（2）12
【解析】（1）∵△ADC是等边三角形，DF⊥AC，
∴DF垂直平分线段AC，∴AE＝EC，∴∠ACE＝∠CAE，
∵∠ACB＝90º，∴∠ACE＋∠BCE＝90º＝∠CAE＋∠B＝90º，
∴∠BCE＝∠B，∴CE＝EB，∴AE＝CE＝BE；
（2）连接PA,PB,PC，如图所示：

∵DA⊥AB，∴∠DAB＝90º，
∵∠DAC＝60º，∴∠CAB＝30º，∴∠B＝60º，∴BC＝AE＝EB＝CE＝6.
∴AB＝12，
∵DE垂直平分AC，∴PC＝AP，∴PC＝PB＋PA，
∴当PB＋PC最小时，也就是PB＋PA最小，即P,B,A共线时最小，
∴当点P与点E共点时，PB＋PC的值最小，最小值为12.
8.已知：矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝6，E为AD中点，M为CD上一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N.

（1）求证：PE＝EM；
（2）用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；
（3）过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DK＋KG＋PG的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）BP2＋NC2＝PN2；（3）
【解析】（1）证明：过P作PQ⊥AD于Q，则PQ＝AB，如图所示：

∵AD＝2AB，E为AD中点，∴AD＝2DE，∴PQ＝DE，
∵PE⊥EM，∴∠PQE＝∠D＝∠PEM＝90º，∴∠QPE＋∠PEQ＝∠PEQ＋∠DEM＝90º，
∴∠QPE＝∠DEM，∴△PQE≌△EDM（ASA），∴PE＝EM；
（2）三者的数量关系是：BP2＋NC2＝PN2
①点N与点C重合时，P为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；
②点P与点B重合时，N为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；
③证明：连接BE、CE，如图所示：

∵四边形ABCD为矩形，AD＝2AB，E为AD中点，
∴∠A＝∠ABC＝90º，AB＝CD＝AE＝DE，
∴∠AEB＝45º，∠DEC＝45º，在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（SAS），∠BEC＝90º，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB＝45º，∴∠EBC＝∠ECD，
又∵∠BEC＝∠PEM＝90º，∴∠BEP＝∠MEC，∠EBP＝∠ECM
在△BEP和△CEM中，，∴△BEP≌△CEM（ASA），∴BP＝MC，PE＝ME，
∵EN平分∠PEM，∴∠PEN＝∠MEN＝45º，在△EPN和△EMN中，，
∴△EPN≌△EMN（SAS），∴PN＝MN，
在Rt△MNC中有：MC2＋NC2＝MN2，∴BP2＋NC2＝PN2；
（3）连接PM，如图所示：

由（2），可得PN ＝MN， PE＝ ME，∴EN垂直平分PM，PG⊥EN，
∴P、G、M三点共线，且G为PM的中点，
∵K为EM中点，，又∵∠D＝90º，，
由（2），可得△PEM为等腰直角三角形，
根据勾股定理，可得，，
∴当ME取得最小值时，DK＋GK＋PG取得最小值，
即当ME＝DE＝6时，DK＋GK＋PG有最小值，最小值为.