2022届黑龙江省大庆中学高三上学期第一次月考数学（理）试题（含解析）

大庆中学2021--2022学年度上学期月考高三

理科数学试题

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1. 若复数，则的虚部是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由复数除法运算可求得，根据共轭复数定义得到，由此确定的虚部.

【详解】，，的虚部为.

故选：A

2. 命题“”的否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】通过全称命题的否定是特称命题进行判断．

【详解】命题“”是全称命题，又全称命题的否定是特称命题，故“，”的否定是“”.

故选：C.

3. 已知向量，，则向量与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合平面向量线性运算的坐标表示求出，然后代入模长公式分别求出和，进而根据平面向量的夹角公式即可求出夹角的余弦值，进而求出结果.

【详解】，，

，，从而，

且，记与的夹角为，

则．

又，

，

故选：．

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用二倍角公式和诱导公式，可得，即得解.

【详解】已知，则

故选：A

【点睛】本题考查了二倍角公式和诱导公式的综合应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.

5. 已知是等差数列的前项和，则，则=

A. 22 B. 33 C. 44 D. 66

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】是等差数列的前项和，

，

，

解得，

，

故选B.

6. 如果关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】对二次项系数进行分类讨论，然后由一元二次不等式与二次函数的关系建立不等式组求解即可得到答案.

【详解】当即时，有，不等式成立；

当即时，由题可得，解之得：；

综上，.

所以实数a的取值范围是.

故选：C.

【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立的问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查分类讨论思想，属于常考题.

7. 大庆实验中学安排某班级某天上午五节课课表，语文､数学､外语､物理､化学各一节，现要求数学和物理不相邻，且都不排在第一节，则课表排法的种数为（    ）

A. 24 B. 36 C. 72 D. 144

【答案】B

【解析】

【分析】分数学排在第一节、物理排在第一节、数学和物理都不排在第一节但相邻三类，分别求得排法数求和，由5节课任意排的排法减去三类情况的排法数即可.

【详解】1、将数学排在第一节的排法有种；

2、将物理排在第一节的排法有种；

3、数学和物理都不排在第一节，但相邻的排法有种；

而5节课任意排的排法有种，

∴数学和物理不相邻且都不排在第一节的排法有种.

故选：B.

8. 展开式中含项系数是（    ）

A. 12 B. 60 C. 192 D. 240

【答案】A

【解析】

【分析】利用展开式的通项公式直接求解.

【详解】展开式的通项公式，

令6 - 2r = 4,解得：r = 1,

所以展开式中含项系数是.

故选：A

【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．

9. 已知函数的图象的一条对称轴为直线，则要得到函数的图象，只需把函数的图象

A. 向右平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的倍

B. 向右平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的倍

C. 向左平移个单位长度，纵坐标伸长为原来倍

D. 向左平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的倍

【答案】B

【解析】

【详解】∵函数的图象的一条对称轴为直线，

∴，

∴，

又，∴，

∴,

∴将函数的图象向右平移个单位后所得图象对应的解析式为

，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的倍，所得图象对应的解析式为．故选B．

10. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天走的路程为（    ）

A. 12里 B. 24里 C. 36里 D. 48里

【答案】B

【解析】

【分析】

该人从第一天起每天走得路程成等比数列，且公比为，前6和为378，求出首项，得到通项公式，即可求解.

【详解】该人从第一天起每天走得路程记为，

则是公比为的等比数列，

，

解得，.

故选:B

【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列前项和以及通项公式的基本运算，属于基础题.

11. 已知函数，且，则以下结论正确的是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】因为，所以函数的单调递减函数，又因为，即，所以由函数的单调性可得：，应选答案D．

12. 设数列的前项和为，已知，，则（    ）

A. 510 B. 511 C. 512 D. 514

【答案】A

【解析】

【分析】通过给赋值，分奇数和偶数找出数列之间的关系，再求前60项的和即可

【详解】当时，，当时，；

当时，，当时，；

当时，，当时，；

由上述递推式可得：，

，，，即，，

故，，

，故，

故选：A

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 若随机变量，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性，知，即可求概率.

【详解】由题意知：正态分布曲线关于对称，

∴.

故答案为：.

14. 设为函数的导数，,则________.

【答案】3

【解析】

【详解】由条件知，，

故

故结果为3 ．

15. 若双曲线的右顶点到其中一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为________．

【答案】

【解析】

【分析】由点到直线的距离公式得出的关系，再变形求得离心率．

【详解】右顶点为，一条渐近线方程为，即，

由题意，即，所以．

故答案为：2

16. 若，不等式恒成立，则取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】设，可将不等式变形为，令，利用导数可求得单调递增，由此得到，分离变量可得，利用导数可求得的最大值，由此.

【详解】由得：，

设，则，；

令，则，

令，则，

令，解得：，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，，

在上单调递增，，即，，

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，，

，即的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解不等式恒成立问题，解题关键是能够将恒成立的不等式构造成同一函数不同函数值之间大小关系的问题，由函数单调性可得自变量之间大小关系，进而利用分离变量法求得参数范围.

三、解答题（本大题共6个小题，17---21每小题12分，22题10分，共70分）

17. 已知等差数列的前项和为., .

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由等差数列公式联立求解关于的一元二次方程即可；

（2）求得，采用分组求和法即可求解.

【详解】（1）由,  ,得，解得, 所以；

（2）.因，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以.

18. 近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：

（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；

（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为，求的分布列、数学期望.

参考公式： ，其中.

下面的临界值仅供参考：

【答案】（1）有把握，理由见解析；（2）分布列见解析，0.9.

【解析】

【分析】(1)由公式计算的值，查表求临界值，比较的计算值与临界值的大小确定是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关；(2)确定随机变量的取值，求其取各值得概率，由此可得的分布列，根据期望公式求的期望.

【详解】（1）∵，即，

∴，又，

∴我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的.

（2）现在从患心肺疾病的10位女性中选出3位，其中患胃病的人数，

∴，，

，，

所以的分布列为

则.

19. 如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，再利用向量的数量积运算，证明线线垂直，从而证明线面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再利用数量积求向量的夹角即可得解.

【详解】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴

∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，

又AP∩AC=A，

故BD⊥平面PAC.

（2）由（1）得.

设平面PCD的法向量为，则，

即，∴，故平面PCD的法向量可取为,

∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.

设二面角P—CD—B的大小为，依题意可得，

故二面角P—CD—B余弦值的大小为.

【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面垂直及求二面角的平面角的余弦值，重点考查了运算能力，属中档题.

20. 已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．

（1）求C1的离心率；

（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．

【答案】（1）；（2）：，： .

【解析】

【分析】（1）根据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出点的纵坐标，根据，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；

（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；

【详解】解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中.

不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：，

所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；

又因为抛物线的方程为，所以当时，有，

所以的纵坐标分别为，，故，.

由得，即，解得（舍去），.

所以的离心率为.

（2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为.

由已知得，即.

所以的标准方程为，的标准方程为.

【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.

21. 已知函数

（1）若，求在处切线的方程；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程；

（2）考虑，变形为，令，利用导数证明其单调性并得出最小值，从而得出的取值范围.

【详解】解：（1）因，则

又所以切线方程为

（2）因为，所以，即

令

令，则

当时，，当时，

即，所以当时，，当时，

所以a的取值范围是

【点睛】方法点睛：对于函数不等式的恒能成立问题，一般可以采用以下方法：

1、，都有成立，则

2、，都有成立，则

22. 已知曲线C的极坐标方程为.

（1）若直线过原点，且被曲线C截得弦长最短，求此时直线的标准形式的参数方程；

（2）是曲线C上的动点，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为，再由，得到其普通方程，然后由直线过原点，且被曲线C截得弦长最短时，求解；

（2）设，由圆心到直线的距离等于半径求解.

【详解】（1）因为曲线C的极坐标方程为，

所以，

因为，

所以，即；

当直线过原点，且被曲线C截得弦长最短时，

则，则，

直线的普通方程为，则其参数方程为；

（2）设，当圆心到直线的距离等于半径时，

即，解得，

所以的最大值是.