数学必修 第三册第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.2 单位圆与三角函数线导学案

7．2.2　单位圆与三角函数线

[课程目标] 1.理解单位圆、有向线段的概念．

2．学会用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．

3．通过三角函数的几何表示，进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间．

[填一填]

1．单位圆

一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆．

2．正弦线、余弦线

如图所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则可以直观地表示cosα：的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα＝||；的方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα＝－||.习惯上，称为角α的余弦线．类似地，图中的可以直观地表示sinα，因此称为角α的正弦线．

3．正切线

如图所示，设角α的终边与直线x＝1交于点T，则可以直观地表示tanα，因此称为角α的正弦线．

正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．

[答一答]

1．对于三角函数线的理解应注意哪些问题？

提示：(1)三角函数线是表示一个角的三角函数值的几何方法，是对任意角的三角函数定义的一种“形”上的补充，它们的大小(即长度)等于角α的三角函数的绝对值，要特别注意它们均有方向．记法：当两个端点都在x轴上时，以原点为起点(余弦线)；当两个端点有一个在x轴上时，以x轴上的点为起点(正弦线、正切线)，三角函数值的正负与轴的方向才相同．

(2)正切线都是过点A(1,0)作圆的切线与角α终边或反向延长线相交所成的有向线段．当角α终边在第一、四象限时，正切线为过A(1,0)作单位圆的切线与角α终边所成的有向线段；当角α终边在第二、三象限时，正切线为过点A(1,0)作圆的切线与角α终边的反向延长线的交点所成的有向线段．

(3)当角α的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线||＝1或－1；当角α的终边在y轴上时，正弦线||＝1或－1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在．

2．怎样由三角函数值(范围)，利用单位圆中三角函数线确定终边相同的角(范围)?

提示：(1)已知正弦值sinα＝a，因为正弦线是与y轴平行或重合的向量，所以确定的方法是：①在y轴上找出与正弦值对应的一点(0，a)(若正弦值为正，在y轴正半轴上取点，若为负，在y轴负半轴上取点)；②过该点作x轴的平行线交单位圆于两点A，B；③分别作射线OA，OB，则OA，OB就是使sinα＝a的角的终边．若sinα≥a，则平行线上方一段圆弧所对应角的范围为所求，若sinα<a，则平行线下方一段圆弧所对应角的范围为所求(但不包括角的边界)，简述为大上，小下．

(2)已知余弦值cosα＝a，因为余弦线是与x轴重合的向量，所以确定的方法是：①在x轴上找出与余弦值对应的一点(a,0)(若余弦值为正，在x轴正半轴上取点，若为负，在x轴负半轴上取点)；②过该点作y轴的平行线交单位圆于两点A，B；③分别作射线OA，OB，则OA，OB就是使cosα＝a的角的终边．若cosα≥a，则该平行线右侧一段圆弧对应角的范围为所求，若cosα<a，则平行线左侧一段圆弧对应角的范围为所求，简述为大右，小左．

(3)已知正切值tanα＝a，过A(1,0)点作单位圆的切线，在切线上截取AT＝a，过O，T作直线交单位圆于两点A，B，则射线OA，OB为所求的使tanα＝a的角α的终边，对于tanα>a(或tanα≤a)型的不等式，用以后所学习的正切函数图像解决比较方便．

类型一　　三角函数线

[例1]　分别作出和－的正弦线、余弦线和正切线．

[解]　(1)在直角坐标系中作单位圆如图所示，以Ox轴正方向为始边作的终边与单位圆交于P点，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox轴的垂线与OP的反向延长线交于T点，则

sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT.

即的正弦线为，余弦线为，正切线为.

(2)同理可作出－的正弦线、余弦线和正切线，如图所示．

sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.

即－的正弦线为，余弦线为，正切线为.

三角函数线是有向线段，因此书写时应分清起点和终点，这对于下一步学习三角函数性质很有用处.

[变式训练1]　确定下式的符号：sin1－cos1.

解：因为<1<，如图所示，由三角函数线可得sin1>>cos1，故sin1－cos1>0.

类型二　　利用三角函数线求三角函数值或角的范围

命题视角1：利用三角函数线求三角函数值的范围

[例2]　(1)若－≤θ≤，确定sinθ的范围；

(2)若30°≤θ<90°或90°<θ≤120°，确定tanθ的范围．

[分析]　(1)先在单位圆中画出角θ的终边对应的区域－≤θ≤，借助正弦线确定函数值的变化范围．

(2)先在单位圆中画出角θ的终边对应的区域30°≤θ<90°或90°<θ≤120°，借助正切线确定函数值的变化范围．

[解]　(1)∵－≤θ≤，∴θ的终边对应区域如图，在由OB转向OA过程中sinθ的值在第三象限为负，在第四象限为负，在θ＝－时，正弦线|MB|＝R，故最小值为－1；在第一象限时，正弦线取正值且不断增大，故在θ＝时取最大值.

∴－1≤sinθ≤.

(2)画出角θ的终边对应区域，如图，当角θ的终边从OA转向OB时，tanθ在第一象限取正值，正切线越来越长到无穷，

∴tanθ≥；tanθ在第二象限取负值时，由90°→120°的过程中，正切线越来越短，到OB时，tanθ＝MN＝－，

∴tanθ≤－，

∴tanθ∈(－∞，－]∪.

充分利用单位圆画出已知角的范围，结合正弦线、余弦线、正切线正确解题，应特别注意正弦线、余弦线、正切线的位置、方向、符号.正弦线为α的终边与单位圆“交点”到x轴的垂直线段，由“垂足”指向“交点”，与y轴同向为正、反向为负；余弦线在x轴上，由“原点”指向“垂足”，与x轴同向为正，反向为负；正切线在过单位圆与x轴正向的交点的切线上，由“切点”指向与α终边或反向延长线的交点，与y轴同向为正，反向为负.

[变式训练2]　已知<α<，则cosα的取值范围是.

解析：角α的终边对应区域如图中阴影部分，角α终边在从OA转向OB过程中，其余弦线OM越来越短，然后变成负值，在α＝π时取最小值－1，然后又增大，由于cos＝，

∴－1≤cosα<.

命题视角2：利用三角函数线求角的范围

[例3]　利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：

(1)sinα＝；(2)cosα≥.

[分析]　(1)在单位圆中画出sinα＝的正弦线，确定在0～2π内符合要求的角，而后根据终边相同的角得出答案；(2)先确定cosα＝的余弦线，再确定符合条件的角的范围．

[解]　(1)如图①所示，过点A作x轴的平行线，与单位圆交于P、P′点，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝，所以∠xOP＝，∠xOP′＝.

所以满足条件的所有角α的集合是

.

(2)如图②所示，过点B作x轴的垂线，与单位圆交于点P、P′，则cos∠xOP＝cos∠xOP′＝，

所以∠xOP＝，∠xOP′＝－.

所以满足条件的所有角α的集合是

.

表示角的集合时要注意终边相同的角的表示方法，明确角的旋转方向是顺时针还是逆时针，产生的角是变大还是变小.

[变式训练3]　在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：

(1)sinα≥；(2)cosα≤－.

解：(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围，如图①.

故满足条件的角α的集合为

.

(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α终边的范围，如图②.

故满足条件的角α的集合为

.

类型三　　比较三角函数值的大小

[例4]　利用三角函数线比较下列各组数的大小：

(1)sinπ与sinπ；(2)tanπ与tanπ.

[分析]　在同一个单位圆中根据角的大小作出三角函数线，根据三角函数线来比较大小．

[解]　如图所示．

(1)∵||>||且与都与y轴正方向一致，∴sinπ>sinπ.

(2)∵||>||且与都与y轴正方向相反，

∴tanπ<tanπ.

利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：1角的位置要“对号入座”；2比较三角函数线的长度；3确定有向线段的正负.

[变式训练4]　sin，cos，tan从小到大的顺序是cos<sin<tan.

解析：由图可知cos<0，tan>0，sin>0，

∵||<||，

故cos<sin<tan.

类型四　　证明三角不等式

[例5]　设角α是锐角，利用单位圆与三角函数线证明：sinα<α<tanα.

[证明]　如图所示，设角α的终边交单位圆于P，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M.过点A(1,0)作单位圆的切线交OP于点T，连接PA，

则sinα＝MP，tanα＝AT，

∵S△OAP<S扇形OAP<S△OAT，

∴OA·MP<αOA2<OA·AT.

又OA＝1，

∴MP<α<AT，

即MP<α<AT.

∴sinα<α<tanα.

三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义.

[变式训练5]　利用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1.

证明：当角α的终边在x(y)轴上时，正弦线(余弦线)变成一个点，而余弦线(正弦线)的长等于r(r＝1)，此时|sinα|＋|cosα|＝1.

当角α的终边落在某一个象限内时，如图所示，利用三角形两边之和大于第三边有：|sinα|＋|cosα|＝MP＋OM>1.

综上有|sinα|＋|cosα|≥1.

1．已知，，分别是60°角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有(　B　)

A．MP<OM<AT   B．OM<MP<AT

C．AT<OM<MP   D．OM<AT<MP

解析：OM<MP<AT.

2．已知角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，则α的终边在(　C　)

A．第一象限角平分线上

B．第四象限角平分线上

C．第二、第四象限角平分线上

D．第一、第三象限角平分线上

解析：角α的正弦与余弦值异号，且其值的绝对值相等，则α的终边在第二或第四象限的角平分线上．

3．若－<α<－，则sinα、cosα、tanα的大小关系是(　D　)

A．sinα<tanα<cosα

B．tanα<sinα<cosα

C．cosα<sinα<tanα

D．sinα<cosα<tanα

解析：如图，在单位圆中，作出－<α<－内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线．

由图知，||<||<||，考虑方向可得sinα<cosα<tanα.

4．若θ∈，则sinθ的取值范围是.

解析：由图可知正弦值在第二象限为正，第三象限为负，且逐渐减小至－1，故MPmax＝sin＝，MPmin＝sin＝－1，>sinθ>－1，即sinθ∈.