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考点21与圆有关的位置关系（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（华师大版）
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这是一份考点21与圆有关的位置关系（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（华师大版），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考点21与圆有关的位置关系
考点总结
知识点一：与圆有关的位置关系
关键点拨及对应举例
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)dr⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.
2.直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
知识点二 ：切线的性质与判定
3.切线
的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.
4.切线
的性质
（1）切线与圆只有一个公共点.
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于经过切点的半径.
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.
*5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.
知识点四 ：三角形与圆
5.三角形的外接圆
图形
相关概念
圆心的确定
内、外心的性质
内切圆半径与三角形边的关系：
（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.
（2）直角三角形的内切圆（如图b）
①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.
例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.
经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形
三角形三条垂直平分线的交点
到三角形的三个顶点的距离相等
6.三角形的内切圆
与三角形各边都相
切的圆叫三角形的
内切圆，内切圆的
圆心叫做三角形的
内心，这个三角形叫
圆的外切三角形
到三角形三条角平分线的交点
到三角形的三条边的距离相等
真题演练
一、单选题
1．（2021·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．
【详解】
解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB=58.5°，
∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，
∵点A是弧EC的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，
故选：B．
2．（2021·山东滨州·中考真题）如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cos∠ABC的值．
【详解】
解：连接AD，如右图所示，
∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD==8，
∴cos∠ADC==，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cos∠ABC的值为，
故选：A．
3．（2021·山东临沂·中考真题）如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
【详解】
解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠ADB=55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．
故选：C．
4．（2021·山东泰安·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】
如图，延长AD，BC，二线交于点E，可求得∠E=30°，在Rt△CDE中，利用tan30°计算DE，在Rt△ABE中，利用sin30°计算AE，根据AD=AE-DE求解即可；
【详解】
如图，延长AD，BC，二线交于点E，
∵∠B=90°，∠BCD=120°，
∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠EDC= 90°，
在Rt△CDE中，
tan30°=，
∴DE==，
在Rt△ABE中，
sin30°=，
∴AB==4，
∴AD=AE-DE=,
故选C
5．（2021·山东泰安·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
【答案】B
【分析】
连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数．
【详解】
解：连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE=∠GAC=48°，
故选：B．
6．（2021·山东临淄·二模）等边三角形ABC内接于⊙O，P是劣弧上一点（不与A，B重合），将△PBC绕C点顺时针旋转60º，得△DAC，AB交PC于点E．则下列结论错误的是（ ）
A．PA＋PB＝PC
B．
C．四边形ABCD有可能成为平行四边形
D．△PCD的面积有最大值
【答案】C
【分析】
分别根据等边三角形的判定与性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质分别判断即可．
【详解】
解：∵将△PBC绕C点顺时针旋转60°，
∴∠PCD=60°，PC=CD，AD=PB，∠CAD=∠CBP，
∵∠PBC+∠PAC=180°，∠DAC+∠PAC=180°，
∴P，A，D在一条直线上，
∴△PCD是等边三角形，
∴PC=PD=DC，
∴PB+PA=PA+AD=PD=PC，故选项A正确；
∵∠BPC=∠BAC=∠CBA=60°，
∠PCB=∠BCE，
∴△BCE∽△PCB，
∴
∴，故选项B正确；
当四边形ABCD成为平行四边形时，AD=BC，
∵PB=AD，
∴PB=BC，
∵∠BPC=∠BAC=60°，
∴△PBC是等边三角形，此时P与A点重 合，
∵P是劣弧上一点（不与A、B重合），
∴四边形ABCD不可能成为平行四边形，故选项C错误；
∵P是劣弧上一点（不与A、B重合），将△PBC绕C点顺时针旋转60°，
∴根据①得出旋转后的三角形是等边三角形，当边长越大，则三角形面积越大，
故当P为劣弧的中点时，PC最大，此时三角形面积最大，
∴△PCD的面积有最大值，故选项D正确．
故选：C．
7．（2021·山东临淄·二模）在如图所示的正方形网格中，点，，，，均在格点上，则点是（ ）
A．的外心 B．的内心
C．的外心 D．的内心
【答案】A
【分析】
根据网格利用勾股定理得出，进而判断即可．
【详解】
解：由勾股定理可知：
，
所以点O是的外心，
故选：A．
8．（2021·山东莱西·一模）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ABO =20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【答案】C
【分析】
先根据切线的性质得到∠OAB=90°，则利用互余可计算出∠O=70°，然后根据圆周角定理得到∠ADC的度数．
【详解】
解：∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∴∠B=20°，
∴∠O=90°-20°=70°，
∴∠ADC=∠O=×70°=35°．
故选：C．
9．（2021·山东招远·一模）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由切线的性质求解 再利用三角形的内角和定理求解 再利用圆心角与圆周角的关系可得答案．
【详解】
解： 是的切线，，
故选：
10．（2021·山东聊城·二模）如图，是的直径，、是上的点，，过点作的切线交的延长线于，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
连接OC，根据太监可之∠OCE=90°，然后根据圆周角定理可知∠COE=60°，进而可求出∠E的度数，即可求出答案．
【详解】
解：连接OC，
∵EC切⊙O于C，
∴∠OCE=90°，
∵∠CDB=30°，
∴∠COE=60°，
∴∠E=180°-90°-60°=30°，
∴=．
故选：C
二、填空题
11．（2021·山东青岛·中考真题）如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【分析】
连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，根据切线的性质得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE=，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
【详解】
解：连接AC，OD，
∵四边形BCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，
∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，
∴∠PAO=∠PDO=90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA=OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，
∴∠E=∠ACB=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC=2AO=2，DE=CD=2，
∴AP=PD=AO=，
∴PE=3，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：5-π．
12．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）如图，中，，，点E是中点，点D，F分别是，上的点（包括端点），若使为直角三角形的点F恰好有三个，则的长为__________．
【答案】2
【分析】
如图，当D，E分别为直角顶点时，一定存在两个点F1，F2满足条件．以DE为直径作圆，当圆与直线AB相切时，存在一个点F，使得∠DFE＝90°，此时CD＝AD＝2，观察图象可知，满足条件的CD的值为CD=2．当时，观察满足条件的F；当时，观察满足条件的F；当点D与A重合时观察满足条件的F，观察满足条件的F．
【详解】
解：如图，当D，E分别为直角顶点时，一定存在两个点F1，F2满足条件．
以DE为直径作圆，当圆与直线AB相切时，存在一个点F，
使得∠DFE＝90°，此时CD＝AD＝2，
∴当CD＝2时使为直角三角形的点F恰好有三个；
当时，如图：
使为直角三角形的点F只有二个；
当时，如图，
使为直角三角形的点F有四个；
当时，如图
使为直角三角形的点F只有二个；
综上，当CD＝2时使为直角三角形的点F恰好有三个；
故答案为：2．
13．（2021·山东乳山·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若，则_______．
【答案】
【分析】
过点O做OE垂直于AC，根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC=x，AC=3x，根据勾股定理得到AB=；在△AOE中，OE=x；在△CBO中，CO=，在△COE中，求解即可．
【详解】
过点O做OE垂直于AC，交AC于点E，
设BC=x，AC=3x，根据勾股定理得到AB=，
∴AO=BO= ，
在△CBO中，CO= =，
在△AOE中，sin∠BAC= = ，
∴OE= ，
∴在△CEO中，根据勾股定理得CE= x，
∴tan∠ACO= = ．
14．（2021·山东李沧·二模）如图，以等边三角形的边为直径画半圆，分别交，于点，，是圆的切线，过点作的垂线交于点．若的长为2，则的长为______．
【答案】
【分析】
连接OD，BD，作DH⊥FG于H，DM⊥BC于M，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=∠ABC=60°，AC=BC，根据切线的性质得OD⊥DF，再证明OD∥AB，则DF⊥AB，在Rt△ADF中根据含30度的直角三角形三边的关系得DF=2，由BC为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠BDC=90°，则AD=CD=4，OD=4，所以OM=OD=2，在Rt△DFH中可计算出FH=，DH=FH=3，则GM=3，于是OG=GM-OM=1，BG=OB-OG=3，在Rt△BGF中可计算FG=3．
【详解】
解：连接OD，BD，作DH⊥FG于H，DM⊥BC于M，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=∠ABC=60°，AC=BC，
∵OD=OC
∴△ODC为等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠A=∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DF是圆的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AB，
在Rt△ADF中，AF=2，∠A=60°，
∴∠ADF=30°
∴AD=4，
∴DF=，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥AC，
∴AD=CD=4，
∴OD=4，
∴OM=OD=2，
∵∠ABC=60°，∠FGB=90°
∴∠BFG=30°
∴∠DFH=60°
∴∠FDH=30°
在Rt△DFH中， DF=2，
∴FH=，
∴DH=，
∴GM=3，
∴OG=GM-OM=1，
∴BG=OB-OG=3，
在Rt△BGF中，∠FBG=60°，BG=3，
∴FB=6
∴．
故答案为：3．
15．（2021·山东南区·二模）如图，点是上一点，是弧的中点，若，则的度数是_________°．
【答案】32°
【分析】
根据圆中内接四边形对角互补，求出，再利用等弧对等角即可得出．
【详解】
解：四边形是上的内接四边形，
,
，
,
是弧的中点，
，
，
故答案是：．
三、解答题
16．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，AB为的直径，直线DE与相切于点D，割线于点E且交于点F，连接DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接OD，然后根据切线的性质和平行线的性质，可以得到∠ODA=∠DAC，再根据OA=OD，可以得到∠OAD=∠ODA，从而可以得到∠DAC=∠OAD，结论得证；
（2）根据相似三角形的判定和性质，可以得到DB•DF=EF•AB，再根据等弧所对的弦相等，即可证明结论成立．
【详解】
解：（1）证明：连接OD，如图所示，
∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，
∴∠ODE=∠DEA=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAC=∠OAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：连接OF，BD，如图所示，
∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径，
∴∠DEF=∠ADB=90°，
∵∠EFD+∠AFD=180°，∠AFD+∠DBA=180°，
∴∠EFD=∠DBA，
∴△EFD∽△DBA，
∴，
∴DB•DF=EF•AB，
由（1）知，AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠DAB，
∴DF=DB，
∴DF2=EF•AB．
17．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，作DH⊥AB，交半圆、BC于点E，F，连接OC，∠ABC=θ，θ随点C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，B重合时，求证：AC=BC；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）底面半径为1，高为
【分析】
（1）根据直角三角形的性质即可求解；
（2）证明△BFH∽△DAH，即可求解；
（3）根据扇形与圆锥的特点及求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出圆锥的高．
【详解】
（1）如图，当点H，B重合时，∵DH⊥AB
∴△ADB是直角三角形，
∵AC＝CD，
∴BC是△ADB的中线
∴BC=
∴AC=BC
（2）当θ＜45°时，DH交半圆、BC于点E，F，
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵DH⊥AB
∴∠B+∠A=∠A+∠D=90°
∴∠B=∠D
∵∠BHF=∠DHA=90°
∴△BFH∽△DAH，
∴
∴BH•AH＝DH•FH；
（3）∵∠ABC=θ=45°
∴∠AOC=2∠ABC=90°
∵直径AB＝8，
∴半径OA=4，
设扇形OAC卷成圆锥的底面半径为r
∴
解得r=1
∴圆锥的高为．
18．（2021·山东威海·中考真题）如图，AB是直径，弦，垂足为点E．弦BF交CD于点G，点P在CD延长线上，且．
（1）求证：PF为切线；
（2）若，，，求PF的长．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）连接OF，根据等腰三角形的性质可得∠PFG=∠PGF，∠OBF=∠OFB，再证明∠OFB+∠PFG=90°，即可得∠PFO=90°，由此证得PF为切线；
（2）连接AF，过点P作于点N，由AB是直径，可得∠AFB=90°，在Rt△ABF中求得AF=12，再由，可得，求得EG=6；在Rt△BEG中求得 BG=10；再根据等腰三角形性质可得FN=NG=3，再证明△PNF△BEG，根据相似三角形的性质即可求得PF=5．
【详解】
（1）连接OF，
∵，
∴∠PFG=∠PGF，
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∵，
∴∠GEB=90°，
∴∠ABF+∠EGB=90°，
∵∠EGB=∠PGF，
∴∠OFB+∠PFG=90°，
∴∠PFO=90°，
∴PF为切线；
（2）连接AF，过点P作于点N，
∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∵OB=10，
∴AB=20，
在Rt△ABF中，AB=20，，
∴AF=12，
∵，
∴，
∴EG=6，
在Rt△BEG中，，EG=6，
∴BG=10，
∴FG=FB-BG=16-10=6，
∵，，
∴FN=NG=3，∠PNF=90°，
∵∠PFG=∠PGF=∠EGB，∠PNF=∠GEB=90°，
∴△PNF△BEG，
∴，
∴，
∴PF=5．
考点21与圆有关的位置关系
考点总结
知识点一：与圆有关的位置关系
关键点拨及对应举例
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)d
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.
2.直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
知识点二 ：切线的性质与判定
3.切线
的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.
4.切线
的性质
（1）切线与圆只有一个公共点.
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于经过切点的半径.
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.
*5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.
知识点四 ：三角形与圆
5.三角形的外接圆
图形
相关概念
圆心的确定
内、外心的性质
内切圆半径与三角形边的关系：
（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.
（2）直角三角形的内切圆（如图b）
①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.
例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.
经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形
三角形三条垂直平分线的交点
到三角形的三个顶点的距离相等
6.三角形的内切圆
与三角形各边都相
切的圆叫三角形的
内切圆，内切圆的
圆心叫做三角形的
内心，这个三角形叫
圆的外切三角形
到三角形三条角平分线的交点
到三角形的三条边的距离相等
真题演练
一、单选题
1．（2021·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．
【详解】
解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB=58.5°，
∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，
∵点A是弧EC的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，
故选：B．
2．（2021·山东滨州·中考真题）如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cos∠ABC的值．
【详解】
解：连接AD，如右图所示，
∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD==8，
∴cos∠ADC==，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cos∠ABC的值为，
故选：A．
3．（2021·山东临沂·中考真题）如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
【详解】
解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠ADB=55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．
故选：C．
4．（2021·山东泰安·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】
如图，延长AD，BC，二线交于点E，可求得∠E=30°，在Rt△CDE中，利用tan30°计算DE，在Rt△ABE中，利用sin30°计算AE，根据AD=AE-DE求解即可；
【详解】
如图，延长AD，BC，二线交于点E，
∵∠B=90°，∠BCD=120°，
∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠EDC= 90°，
在Rt△CDE中，
tan30°=，
∴DE==，
在Rt△ABE中，
sin30°=，
∴AB==4，
∴AD=AE-DE=,
故选C
5．（2021·山东泰安·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
【答案】B
【分析】
连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数．
【详解】
解：连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE=∠GAC=48°，
故选：B．
6．（2021·山东临淄·二模）等边三角形ABC内接于⊙O，P是劣弧上一点（不与A，B重合），将△PBC绕C点顺时针旋转60º，得△DAC，AB交PC于点E．则下列结论错误的是（ ）
A．PA＋PB＝PC
B．
C．四边形ABCD有可能成为平行四边形
D．△PCD的面积有最大值
【答案】C
【分析】
分别根据等边三角形的判定与性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质分别判断即可．
【详解】
解：∵将△PBC绕C点顺时针旋转60°，
∴∠PCD=60°，PC=CD，AD=PB，∠CAD=∠CBP，
∵∠PBC+∠PAC=180°，∠DAC+∠PAC=180°，
∴P，A，D在一条直线上，
∴△PCD是等边三角形，
∴PC=PD=DC，
∴PB+PA=PA+AD=PD=PC，故选项A正确；
∵∠BPC=∠BAC=∠CBA=60°，
∠PCB=∠BCE，
∴△BCE∽△PCB，
∴
∴，故选项B正确；
当四边形ABCD成为平行四边形时，AD=BC，
∵PB=AD，
∴PB=BC，
∵∠BPC=∠BAC=60°，
∴△PBC是等边三角形，此时P与A点重 合，
∵P是劣弧上一点（不与A、B重合），
∴四边形ABCD不可能成为平行四边形，故选项C错误；
∵P是劣弧上一点（不与A、B重合），将△PBC绕C点顺时针旋转60°，
∴根据①得出旋转后的三角形是等边三角形，当边长越大，则三角形面积越大，
故当P为劣弧的中点时，PC最大，此时三角形面积最大，
∴△PCD的面积有最大值，故选项D正确．
故选：C．
7．（2021·山东临淄·二模）在如图所示的正方形网格中，点，，，，均在格点上，则点是（ ）
A．的外心 B．的内心
C．的外心 D．的内心
【答案】A
【分析】
根据网格利用勾股定理得出，进而判断即可．
【详解】
解：由勾股定理可知：
，
所以点O是的外心，
故选：A．
8．（2021·山东莱西·一模）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ABO =20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【答案】C
【分析】
先根据切线的性质得到∠OAB=90°，则利用互余可计算出∠O=70°，然后根据圆周角定理得到∠ADC的度数．
【详解】
解：∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∴∠B=20°，
∴∠O=90°-20°=70°，
∴∠ADC=∠O=×70°=35°．
故选：C．
9．（2021·山东招远·一模）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由切线的性质求解 再利用三角形的内角和定理求解 再利用圆心角与圆周角的关系可得答案．
【详解】
解： 是的切线，，
故选：
10．（2021·山东聊城·二模）如图，是的直径，、是上的点，，过点作的切线交的延长线于，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
连接OC，根据太监可之∠OCE=90°，然后根据圆周角定理可知∠COE=60°，进而可求出∠E的度数，即可求出答案．
【详解】
解：连接OC，
∵EC切⊙O于C，
∴∠OCE=90°，
∵∠CDB=30°，
∴∠COE=60°，
∴∠E=180°-90°-60°=30°，
∴=．
故选：C
二、填空题
11．（2021·山东青岛·中考真题）如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【分析】
连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，根据切线的性质得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE=，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
【详解】
解：连接AC，OD，
∵四边形BCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，
∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，
∴∠PAO=∠PDO=90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA=OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，
∴∠E=∠ACB=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC=2AO=2，DE=CD=2，
∴AP=PD=AO=，
∴PE=3，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：5-π．
12．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）如图，中，，，点E是中点，点D，F分别是，上的点（包括端点），若使为直角三角形的点F恰好有三个，则的长为__________．
【答案】2
【分析】
如图，当D，E分别为直角顶点时，一定存在两个点F1，F2满足条件．以DE为直径作圆，当圆与直线AB相切时，存在一个点F，使得∠DFE＝90°，此时CD＝AD＝2，观察图象可知，满足条件的CD的值为CD=2．当时，观察满足条件的F；当时，观察满足条件的F；当点D与A重合时观察满足条件的F，观察满足条件的F．
【详解】
解：如图，当D，E分别为直角顶点时，一定存在两个点F1，F2满足条件．
以DE为直径作圆，当圆与直线AB相切时，存在一个点F，
使得∠DFE＝90°，此时CD＝AD＝2，
∴当CD＝2时使为直角三角形的点F恰好有三个；
当时，如图：
使为直角三角形的点F只有二个；
当时，如图，
使为直角三角形的点F有四个；
当时，如图
使为直角三角形的点F只有二个；
综上，当CD＝2时使为直角三角形的点F恰好有三个；
故答案为：2．
13．（2021·山东乳山·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若，则_______．
【答案】
【分析】
过点O做OE垂直于AC，根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC=x，AC=3x，根据勾股定理得到AB=；在△AOE中，OE=x；在△CBO中，CO=，在△COE中，求解即可．
【详解】
过点O做OE垂直于AC，交AC于点E，
设BC=x，AC=3x，根据勾股定理得到AB=，
∴AO=BO= ，
在△CBO中，CO= =，
在△AOE中，sin∠BAC= = ，
∴OE= ，
∴在△CEO中，根据勾股定理得CE= x，
∴tan∠ACO= = ．
14．（2021·山东李沧·二模）如图，以等边三角形的边为直径画半圆，分别交，于点，，是圆的切线，过点作的垂线交于点．若的长为2，则的长为______．
【答案】
【分析】
连接OD，BD，作DH⊥FG于H，DM⊥BC于M，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=∠ABC=60°，AC=BC，根据切线的性质得OD⊥DF，再证明OD∥AB，则DF⊥AB，在Rt△ADF中根据含30度的直角三角形三边的关系得DF=2，由BC为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠BDC=90°，则AD=CD=4，OD=4，所以OM=OD=2，在Rt△DFH中可计算出FH=，DH=FH=3，则GM=3，于是OG=GM-OM=1，BG=OB-OG=3，在Rt△BGF中可计算FG=3．
【详解】
解：连接OD，BD，作DH⊥FG于H，DM⊥BC于M，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=∠ABC=60°，AC=BC，
∵OD=OC
∴△ODC为等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠A=∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DF是圆的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AB，
在Rt△ADF中，AF=2，∠A=60°，
∴∠ADF=30°
∴AD=4，
∴DF=，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥AC，
∴AD=CD=4，
∴OD=4，
∴OM=OD=2，
∵∠ABC=60°，∠FGB=90°
∴∠BFG=30°
∴∠DFH=60°
∴∠FDH=30°
在Rt△DFH中， DF=2，
∴FH=，
∴DH=，
∴GM=3，
∴OG=GM-OM=1，
∴BG=OB-OG=3，
在Rt△BGF中，∠FBG=60°，BG=3，
∴FB=6
∴．
故答案为：3．
15．（2021·山东南区·二模）如图，点是上一点，是弧的中点，若，则的度数是_________°．
【答案】32°
【分析】
根据圆中内接四边形对角互补，求出，再利用等弧对等角即可得出．
【详解】
解：四边形是上的内接四边形，
,
，
,
是弧的中点，
，
，
故答案是：．
三、解答题
16．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，AB为的直径，直线DE与相切于点D，割线于点E且交于点F，连接DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接OD，然后根据切线的性质和平行线的性质，可以得到∠ODA=∠DAC，再根据OA=OD，可以得到∠OAD=∠ODA，从而可以得到∠DAC=∠OAD，结论得证；
（2）根据相似三角形的判定和性质，可以得到DB•DF=EF•AB，再根据等弧所对的弦相等，即可证明结论成立．
【详解】
解：（1）证明：连接OD，如图所示，
∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，
∴∠ODE=∠DEA=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAC=∠OAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：连接OF，BD，如图所示，
∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径，
∴∠DEF=∠ADB=90°，
∵∠EFD+∠AFD=180°，∠AFD+∠DBA=180°，
∴∠EFD=∠DBA，
∴△EFD∽△DBA，
∴，
∴DB•DF=EF•AB，
由（1）知，AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠DAB，
∴DF=DB，
∴DF2=EF•AB．
17．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，作DH⊥AB，交半圆、BC于点E，F，连接OC，∠ABC=θ，θ随点C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，B重合时，求证：AC=BC；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）底面半径为1，高为
【分析】
（1）根据直角三角形的性质即可求解；
（2）证明△BFH∽△DAH，即可求解；
（3）根据扇形与圆锥的特点及求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出圆锥的高．
【详解】
（1）如图，当点H，B重合时，∵DH⊥AB
∴△ADB是直角三角形，
∵AC＝CD，
∴BC是△ADB的中线
∴BC=
∴AC=BC
（2）当θ＜45°时，DH交半圆、BC于点E，F，
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵DH⊥AB
∴∠B+∠A=∠A+∠D=90°
∴∠B=∠D
∵∠BHF=∠DHA=90°
∴△BFH∽△DAH，
∴
∴BH•AH＝DH•FH；
（3）∵∠ABC=θ=45°
∴∠AOC=2∠ABC=90°
∵直径AB＝8，
∴半径OA=4，
设扇形OAC卷成圆锥的底面半径为r
∴
解得r=1
∴圆锥的高为．
18．（2021·山东威海·中考真题）如图，AB是直径，弦，垂足为点E．弦BF交CD于点G，点P在CD延长线上，且．
（1）求证：PF为切线；
（2）若，，，求PF的长．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）连接OF，根据等腰三角形的性质可得∠PFG=∠PGF，∠OBF=∠OFB，再证明∠OFB+∠PFG=90°，即可得∠PFO=90°，由此证得PF为切线；
（2）连接AF，过点P作于点N，由AB是直径，可得∠AFB=90°，在Rt△ABF中求得AF=12，再由，可得，求得EG=6；在Rt△BEG中求得 BG=10；再根据等腰三角形性质可得FN=NG=3，再证明△PNF△BEG，根据相似三角形的性质即可求得PF=5．
【详解】
（1）连接OF，
∵，
∴∠PFG=∠PGF，
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∵，
∴∠GEB=90°，
∴∠ABF+∠EGB=90°，
∵∠EGB=∠PGF，
∴∠OFB+∠PFG=90°，
∴∠PFO=90°，
∴PF为切线；
（2）连接AF，过点P作于点N，
∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∵OB=10，
∴AB=20，
在Rt△ABF中，AB=20，，
∴AF=12，
∵，
∴，
∴EG=6，
在Rt△BEG中，，EG=6，
∴BG=10，
∴FG=FB-BG=16-10=6，
∵，，
∴FN=NG=3，∠PNF=90°，
∵∠PFG=∠PGF=∠EGB，∠PNF=∠GEB=90°，
∴△PNF△BEG，
∴，
∴，
∴PF=5．
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