初中数学5.1.1 相交线教学设计

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第五章  相交线与平行线5.1  相交线5.1.1  相交线教学目标1.理解邻补角和对顶角的概念，并能在图形中辨认.2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程.3.会用对顶角的性质进行有关的推理和计算.教学重难点重点：邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用.难点：在复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角；“对顶角相等”的探究过程.课前准备剪刀、直尺、量角器和多媒体课件教学过程导入新课导入一：教师：在我们生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线.多媒体展示图片(如图1所示).教师同时提问：观察这些图片，从中你们看到了哪些相交线和平行线？图1学生发言，相互补充.教师：在现实生活中，你们还能找到哪些形如相交线、平行线的实例？学生积极踊跃发言，相互补充.教师总结：同学们对相交线、平行线一定不陌生，大桥上的钢梁和钢索、棋盘上的横线和竖线、笔直的高速公路……都给我们以相交线、平行线的形象.从这一章开始，我们正式开始研究平面内不重合的两条直线的位置关系.今天这节课，我们研究相交线.(板书课题：5.1.1相交线)设计意图让学生借助已有的几何知识从现实生活中发现数学问题，能由实物的形状抽象出相交线、平行线，使新知识的产生建立在对周围环境的直接感知的基础上，使学生加强对生活中的相交线、平行线的认识，建立直观化、形象化的数学模型.导入二：教师：同学们，在前面我们已经学习了直线、射线、线段的有关知识，并且学习了由有公共端点的两条射线组成的图形——角.从这节课开始，我们来进一步学习平面内的两条直线的位置关系.教师：同学们知道，在同一平面内，两条直线有几种不同的位置关系？学生：相交和平行.教师：这节课我们重点研究两条直线相交的情景.(板书课题：5.1.1相交线)设计意图：从学生最近发展区域出发，激发学生的学习欲望.探究新知探究点一：邻补角和对顶角的概念教师：出示一把张开的剪刀并提问：从线的角度分析，张开的剪刀给人以什么形象.学生：张开的剪刀可以看作两条相交直线.教师：表演剪纸，如图2所示，并提问：在剪纸的过程中，两个把手之间的角有什么变化？剪刀刀刃张开的角又有什么变化？图2学生：在剪纸时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角也相应变小，直到剪开物体.教师追问：如果把剪刀的构造抽象成一个几何图形，会是什么样的图形？请你们在纸上画出来.学生在纸上画出相交线.教师总结：剪刀的构造可看作两条相交的直线，剪刀刀刃之间的角就是相交直线所成的角.我们可以利用角的数量关系来研究两条直线相交的位置关系.设计意图从现实生活中发现并提出简单的数学问题吸引学生的注意，同时为得出两条直线相交所成角的关系提供生活背景.教师：仔细观察你们所画的图形，并标出每一个角的名称(如图3所示)，当两条直线相交时，所形成的4个角中，∠1与∠2有怎样的位置关系？图3学生：∠1和∠2“相邻”.教师提问：∠1与∠2的顶点所在的位置有什么特点？∠1与∠2的边所在的位置有什么特点？学生小组讨论后展示：∠1和∠2有共同的顶点O；一条边OA重合，另一条边OC和OD互为反向延长线.教师总结：具有这种关系的两个角我们叫做邻补角.教师追问：图3中，除∠1与∠2是一对邻补角，图形中还有邻补角吗？教师引导学生观察图3中∠2与∠3，∠1与∠4，∠3与∠4.教师追问：由此，同学们能总结邻补角的特征吗？学生独立思考，小组交流，形成共识.互为邻补角的两个角必须满足两个特征：①有公共顶点；②有一条公共边，另外一条边互为反向延长线.设计意图：先引导学生从位置关系观察邻补角的特点，再结合图形中产生的邻补角，总结特征形成概念，体现了概念教学的特点.教师：刚刚我们从顶点和边的角度分析了成邻补角的两个角的特征.类似地，我们也可以用同样的方法研究图3中∠1和∠3的位置关系.教师追问：你们能从∠1和∠3这两个角的顶点和边说明∠1和∠3的位置关系吗？学生回答，教师引导得出结论：∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线.教师总结：具有这种关系的两个角，我们叫做对顶角.教师追问：图3中还有哪些角是对顶角？学生回答：∠2和∠4.教师追问：那你们知道成对顶角的两个角要满足哪些特征？学生思考、讨论、回答，教师引导成对顶角的两个角要满足两个特征：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.注意：对顶角是成对出现的.设计意图引导学生从位置关系观察对顶角的特点，并归纳概括对顶角的定义.教师：我们已经知道了成邻补角和成对顶角的两个角要满足的条件，在图形中你们能准确地识别这两种角吗？大家看下面两个习题.(1)图4的各图形中，∠1和∠2是邻补角吗？为什么？    ①             ②      ③图4(2)图5的各图形中，∠1和∠2是对顶角吗？为什么？    ①                 ②           ③    ④           ⑤           ⑥图5学生分别回答这两个习题.设计意图这组题目可以巩固邻补角、对顶角的概念，通过辨、画、找，及时反馈学生思维上的一些偏差，加深学生对两个概念的理解，并引导学生在画邻补角和找邻补角的过程中体会分类思想.教学时要注意提醒学生：对顶角形成的前提是两条直线相交，而邻补角不一定是两条直线相交形成的，每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角可能有一个或两个.探究点二：对顶角的性质教师：前面我们研究了邻补角和对顶角的位置关系，下面我们来研究一下它们的数量关系.拿出上课时所画的两条直线相交所形成的图形.请你们分别量一量你们画的图形中各个角的度数，完成下列填空.角∠1∠2∠3∠4度数    学生用量角器度量4个角的度数，并完成填空.教师：观察4个角的度数，你们知道∠1和∠2的度数有怎样的数量关系？∠1和∠3的度数有怎样的数量关系？教师借助计算机的“几何画板”软件，画出两条相交直线，再借助“测量”功能，让学生观察∠1，∠2，∠3之间的数量关系.学生：∠1+∠2＝180°，∠1＝∠3.教师：我们每位同学画的图形不一样，∠1，∠2，∠3，∠4的度数也就不完全相同，但它们都满足∠1+∠2＝180°，∠1＝∠3，你们能说明其中的道理吗？提问：如图3，∠1与∠2有怎样的数量关系？你们能说明其中的道理吗？学生回答：互补.理由：因为∠COD是一个平角，所以∠COD＝∠1+∠2＝180°.教师追问：∠1和∠3有怎样的数量关系？你们能说明其中的道理吗？学生讨论后，个别学生讲述，教师板书：因为∠1和∠2互补，∠2和∠3互补(邻补角的定义)，所以∠1＝∠3(同角的补角相等).学生模仿，推理另一对对顶角的数量关系.教师追问：在图3中，我们证明了∠1＝∠3，∠2＝∠4，从中你们能得到什么结论？学生回答：对顶角相等.(教师板书)设计意图让学生充分经历动手操作、独立思考的探究过程，并且在这一过程中，渗透由特殊到一般的研究问题的方法，然后通过推理、证明、猜想，使学生经历由实验几何到论证几何的过渡，使推理成为观察、实验的自然延续.新知应用教师：我们认识了邻补角、对顶角，研究了对顶角的性质，现在我们做一个练习，巩固这部分知识，出示例题.例  如图6所示，直线a，b相交，∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度数.图6变式  如图6所示，将例题中的∠1＝40°，分别换成下列条件：(1)若∠1+∠3＝80°；(2)若∠2比∠1的3倍大20°；(3)若∠1∶∠2＝2∶7.请分别求出每种条件下，∠1，∠2，∠3，∠4的度数.师生活动学生先独立解决，然后小组内交流，教师板演原题，后派学生代表板演变式(1)，(2)，(3).解：由邻补角的定义，得∠2＝180°-∠1＝180°-40°＝140°.由对顶角相等，得∠3＝∠1＝40°，∠4＝∠2＝140°.变式：(1)∵ ∠1和∠3是对顶角，∴ ∠1＝∠3.∵ ∠1+∠3＝80°，∴ ∠1＝∠3＝40°.由邻补角的定义，得∠2＝∠4＝180°-40°＝140°.(2)∵ ∠2比∠1的3倍大20°，∴ 设∠1＝x°，则∠2＝(3x+20)°，由邻补角的定义，得∠1+∠2＝180°，∴ x+3x+20＝180，解得x＝40，∴ ∠1＝40°，∠2＝(3x+20)°＝(3×40+20)°＝140°.由对顶角相等，得∠1＝∠3＝40°，∠4＝∠2＝140°.(3)∵ ∠1∶∠2＝2∶7，∴ 设∠1＝2x°，则∠2＝7x°.由邻补角的定义，得∠1+∠2＝180°，∴ 2x+7x＝180，解得x＝20，∴ ∠1＝40°，∠2＝140°.由对顶角相等，得∠3＝∠1＝40°，∠4＝∠2＝140°.设计意图通过设计变式问题，提高思维广度，使学生的推理能力和思维能力得到提高.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.A  2.C  3.C  4.A5.∠BOC  ∠AOD和∠COB  50°  130°  6.144°7.125°  55°  8.180°9.解：(1)因为∠3＝140°，所以∠AOD＝140°.又因为∠1+∠2+∠DOM＝180°，∠1+∠2＝110°，所以∠DOM＝70°.所以∠2＝∠AOD-∠DOM＝140°-70°＝70°.(2)因为∠DOM＝∠2＝70°，所以OM平分∠AOD.(见导学案“课后提升”)参考答案1.A  解析：∵ ∠AOC＝42°，∴ ∠BOD＝∠AOC＝42°.∵ OM平分∠BOD，∴ ∠BOM＝∠BOD＝×42°＝21°.∴ ∠AOM＝180°-∠BOM＝180°-21°＝159°.2.解：(1)∠AOC的对顶角是∠BOD.(2)∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD，∠COE的邻补角是∠DOE.(3)因为∠BOD＝∠AOC＝38°，所以∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝38°+108°＝146°.因为∠COE＝180°-∠AOC-∠BOE＝180°-38°-108°＝34°，所以∠AOE＝∠AOC+∠COE＝38°+34°＝72°.课堂小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是邻补角？邻补角与补角有什么区别和联系？2.什么是对顶角？对顶角有什么性质？3.本节课你们还有什么疑问？布置作业教材第7页习题5.1第1，2题板书设计5.1.1  相交线  邻补角的定义： ①有一个公共顶点； ②一条公共边，另一条边互为反向延长线. 对顶角的定义： ①有一个公共顶点； ②两个角的两边互为反向延长线. 对顶角的性质：对顶角相等. 例1  解：由邻补角的定义得∠2＝180°-∠1＝180°-40°＝140°.由对顶角相等得∠3＝∠1＝40°，∠4＝∠2＝140°.教学反思