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精品解析：2020年河南省南阳市新野县九年级二模数学试题(解析版+原卷版)
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2020年新野县第二次中考模拟考试试卷
数学
一、选择题（每小题3分，共30分）
下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母涂在答题卡上相应的位置．
1.下列各数中，其相反数最小的是（ ）
A. B. －2 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出各数的相反数，再根据有理数大小比较方法比较即可．
【详解】解：、-2、、2的相反数分别是、2、、-2
∵
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的定义，以及有理数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
2.2020年春季，一种新型冠状病毒嗜虐着人们的健康，据了解，这种新型冠状病毒的直径约为125纳米，若1米纳米，则这种冠病毒的直径用科学记数法可表示为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】
绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】125纳米=125×10-9米＝1.25×10-7米．
故选C．
【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成 的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
3.如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“河”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A. 建 B. 设 C. 美 D. 丽
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形这一特点作答即可.
【详解】由正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形知：
“建”与“南”是相对面；
“设”与“丽”是相对面；
“河”与“美”是相对面，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图，空间想象力是解答的关键.
4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：解不等式x﹣1＜1，得：x＜2，
解不等式x+1≥0，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选：A．
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，设两枚骰子向上一面的点数之和为S，则下列事件属于随机事件的是（ ）
A. S＝6 B. S＞13 C. S＝1 D. S＞1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，两枚骰子向上一面的点数之和最小值为2，最大值为12.
所以，A、两枚骰子向上一面的点数之和S等于6是随机事件，符合题意；
B、两枚骰子向上一面点数之和S大于13是不可能事件，不符合题意；
C、两枚骰子向上一面的点数之和S等于1是不可能事件，不符合题意；
D、两枚骰子向上一面的点数之和S大于1是必然事件，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及判断事件发生可能性的大小，理解概念是解答此题的关键.
6.如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是（ ）
A. 15° B. 25° C. 35° D. 65°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直尺的两边是平行的，从而可以得到CD∥EF，然后根据平行线的性质，可以得到∠2和∠DCE的关系，再根据∠ACB＝∠1+∠DCE，从而可以求得∠1的度数，本题得以解决．
【详解】解：如右图所示，
∵CD∥EF，∠2＝65°，
∴∠2＝∠DCE＝65°，
∵∠DCE+∠1＝∠ACB＝90°，
∴∠1＝25°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
7.如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点、，若的周长是11，则（ ）
A. 28 B. 18 C. 10 D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】
利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算即可．
【详解】解：∵DE是BC垂直平分线，
∴BE=EC，
∴AB=EB+AE=CE+EA，
又∵△ACE的周长为11，，
故AB=11-4=7，
故选：D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8.如图，点在直线与直线之间（不在这两条直线上），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出点M在两条直线上时对应的m的值，进而可得答案．
【详解】解：当点在直线上时，，解得，
当点在直线上时，，解得；
∵点在直线与直线之间（不在这两条直线上），
∴的取值范围为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
9.如图，反比例函数第一象限内图象经过的顶点，，，且轴，点，，的横坐标分别为1，3，若，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
先表示出CD，AD的长，然后在Rt△ACD中利用∠ACD的正切列方程求解即可．
【详解】过点作，
∵点、点的横坐标分别为1，3，
且，均在反比例函数第一象限内的图象上，
∴，，
∴CD=2，AD=k-，
∵，，，
∴，，
∵tan∠ACD=，
∴，即，∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
10.定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取时，其计算过程如上图所示，若，则第2020次“”运算的结果是（ ）
A. 1 B. 4 C. 2020 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
依次按照规律计算，找出规律再进行解答即可．
【详解】解：当时，第1次“”运算为：13×3+1=40，
第2次“”运算为：，
第3次“”运算为：5×3+1=16，
第4次“”运算为，
第5次“”运算为1×3+1=4，
第6次“”运算为，
第7次“”运算为1×3+1=4，…，
由此可得，n≥4时，当n为偶数时，结果为1，当n为奇数时，结果为4，
∵2020为偶数，
∴第2020次“”运算的结果是1，
故选：A．
【点睛】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.化简：_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式化简及零指数幂运算即可得出答案．
【详解】解：
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简及零指数幂运算，正确掌握运算规律是解题的关键．
12.在学校的体育训练中，小杰同学投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数是_________．
【答案】9.7
【解析】
【分析】
将统计图中数据从小到大的顺序排列，最中间位置上的数就是中位数．
【详解】将统计图中数据从小到大的顺序排列：9.5，9.6，9.7，9.7，9.8，10.1，10.2，最中间位置上的数是9.7，所以中位数是9.7m，
故答案为：9.7．
【点睛】本题考查中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键．
13.若关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0有两个相等的实数根，则a的值是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，然后解方程即可求解．
【详解】∵关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，
解得：a＝2．
故答案为：2
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，根的判别式△=b2-4ac，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；△=0时，方程有两个相等的实数根；△<0时，方程没有实数根.
14.如图，在菱形中，，，对角线交于点，为中点，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接ME，先利用菱形的性质证明，，进而证明和都是等边三角形，则有，∴，然后利用求解即可．
【详解】连接，∵在菱形中，，
∴，，
∵=4，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴，即∠EMC=120º
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、圆的定义、扇形面积公式等知识，解答的关键是熟练掌握一些基本图形的性质及其运用．
15.如图，在一张直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°P是边AB上的一动点，将△ACP沿着CP折叠至△A1CP，当△A1CP与△ABC的重叠部分为等腰三角形时，则∠ACP的度数为_____．
【答案】40°或70°
【解析】
【分析】
分两种情形，画出图形分别求解即可．当PC＝CE时，设∠ACP＝x，利用等腰三角形的性质，可证得∠CPE＝x+30°，再利用三角形内角和定理建立关于x的方程，解方程即可；当CP＝CE时，设∠ACP＝x，用含x的代数式表示出∠CPE、∠CEP，再利用三角形内角和定理建立关于x的方程，解方程即可求得结论.
【详解】
当PC＝CE时，如图1所示：
设∠ACP＝x，根据折叠的性质得∠A1CP＝x，
∵CP＝CE，
∴∠CPE＝∠CEP，
∵∠CPE＝∠ACP+∠A＝x+30°，
∴在中：x+x+30°+x+30°＝180°，
∴x＝40°；
当CP＝CE时，如图2所示：
设∠ACP＝x．根据折叠的性质得∠A1CP＝x，∠A1＝∠A＝30°，
则∠CPE＝∠CEP＝∠ECA+∠A1＝∠ACP +∠A1CP -∠ACB= 2x﹣90°+30°＝2x﹣60°，
在△CPE中，90°﹣x+2（2x﹣60°）＝180°，
解得：x＝70°，
综上所述，∠ACP的度数为40°或70°，
故答案为：40°或70°．
【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理、三角形内角和定理，用含x的代数式表示出∠CPE，再利用三角形内角和定理建立关于x的方程是解决本题的关键.
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16.先化简，然后再从－3、－2、－1、0、1中选出一个作为的值，求代数式的值．
【答案】，当时，原式=
【解析】
【分析】
首先利用分式的混合运算顺序和法则进行化简，然后找到使分式有意义的a的值代入计算即可．
【详解】解：原式
∵，，，
∴，，，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的顺序和法则是解题的关键．
17.某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分
组别
正确字数
人数
10
15
25
根据以上信息解决下列问题：
（1）在统计表中， ， ，并补全条形统计图.
（2）扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数是 .
（3）若该校共有900名学生，如果听写正确的个数少于24个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数
【答案】解：（1）m=30,n=20；图见解析；（2）；（3）450名.
【解析】
【分析】
（1）根据B组有15人，所占的百分比是15%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；
（2）利用360度乘以对应的比例即可求解；
（3）利用总人数900乘以对应的比例即可求解．
【详解】解：（1）抽查的总人数是：15÷15%=100（人），
则m=100×30%=30，
n=100×20%=20．
．
故答案是：30，20；
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是：
故答案是：90°；
（3）样本中“听写正确的个数少于24个”的人数有：10+15+25=50 （人）．
本次比赛听写不合格的学生人数：
答：这所学校本次比赛听写不合格的学生人数约为450人．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
18.如图，以边上一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）过点B作的切线交的延长线于，如果连接，将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好落在上，连接，请直接写出四边形的形状．
【答案】（1）见解析；（2）6；（3）菱形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OA，OD，如图，得到，根据圆周角定理可知，再根据等边对等角和对顶角相等可得，∠EOD＝90°，由直角三角形的两锐角互余求得，即可证得结论；
（2）如图，设半径为r，在Rt△OFD中，通过勾股定理即可求出半径的值；
（3）连接EH，证△CAE≌△HAE，推出△AEO是等边三角形，进一步证明△ABH和△ABG是等边三角形，即可推出结论．
【详解】解：（1）证明：连接，，则，
∵为的下半圆弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴是的切线；
（2）设的半径为，则，
∵在中，，
∴，
解得，，（舍去），
∴的半径为6；
（3）菱形.理由如下
如图，连接EH，
由对称性可知AC＝AH，∠CAE＝∠HAE，
又∵AE＝AE，
∴△CAE≌△HAE（SAS），
∴∠C＝∠EHA，
∵，
∴∠EHA＝∠ABE，
∴∠C＝∠ABE，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠EAB＝90°，
∴∠OAB＋∠OAE＝90°，
又∵∠CAE＋∠OAE＝90°，
∴∠CAE＝∠OAB，
∴∠C＝∠OBA＝∠OAB＝∠CAE，
∴AC＝AB，
∴△CAE≌△BAO（ASA），
∴AE＝AO＝OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠AEO＝60°，
∴∠ABE＝90°−∠AEO＝30°，∠AHB＝∠AEO＝60°，
∴∠ABG＝90°−∠ABE＝60°，
∵CA＝AH，CA＝AB，
∴AH＝AB，
又AHB＝60°，
∴△ABH是等边三角形，
∴AB＝BH＝AH，
∵GB，GA是⊙O的切线，
∴GB＝GA，
又∠ABG＝60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AB＝BG＝AG，
∴BH＝AH＝BG＝AG，
∴四边形AHBG是菱形．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，切线的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，菱形的判定等，综合性较强，解答本题的关键是需要熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
19.为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得教学楼窗户处的仰角为(、、、在同一直线上)．然后，小明沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行．
(1)求点到直线的距离(结果保留根号)；
(2)若小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度(结果精确到0.1米，，)．
【答案】(1)点到地面的距离为米；(2)宣传牌的高度约为4.3米．
【解析】
【分析】
(1)过点作于，依题意知，，；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论；
(2)解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：(1)过点作于，
依题意知，，；
∴四边形是矩形；
∴；
在中，
；
(米)；
∴点到地面的距离为米；
(2)∵斜坡：．
∴中，，
∴．
在中，
．
∴．
(米)．
答：宣传牌的高度约为4.3米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.如图，直线l的解析式为y＝x，反比例函数y＝（x＞0）的图象与l交于点N，且点N的横坐标为6．
（1）求k的值；
（2）点A、点B分别是直线l、x轴上的两点，且OA＝OB＝10，线段AB与反比例函数图象交于点M，连接OM，求△BOM的面积．
【答案】（1）27；（2）15
【解析】
【分析】
（1）把x＝6代入y＝x，求得N的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
（2）根据勾股定理求得A的坐标，然后利用待定系数法求得直线AB的解析式，再和反比例函数的解析式联立，求得M的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△BOM的面积．
【详解】解：（1）∵直线l经过N点，点N的横坐标为6，
∴y＝×6＝，
∴N（6，），
∵点N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝6×＝27；
（2）∵点A在直线l上，
∴设A（m，m），
∵OA＝10，
∴m2+（m）2＝102，解得m＝8，
∴A（8，6），
∵OA＝OB＝10，
∴B（10，0），
设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+30，
解得或，
∴M（9，3），
∴△BOM的面积＝＝15．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式和一次函数的解析式，求得、点的坐标是解题的关键.
21.小明与小红开展读书比赛．小明找出了一本以前已读完84页的古典名著打算继续往下读，小红上个周末恰好刚买了同一版本的这本名著，不过还没开始读．于是，两人开始了读书比赛．他们利用下表来记录了两人5天的读书进程．例如，第5天结束时，小明还领先小红24页，此时两人所读到位置的页码之和为424．已知两人各自每天所读页数相同．
读书天数
1
2
3
4
5
页码之差
72
60
48
36
24
页码之和
152
220
424
（1）表中空白部分从左到右2个数据依次为 ， ；
（2）小明、小红每人每天各读多少页？
（3）已知这本名著有488页，问：从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读几页，才能确保第10天结束时还不被小红超过？（答案取整数）
【答案】（1）288，356．（2）小明每天读28页，小红每天读40页．（3）小明至少平均每天要比原来多读8页，才能确保第10天结束时还不被小红超过．
【解析】
【分析】
（1）第一天两人一共读了152-84=68页，故第三天页码之和=220+68=288页，第四天页码之和=288+68=356页；
（2）小明每天读x页，小红每天读y页．由题意，解方程组即可解决问题；
（3）从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读m页．由题意：84+28×5+5（28+m）-10×40≥0，解不等式即可解决问题
【详解】（1）第一天两人一共读了152-84=68页，故第三天页码之和=220+68=288页，第四天页码之和=288+68=356页，
故答案为288，356．
（2）小明每天读x页，小红每天读y页．
由题意 ，
解得 ，
答：小明每天读28页，小红每天读40页．
（3）从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读m页．
由题意：84+28×5+5（28+m）-10×40≥0，
解得m≥7.2，
∵m是整数，
∴m=8，
∴小明至少平均每天要比原来多读8页，才能确保第10天结束时还不被小红超过．
【点睛】本题考查一元一次不等式、二元一次方程组等知识，解题的关键是读懂表格中的信息，学会利用参数构建方程组或不等式解决问题．
22.已知是等边三角形，于点，点是直线上的动点，将绕点顺时针方向旋转60°得到，连接，，．
（1）问题发现：如图1，当点在线段上时，且，则的度数是_________；
（2）结论证明：如图2，当点在线段的延长线上时，请判断和的数量关系，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：若点在直线上运动，若存在一个位置，使得是等腰直角三角形，请直接写出此时的度数．
【答案】（1）55°；（2），见解析；（3）15°或75°
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得结论；
（2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得结论；
（3）分点在点A的下方和点A的上方两种，由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】（1）55°，理由：
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∵将绕点顺时针方向旋转60°得到，
∴，，
∴，
在△ADC和△BDA中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
（2）结论：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∵将绕点顺时针方向旋转60°得到，
∴，，
∴，
在△ADC和△BDA中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）或75°分两种情况：
①点在点A的下方时，如图：
∵是等腰直角三角形，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∴，
∴；
②点在和点A的上方时，如图：
同理可得．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
23.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，顶点坐标为.
（1）求抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）如图1，点为抛物线上一点，点不与点重合，当时，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，作轴于点H，得到矩形，求矩形的周长的最大值；
（3）如图2，点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），顶点坐标；（2）周长的最大值为；（3）存在，P的坐标为，，，.
【解析】
【分析】
（1）把A、B坐标代入y=-x2+bx+c，解方程组求出b、c的值即可得答案；（2）设矩形的周长为，，分别讨论-7
得，
解得：，
∴抛物线方程为：，顶点坐标，
（2）
如图1，设矩形的周长为，，
∴，
∵A（-7，0），B（1，0），
∴抛物线对称轴为直线x=-3，
①当时，
，
，
=
=
=
=
∵，
∴时，矩形周长最大，最大值为.
②当时
EF=x-(-3)=x+3，
l=
=
.
∴当时，矩形周长最大，最大值为
∴综上所述，周长的最大值为
（3）存在.如下图
设
（i）当时，
16+
16
2
m2
解得：
∴P1，P2
（ii）当时，
49+49+9+(7-m)2=16+m2
∴
140=14m，
m=10，
∴P3，
（iii）当时，
98+16+m2=9+(7-m)2
49+49+16+m2=9+49-14m+m2
56=-14m
解得：，
∴P4
综上所述：满足条件的点P的坐标为，，，
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数得出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的关键．也考查了分类思想的应用.
2020年新野县第二次中考模拟考试试卷
数学
一、选择题（每小题3分，共30分）
下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母涂在答题卡上相应的位置．
1.下列各数中，其相反数最小的是（ ）
A. B. －2 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出各数的相反数，再根据有理数大小比较方法比较即可．
【详解】解：、-2、、2的相反数分别是、2、、-2
∵
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的定义，以及有理数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
2.2020年春季，一种新型冠状病毒嗜虐着人们的健康，据了解，这种新型冠状病毒的直径约为125纳米，若1米纳米，则这种冠病毒的直径用科学记数法可表示为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】
绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】125纳米=125×10-9米＝1.25×10-7米．
故选C．
【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成 的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
3.如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“河”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A. 建 B. 设 C. 美 D. 丽
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形这一特点作答即可.
【详解】由正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形知：
“建”与“南”是相对面；
“设”与“丽”是相对面；
“河”与“美”是相对面，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图，空间想象力是解答的关键.
4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：解不等式x﹣1＜1，得：x＜2，
解不等式x+1≥0，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选：A．
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，设两枚骰子向上一面的点数之和为S，则下列事件属于随机事件的是（ ）
A. S＝6 B. S＞13 C. S＝1 D. S＞1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，两枚骰子向上一面的点数之和最小值为2，最大值为12.
所以，A、两枚骰子向上一面的点数之和S等于6是随机事件，符合题意；
B、两枚骰子向上一面点数之和S大于13是不可能事件，不符合题意；
C、两枚骰子向上一面的点数之和S等于1是不可能事件，不符合题意；
D、两枚骰子向上一面的点数之和S大于1是必然事件，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及判断事件发生可能性的大小，理解概念是解答此题的关键.
6.如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是（ ）
A. 15° B. 25° C. 35° D. 65°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直尺的两边是平行的，从而可以得到CD∥EF，然后根据平行线的性质，可以得到∠2和∠DCE的关系，再根据∠ACB＝∠1+∠DCE，从而可以求得∠1的度数，本题得以解决．
【详解】解：如右图所示，
∵CD∥EF，∠2＝65°，
∴∠2＝∠DCE＝65°，
∵∠DCE+∠1＝∠ACB＝90°，
∴∠1＝25°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
7.如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点、，若的周长是11，则（ ）
A. 28 B. 18 C. 10 D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】
利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算即可．
【详解】解：∵DE是BC垂直平分线，
∴BE=EC，
∴AB=EB+AE=CE+EA，
又∵△ACE的周长为11，，
故AB=11-4=7，
故选：D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8.如图，点在直线与直线之间（不在这两条直线上），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出点M在两条直线上时对应的m的值，进而可得答案．
【详解】解：当点在直线上时，，解得，
当点在直线上时，，解得；
∵点在直线与直线之间（不在这两条直线上），
∴的取值范围为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
9.如图，反比例函数第一象限内图象经过的顶点，，，且轴，点，，的横坐标分别为1，3，若，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
先表示出CD，AD的长，然后在Rt△ACD中利用∠ACD的正切列方程求解即可．
【详解】过点作，
∵点、点的横坐标分别为1，3，
且，均在反比例函数第一象限内的图象上，
∴，，
∴CD=2，AD=k-，
∵，，，
∴，，
∵tan∠ACD=，
∴，即，∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
10.定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取时，其计算过程如上图所示，若，则第2020次“”运算的结果是（ ）
A. 1 B. 4 C. 2020 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
依次按照规律计算，找出规律再进行解答即可．
【详解】解：当时，第1次“”运算为：13×3+1=40，
第2次“”运算为：，
第3次“”运算为：5×3+1=16，
第4次“”运算为，
第5次“”运算为1×3+1=4，
第6次“”运算为，
第7次“”运算为1×3+1=4，…，
由此可得，n≥4时，当n为偶数时，结果为1，当n为奇数时，结果为4，
∵2020为偶数，
∴第2020次“”运算的结果是1，
故选：A．
【点睛】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.化简：_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式化简及零指数幂运算即可得出答案．
【详解】解：
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简及零指数幂运算，正确掌握运算规律是解题的关键．
12.在学校的体育训练中，小杰同学投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数是_________．
【答案】9.7
【解析】
【分析】
将统计图中数据从小到大的顺序排列，最中间位置上的数就是中位数．
【详解】将统计图中数据从小到大的顺序排列：9.5，9.6，9.7，9.7，9.8，10.1，10.2，最中间位置上的数是9.7，所以中位数是9.7m，
故答案为：9.7．
【点睛】本题考查中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键．
13.若关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0有两个相等的实数根，则a的值是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，然后解方程即可求解．
【详解】∵关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，
解得：a＝2．
故答案为：2
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，根的判别式△=b2-4ac，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；△=0时，方程有两个相等的实数根；△<0时，方程没有实数根.
14.如图，在菱形中，，，对角线交于点，为中点，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接ME，先利用菱形的性质证明，，进而证明和都是等边三角形，则有，∴，然后利用求解即可．
【详解】连接，∵在菱形中，，
∴，，
∵=4，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴，即∠EMC=120º
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、圆的定义、扇形面积公式等知识，解答的关键是熟练掌握一些基本图形的性质及其运用．
15.如图，在一张直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°P是边AB上的一动点，将△ACP沿着CP折叠至△A1CP，当△A1CP与△ABC的重叠部分为等腰三角形时，则∠ACP的度数为_____．
【答案】40°或70°
【解析】
【分析】
分两种情形，画出图形分别求解即可．当PC＝CE时，设∠ACP＝x，利用等腰三角形的性质，可证得∠CPE＝x+30°，再利用三角形内角和定理建立关于x的方程，解方程即可；当CP＝CE时，设∠ACP＝x，用含x的代数式表示出∠CPE、∠CEP，再利用三角形内角和定理建立关于x的方程，解方程即可求得结论.
【详解】
当PC＝CE时，如图1所示：
设∠ACP＝x，根据折叠的性质得∠A1CP＝x，
∵CP＝CE，
∴∠CPE＝∠CEP，
∵∠CPE＝∠ACP+∠A＝x+30°，
∴在中：x+x+30°+x+30°＝180°，
∴x＝40°；
当CP＝CE时，如图2所示：
设∠ACP＝x．根据折叠的性质得∠A1CP＝x，∠A1＝∠A＝30°，
则∠CPE＝∠CEP＝∠ECA+∠A1＝∠ACP +∠A1CP -∠ACB= 2x﹣90°+30°＝2x﹣60°，
在△CPE中，90°﹣x+2（2x﹣60°）＝180°，
解得：x＝70°，
综上所述，∠ACP的度数为40°或70°，
故答案为：40°或70°．
【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理、三角形内角和定理，用含x的代数式表示出∠CPE，再利用三角形内角和定理建立关于x的方程是解决本题的关键.
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16.先化简，然后再从－3、－2、－1、0、1中选出一个作为的值，求代数式的值．
【答案】，当时，原式=
【解析】
【分析】
首先利用分式的混合运算顺序和法则进行化简，然后找到使分式有意义的a的值代入计算即可．
【详解】解：原式
∵，，，
∴，，，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的顺序和法则是解题的关键．
17.某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分
组别
正确字数
人数
10
15
25
根据以上信息解决下列问题：
（1）在统计表中， ， ，并补全条形统计图.
（2）扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数是 .
（3）若该校共有900名学生，如果听写正确的个数少于24个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数
【答案】解：（1）m=30,n=20；图见解析；（2）；（3）450名.
【解析】
【分析】
（1）根据B组有15人，所占的百分比是15%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；
（2）利用360度乘以对应的比例即可求解；
（3）利用总人数900乘以对应的比例即可求解．
【详解】解：（1）抽查的总人数是：15÷15%=100（人），
则m=100×30%=30，
n=100×20%=20．
．
故答案是：30，20；
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是：
故答案是：90°；
（3）样本中“听写正确的个数少于24个”的人数有：10+15+25=50 （人）．
本次比赛听写不合格的学生人数：
答：这所学校本次比赛听写不合格的学生人数约为450人．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
18.如图，以边上一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）过点B作的切线交的延长线于，如果连接，将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好落在上，连接，请直接写出四边形的形状．
【答案】（1）见解析；（2）6；（3）菱形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OA，OD，如图，得到，根据圆周角定理可知，再根据等边对等角和对顶角相等可得，∠EOD＝90°，由直角三角形的两锐角互余求得，即可证得结论；
（2）如图，设半径为r，在Rt△OFD中，通过勾股定理即可求出半径的值；
（3）连接EH，证△CAE≌△HAE，推出△AEO是等边三角形，进一步证明△ABH和△ABG是等边三角形，即可推出结论．
【详解】解：（1）证明：连接，，则，
∵为的下半圆弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴是的切线；
（2）设的半径为，则，
∵在中，，
∴，
解得，，（舍去），
∴的半径为6；
（3）菱形.理由如下
如图，连接EH，
由对称性可知AC＝AH，∠CAE＝∠HAE，
又∵AE＝AE，
∴△CAE≌△HAE（SAS），
∴∠C＝∠EHA，
∵，
∴∠EHA＝∠ABE，
∴∠C＝∠ABE，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠EAB＝90°，
∴∠OAB＋∠OAE＝90°，
又∵∠CAE＋∠OAE＝90°，
∴∠CAE＝∠OAB，
∴∠C＝∠OBA＝∠OAB＝∠CAE，
∴AC＝AB，
∴△CAE≌△BAO（ASA），
∴AE＝AO＝OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠AEO＝60°，
∴∠ABE＝90°−∠AEO＝30°，∠AHB＝∠AEO＝60°，
∴∠ABG＝90°−∠ABE＝60°，
∵CA＝AH，CA＝AB，
∴AH＝AB，
又AHB＝60°，
∴△ABH是等边三角形，
∴AB＝BH＝AH，
∵GB，GA是⊙O的切线，
∴GB＝GA，
又∠ABG＝60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AB＝BG＝AG，
∴BH＝AH＝BG＝AG，
∴四边形AHBG是菱形．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，切线的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，菱形的判定等，综合性较强，解答本题的关键是需要熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
19.为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得教学楼窗户处的仰角为(、、、在同一直线上)．然后，小明沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行．
(1)求点到直线的距离(结果保留根号)；
(2)若小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度(结果精确到0.1米，，)．
【答案】(1)点到地面的距离为米；(2)宣传牌的高度约为4.3米．
【解析】
【分析】
(1)过点作于，依题意知，，；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论；
(2)解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：(1)过点作于，
依题意知，，；
∴四边形是矩形；
∴；
在中，
；
(米)；
∴点到地面的距离为米；
(2)∵斜坡：．
∴中，，
∴．
在中，
．
∴．
(米)．
答：宣传牌的高度约为4.3米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.如图，直线l的解析式为y＝x，反比例函数y＝（x＞0）的图象与l交于点N，且点N的横坐标为6．
（1）求k的值；
（2）点A、点B分别是直线l、x轴上的两点，且OA＝OB＝10，线段AB与反比例函数图象交于点M，连接OM，求△BOM的面积．
【答案】（1）27；（2）15
【解析】
【分析】
（1）把x＝6代入y＝x，求得N的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
（2）根据勾股定理求得A的坐标，然后利用待定系数法求得直线AB的解析式，再和反比例函数的解析式联立，求得M的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△BOM的面积．
【详解】解：（1）∵直线l经过N点，点N的横坐标为6，
∴y＝×6＝，
∴N（6，），
∵点N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝6×＝27；
（2）∵点A在直线l上，
∴设A（m，m），
∵OA＝10，
∴m2+（m）2＝102，解得m＝8，
∴A（8，6），
∵OA＝OB＝10，
∴B（10，0），
设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+30，
解得或，
∴M（9，3），
∴△BOM的面积＝＝15．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式和一次函数的解析式，求得、点的坐标是解题的关键.
21.小明与小红开展读书比赛．小明找出了一本以前已读完84页的古典名著打算继续往下读，小红上个周末恰好刚买了同一版本的这本名著，不过还没开始读．于是，两人开始了读书比赛．他们利用下表来记录了两人5天的读书进程．例如，第5天结束时，小明还领先小红24页，此时两人所读到位置的页码之和为424．已知两人各自每天所读页数相同．
读书天数
1
2
3
4
5
页码之差
72
60
48
36
24
页码之和
152
220
424
（1）表中空白部分从左到右2个数据依次为 ， ；
（2）小明、小红每人每天各读多少页？
（3）已知这本名著有488页，问：从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读几页，才能确保第10天结束时还不被小红超过？（答案取整数）
【答案】（1）288，356．（2）小明每天读28页，小红每天读40页．（3）小明至少平均每天要比原来多读8页，才能确保第10天结束时还不被小红超过．
【解析】
【分析】
（1）第一天两人一共读了152-84=68页，故第三天页码之和=220+68=288页，第四天页码之和=288+68=356页；
（2）小明每天读x页，小红每天读y页．由题意，解方程组即可解决问题；
（3）从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读m页．由题意：84+28×5+5（28+m）-10×40≥0，解不等式即可解决问题
【详解】（1）第一天两人一共读了152-84=68页，故第三天页码之和=220+68=288页，第四天页码之和=288+68=356页，
故答案为288，356．
（2）小明每天读x页，小红每天读y页．
由题意 ，
解得 ，
答：小明每天读28页，小红每天读40页．
（3）从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读m页．
由题意：84+28×5+5（28+m）-10×40≥0，
解得m≥7.2，
∵m是整数，
∴m=8，
∴小明至少平均每天要比原来多读8页，才能确保第10天结束时还不被小红超过．
【点睛】本题考查一元一次不等式、二元一次方程组等知识，解题的关键是读懂表格中的信息，学会利用参数构建方程组或不等式解决问题．
22.已知是等边三角形，于点，点是直线上的动点，将绕点顺时针方向旋转60°得到，连接，，．
（1）问题发现：如图1，当点在线段上时，且，则的度数是_________；
（2）结论证明：如图2，当点在线段的延长线上时，请判断和的数量关系，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：若点在直线上运动，若存在一个位置，使得是等腰直角三角形，请直接写出此时的度数．
【答案】（1）55°；（2），见解析；（3）15°或75°
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得结论；
（2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得结论；
（3）分点在点A的下方和点A的上方两种，由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】（1）55°，理由：
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∵将绕点顺时针方向旋转60°得到，
∴，，
∴，
在△ADC和△BDA中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
（2）结论：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∵将绕点顺时针方向旋转60°得到，
∴，，
∴，
在△ADC和△BDA中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）或75°分两种情况：
①点在点A的下方时，如图：
∵是等腰直角三角形，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∴，
∴；
②点在和点A的上方时，如图：
同理可得．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
23.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，顶点坐标为.
（1）求抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）如图1，点为抛物线上一点，点不与点重合，当时，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，作轴于点H，得到矩形，求矩形的周长的最大值；
（3）如图2，点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），顶点坐标；（2）周长的最大值为；（3）存在，P的坐标为，，，.
【解析】
【分析】
（1）把A、B坐标代入y=-x2+bx+c，解方程组求出b、c的值即可得答案；（2）设矩形的周长为，，分别讨论-7
得，
解得：，
∴抛物线方程为：，顶点坐标，
（2）
如图1，设矩形的周长为，，
∴，
∵A（-7，0），B（1，0），
∴抛物线对称轴为直线x=-3，
①当时，
，
，
=
=
=
=
∵，
∴时，矩形周长最大，最大值为.
②当时
EF=x-(-3)=x+3，
l=
=
.
∴当时，矩形周长最大，最大值为
∴综上所述，周长的最大值为
（3）存在.如下图
设
（i）当时，
16+
16
2
m2
解得：
∴P1，P2
（ii）当时，
49+49+9+(7-m)2=16+m2
∴
140=14m，
m=10，
∴P3，
（iii）当时，
98+16+m2=9+(7-m)2
49+49+16+m2=9+49-14m+m2
56=-14m
解得：，
∴P4
综上所述：满足条件的点P的坐标为，，，
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数得出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的关键．也考查了分类思想的应用.
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